第4章 匀速圆周运动
第1节 匀速圆周运动快慢的描述
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
匀速圆周运动的描述
1、2、3、4
线速度、角速度间的关系
5、6
圆周运动的周期性问题
7、8
综合提升
9、10
11、12
知识点一 匀速圆周运动的描述
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是 ( )．
A．物体处于平衡状态
B．物体所受的合外力为零
C．物体的线速度大小是不变的
D．物体转动的角速度不变
解析 匀速圆周运动容易被误解是一种平衡状态，事实上其线速度方向时刻在变化，是变速运动．
答案 CD
2．关于地球上的物体随地球自转的角速度、线速度的大小，下列说法正确的是( )．
A．在赤道上的物体线速度最大
B．在两极的物体线速度最大
C．在赤道上的物体角速度最大
D．在北京和广州的物体角速度一样大
解析 地球上的物体随地球一起绕地轴匀速转动，物体相对地面的运动在此一般可忽略，因此物体随地球一起绕地轴匀速转动的角速度一样，由v＝rω知半径大的线速度大．物体在地球上绕地轴匀速转动时，在赤道上距地轴最远，线速度最大，在两极距地轴为零，线速度为零．故A、D正确．
答案 AD
3．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，速率计的指针指在120 km/h上，可估算此时该车车轮的转速为
( )．
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
解析 由题意得v＝120 km/h＝ m/s，
r＝0.3 m，又v＝2πnr，得n＝≈18 r/s≈1 000 r/min.
答案 B
4．假设“嫦娥二号”实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用 ( )．
A．T＝ B．T＝
C．T＝ D．T＝
解析 由题意知“嫦娥二号”做匀速圆周运动n周所需时间Δt＝t2－t1，其周期T＝＝，故A正确、B错误；由周期公式有T＝，故C正确、D错误．
答案 AC
知识点二 线速度、角速度间的关系
5. 如图4－1－12所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 两工件的线速度大小相同，则有：a＝，由于rA＜rB，故aA＞aB，D正确；对工件F－mg＝m，即F＝mg＋m，结合rA＜rB，得：FA＞FB，A正确．
答案 AD
6．如图4－1－13所示，两个轮子的半径均为R，两轮的转轴O1、O2在同一水平面上，相互平行，相距为d，两轮均以角速度ω逆时针方向匀速转动．将一长木板置于两轮上，当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动．若木板的长度L＞2d，则木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方所需的时间是 ( )．
图4－1－13
A. B. C. D.
解析 木板与两轮间无相对滑动时，木板运动的速度与轮边缘的线速度相同，由题意知木板在重心由右轮正上方移到左轮正上方过程中的位移大小为d，则有d＝ωRt，得t＝，B正确．
答案 B
知识点三 圆周运动的周期性问题
7. 为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图4－1－14所示．则该子弹的速度可能是 ( )．
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
解析 子弹从A盘运动到B盘的过程中，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0，1，2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s；
n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s；…故C正确．
答案 C
8. 如图4－1－15所示为一实验小车中利用光电脉冲测量车速和行程的装置示意图，A为光源，B为光电接收器，A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮．车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示．若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量是______________；小车速度的表达式为v＝________；行程的表达式为s＝________．
解析 若能数出齿轮D的总齿数P，则可计算齿轮D的转动周期T＝.因为齿轮D的转动周期也就是车轮C的转动周期，所以车轮C转动的角速度ω＝＝；
用刻度尺测出车轮C的半径R，则车轮边缘的线速度v＝ωR＝，此即小车行驶的速度．
在累计脉冲数为N的时间内，行程的表达式为s＝vt＝·＝.
答案 车轮的半径R和齿轮的齿数P
9．如图4－1－16所示，半径为0.1 m的轻滑轮，通过绕在其上的轻绳与重物相连，若重物由静止开始以2 m/s2的加速度匀加速下落，则当它下落的高度为1 m时，其瞬时速度为多大？此时滑轮转动的角速度是多少？
解析 由运动学公式v－v＝2as，得重物由静止开始下落1 m时的瞬时速度
vt＝＝ m/s＝2 m/s；
与重物相连的轻绳此时的速度也为2 m/s，轻绳绕在轻滑轮的边缘上使滑轮转动，由v＝rω，得此时滑轮转动的角速度ω＝＝ rad/s＝20 rad/s.
答案 2 m/s 20 rad/s
10.一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图4－1－17 所示．伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，则此圆的半径r为多少？
解析 水滴飞出的速度大小v＝ωR，
水滴做平抛运动，故
竖直方向有h＝gt2，
水平方向有l＝vt，
由题意画出俯视图，如图所示，由几何关系知，水滴形成圆的半径
r＝ ，
联立以上各式得r＝R .
答案 R
11．如图4－1－18所示为一辆自行车的局部结构示意图，设连接脚踏板的连杆长为L1，由脚踏板带动半径为r1的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r2的小轮盘(飞轮)连接，小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进．
图4－1－18
(1)设L1＝18 cm，r1＝12 cm，r2＝6 cm，R＝30 cm，为了维持自行车以v＝3 m/s的速度在水平路面上匀速行驶，请你计算一下每分钟要踩脚踏板几圈．
(2)若某种变速自行车有6个飞轮和3个牙盘，牙盘和飞轮的齿数如表所示，若人骑该车行进的速度一定，则选用哪种齿数的牙盘和飞轮，人踩脚踏板的角速度最小？
名称
牙盘
飞轮
齿数N/个
48
38
28
15
16
18
21
24
28
解析 (1)自行车行进的速度等于轮缘上某点绕转轴转动的线速度．设牙盘转动的角速度为ω1，自行车后轮转动的角速度，即飞轮的角速度为ω2，人每分钟要踩脚踏板n圈，则ω2＝＝ rad/s＝10 rad/s，
由r2ω2＝r1ω1，得ω1＝5 rad/s，
则n＝＝ r/s＝ r/min≈48 r/min.
(2)由(1)知＝，
不管牙盘还是飞轮，相邻两齿间的弧长相等，故＝，即＝，
故ω1＝ω2＝·，
由于v、R一定，所以当最小时ω1最小，故应选齿数为48的牙盘和齿数为15的飞轮．
答案 (1)48 (2)齿数为48的牙盘和齿数为15的飞轮
12. 如图4－1－19所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B.一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口B飞出，小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？
解析 该题中小球的运动轨迹是空间螺旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度v0在筒内壁弹力作用下做匀速圆周运动，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动．因此若将圆筒沿直线AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示．据此得小球在筒内运动的时间t＝.
由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，即
l＝v0t＝2nπR(n＝1，2，3，…)．
联立以上两式得
v0＝nπR (n＝1，2，3，…)．
答案 v0＝nπR (n＝1，2，3，…)
第4章 匀速圆周运动
第1节 匀速圆周运动快慢的描述
匀速圆周运动的描述
1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是 ( )．
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是匀变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
解析 这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种线速度大小不变、方向时刻改变的变加速运动．故D正确．
答案 D
2．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法正确的是 ( )．
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
解析
逐项分析
选项
由v＝rω得ω＝，故只有当半径r一定时，角速度ω才与线速度v成正比；只有当线速度v一定时，角速度ω才与半径r成反比
A错误
C错误
由v＝知，只有当半径r一定时，线速度v才与周期T成反比
B错误
由ω＝知，角速度ω与周期T成反比，即角速度大的周期一定小
D正确
答案 D
3．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，求：
(1)物体运动线速度的大小；
(2)物体运动角速度的大小；
(3)物体运动周期的大小．
解析
答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
传动装置中线速度和角速度的比较
4. 如图4－1－11所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1 ①
由v＝rω得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 ②
B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1 ③
由v＝rω得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 ④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
答案 1∶2∶2 1∶1∶2
课件28张PPT。第1节 匀速圆周运动快慢的描述1．理解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念．
2．掌握线速度、角速度、周期之间的关系．
3．理解匀速圆周运动是一种变速曲线运动．
一、匀速圆周运动的概念
质点沿着_____运动，如果在相等的时间里通过的_____相等，这种运动就叫匀速圆周运动．
二、描述匀速圆周运动快慢的物理量
?线速度v：做圆周运动的物体通过的_____与所用_____的
比值称为线速度，v＝____．单位： _______ ．
?匀速圆周运动：物体沿着圆周运动，线速度的大小处处_____ ，这种运动叫做匀速圆周运动．
圆周弧长弧长时间米/秒相等?角速度ω：半径转过的角度与时间的_____ω＝____．
单位：弧度/秒．(rad/s或rad·s－1)
?转速n：在单位时间内转动的______．
单位： _____(r/s)或_______(r/min)
?
?周期T：做匀速圆周运动的物体，经过_________所用的时间叫做周期．
?频率f：就是___________________________ ．
比值转/秒转/分一个周长单位时间内(1秒内)转过的转数转数 思考 我们在教室朗诵毛泽东诗词“坐地日行八万里”，说的是我们随地球自转一昼夜所走的路程．那你知道，随地球自转的角速度是多大吗？
一、描述圆周运动的各物理量之间的关系
?线速度v与周期T的关系
?角速度ω与周期T的关系
?线速度v与角速度ω的关系
(2)理解
①当半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比．
②当角速度ω一定时，线速度v与半径r成正比．
③当线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比．
?频率f与角速度ω、线速度v的关系：ω＝2πf，v＝2πfr.
二、传动问题中v、ω、T与r的关系
?共轴传动
图4－1－1?皮带传动
图4－1－2?齿轮传动
图4－1－3 如图4－1－3所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合．两个轮子在同一时间内转过的齿数相等，或者说A、B两点的线速 度相等．但它们的转动方向恰好相反，即当A点顺时针转动时，B点逆时针转动．线速度、角速度、周期之间存在 温馨提示 解决传动问题时要注意抓住装置的特点：同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等；皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或啮合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相等． 教材资料分析
讨论与交流
图4－1－4 在一些机器内部，有很多相互啮合的大小齿轮(如图4－1－4所示)．当机器转动时，有人说小齿轮比大齿轮转得快，也有人说它们的速度大小实际上是一样的．为什么会有不同的说法？你怎样看？
点拨 有不同的说法是采用了不同的物理量来看待它们之间的关系，大、小齿轮相互啮合，它们的线速度大小一定是相同的，所以大齿轮的角速度小，而小齿轮的角速度大．
描述圆周运动的物理量【典例1】 如图4－1－5所示，圆环以过其直径的直线AB为轴匀速转动．已知其半径R ＝0.5 m，周期T＝4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度大小．
图4－1－5 答案 ωP＝ωQ＝1.57 rad/s vP≈0.39 m/s
vQ≈0.68 m/s
借题发挥 计算物体角速度和线速度的大小，首先应确定物体做匀速圆周运动的圆心、半径、运动的平面及轨迹，然后找到各物理量之间的相互关系．
【变式1】 如图4－1－6所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 ( )．
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
图4－1－6 解析 a、b、c三点为共轴转动，故角速度相等，B正确、C错误；又由题图知，三点的转动半径ra＝rb＞rc，根据v＝rω知，va＝vb＞vc，故A、D错误．
答案 B
【典例2】 如图4－1－7所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方h处沿半径OB方向水平抛出一小球，要使小球与圆盘只碰一次，且落点恰好为圆盘边缘上的B点，求：
(1)小球的初速度v的大小；
(2)圆盘转动的角速度ω的大小．
圆周运动的周期性引起的多解问题图4－1－7 借题发挥 (1)小球做平抛运动落至B点的运动过程不受圆盘转动的影响，两个运动各自独立．
(2)两种运动具有同时性，所以时间是联系两种运动的桥梁．
(3)圆周运动具有周期性，又因题设条件不明确，故存在多解，常需引入n表示．
【变式2】 如图4－1－8所示，直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴匀速转动(图示为截面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒．在圆周上留下a、b两个弹孔．已知aO与bO的夹角为θ，求子弹的速度大小．
图4－1－8【典例3】 如图4－1－9所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车后车轮的边缘接触．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力．自行车车轮的半径R1＝35 cm，小齿轮的半径R2＝4.0 cm，大齿轮的半径R3＝10.0 cm.求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比．
(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)
传动装置中线速度、角速度的比较 图4－1－9 借题发挥 分析传动问题，要抓住不等量和相等量的关系，要特别注意以下两点：
(1)同轴的各点角速度、转速、周期相等，线速度与半径成正比．
(2)在不考虑皮带打滑的情况下，皮带上各点与传动轮边缘上各点线速度大小相等，而角速度与半径成反比．
【变式3】如图4－1－10所示，两轮通过边缘接触，形成摩擦传动装置，设接触处无打滑现象．已知大轮B的半径是小轮A的半径的2倍，设主动轮A转动时其边缘的角速度为ω，线速度大小为v.求：
(1)A、B两轮的转动周期之比；
(2)B轮转动的角速度．
图4－1－10
