第2节 向心力与向心加速度
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
向心力
1、2、3
向心力加速度
4
5
向心力公式的应用
8
6、7
综合提升
9、10
11、12
知识点一 向心力
1．下列关于做匀速圆周运动的物体所需向心力的说法正确的是 ( )．
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．等于物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析 做匀速圆周运动的物体所需的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向；向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的．所以A、D错误，B、C正确．
答案 BC
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是 ( )．
解析 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心．由此可知C正确．
答案 C
3．如图4－2－8所示，一小球用轻绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是 ( )．
A．绳的拉力
B．重力和绳的拉力的合力
C．重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力
解析 小球受重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说向心力是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说向心力是各力沿绳方向的分力的合力，C、D正确．
答案 CD
知识点二 向心加速度
4．以下关于质点做匀速圆周运动的说法，正确的是 ( )．
A．因为a＝，所以向心加速度与旋转半径成反比
B．因为a＝rω2，所以向心加速度与旋转半径成正比
C．因为ω＝，所以角速度与旋转半径成反比
D．因为ω＝2πn，所以角速度与转速成正比
解析 只有线速度v一定时，a才与r成反比，A错误；只有ω一定时，a才与r成正比，B错误；只有v一定时，ω才与r成反比，C错误；由ω＝2πn知ω与n成正比，D正确．
答案 D
5. 如图4－2－9所示，O、O′为两个皮带轮，O轮的半径为r，O′轮的半径为R，且R＞r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O′轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则 ( )．
A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
解析 在O′轮的边缘上取一点Q，则Q点和N点在同一个轮子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ≥rN，由向心加速度公式a＝rω2可知aQ≥aN；由于转动时皮带不打滑，Q点和M点都在由皮带传动的两个轮子边缘，这两点的线速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ＞rM，由向心加速度公式a＝可知，aQ＜aM，所以aM＞aN，A正确．
答案 A
知识点三 向心力公式的应用
6．如图4－2－10所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力大小之比FB∶FA为(取g＝10 m/s2) ( )．
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
解析 设两小球A、B的质量均为m.小车突然停止运动时，小球B由于受到小车前壁向左的弹力作用，相对于小车静止，竖直方向上受力平衡，则有FB＝mg＝10m，小球A绕悬点以速度v做圆周运动，此时有FA－mg＝，得FA＝mg＋＝10m＋20m＝30m.故FB∶FA＝10m∶30m＝1∶3，C正确．
答案 C
7. 质量不计的轻质弹性杆P插入桌面的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球．今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图4－2－11所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为 ( )．
A．mRω2 B．m
C．m D．不能确定
解析 对小球进行受力分析，如图所示．小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力提供向心力．由平行四边形定则可得F＝m ，再根据牛顿第三定律可知，杆受到球对其作用力的大小F′＝m .故C正确．
答案 C
8. 半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A.如图4－2－12所示，A与碗壁间的动摩擦因数为μ，当碗绕竖直轴OO′匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口随碗一起匀速转动而不发生相对滑动．求碗的转速．
解析 物体A随碗一起转动而不发生相对滑动，故物体做匀速圆周运动的角速度就等于碗转动的角速度ω，物体A做匀速圆周运动所需的向心力方向指向球心O，故此向心力不是由重力而是由碗壁对物体的弹力F提供的，此时物体所受的摩擦力与重力平衡．
水平方向：物体A做匀速圆周运动，向心力F＝mRω2＝4mRπ2n2
竖直方向：摩擦力与重力平衡，则μF＝mg
由上述两式可得4μmRπ2n2＝mg
故n＝，即碗匀速转动的转速为n＝.
答案 见解析
9．有一种杂技表演叫飞车走壁．由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁做匀速圆周运动，如图4－2－13所示．图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.下列说法中正确的是
( )．
A．h越大，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越大，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C．h越大，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越大，摩托车做圆周运动的线速度将越大
解析 对摩托车受力分析如图所示，由力的平行四边形定则知N＝，合力F＝mgtan θ，由牛顿第三定律知，摩托车对侧壁的压力N′＝，与h无关，A错误；由合外力提供向心力知F′＝F＝mgtan θ，与h无关，B错误；由F′＝mgtan θ＝mrω2知，h越大，r越大，ω越小，而周期T＝越大，C错误；由F′＝mgtan θ＝知，h越大，r越大，v越大，D正确．
答案 D
10. 把原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴OO′上，小铁块放在水平圆盘上．若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为.现将弹簧拉长到后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕中心轴OO′以一定角速度匀速运动，如图4－2－14所示．已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少？
解析 以小铁块为研究对象，圆盘静止时，设小铁块受到的最大静摩擦力为fmax，有fmax＝，
当最大静摩擦力指向圆心时，圆盘转动的角速度ω最大，由牛顿第二定律得kx＋fmax＝mω2，
又x＝，联立以上三式，得角速度的最大值ω＝ .
答案
11. 如图4－2－15所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m＝1 kg的小球A，另一端连接质量M＝4 kg的重物B.(取g＝10 m/s2)求：
(1)当A沿半径R＝0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度ω＝10 rad/s时，B对地面的压力大小是多少？
(2)要使B对地面恰好无压力，A的角速度应为多大？
解析 (1)对A来说，竖直方向上重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则
T＝mRω2＝1×0.1×102 N＝10 N，
对B来说，受到三个力的作用：重力Mg，绳子的拉力T，地面的支持力N，由力的平衡条件可得T＋N＝Mg，
所以N＝Mg－T＝(4×10－10)N＝30 N，由牛顿第三定律可知，B对地面的压力大小为30 N，方向竖直向下．
(2)当B对地面恰好无压力时，有Mg＝T′，
拉力T′提供小球A的向心力，则有T′＝mRω′2，
则ω′＝ ＝ rad/s＝20 rad/s.
答案 (1)30 N (2)20 rad/s
12. 如图4－2－16所示，质量M＝2 kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m＝1 kg的小球通过长L＝0.5 m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态．现给小球一个竖直向上的初速度v0＝4 m/s，g取10 m/s2.若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向．
解析 设小球能通过最高点，且此时的速度大小为v1.在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒．则
mv＋mgL＝mv ①
解得v1＝ m/s ②
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则F＋mg＝m③
由②③式，得F＝2 N.
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2 N，方向竖直向上．
答案 2 N，方向竖直向上
第2节 向心力与向心加速度
向心力
1．下列关于向心力的说法中正确的是 ( )．
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变做圆周运动的物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做匀速圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
解析
逐项分析
选项
力是改变物体运动状态的原因，是因为有向心力物体才做圆周运动
A错误
向心力的方向总沿半径指向圆心，即始终与速度垂直，所以向心力只改变物体速度的方向，而不改变速度的大小
B正确
向心力的方向始终指向圆心，其大小不变，但方向时刻改变
C错误
只有在匀速圆周运动中，物体所受各力的合力才是向心力
D正确
答案 BD
2．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是 ( )．
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
解析 在光滑的水平面上，细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由F＝mrω2知，在角速度ω不变时，F与小球的质量m、半径l都成正比，A正确、B错误；在质量m不变时，F与l、ω2成正比，C正确、D错误．
答案 AC
向心加速度
3．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是 ( )．
A．向心加速度表示速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C正确；向心加速度的方向是变化的，所以D错误．
答案 C
4. 如图4－2－7所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知 ( )．
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
解析 由a＝知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，加速度与半径成反比，故A正确、B错误；由a＝rω2知，角速度不变时，加速度与半径成正比，故C正确、D错误．
答案 AC
课件27张PPT。第2节 向心力与向心加速度1．理解向心力和向心加速度的概念．
2．能通过实验探究向心力的大小与质量、角速度、半径的定量关系．
3．能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力.一、向心力及其方向
?定义：做匀速圆周运动的物体会受到一个指向_____的_______的作用，这个力叫做向心力．
?向心力的方向：向心力的方向总是指向_____ ，而线速度
的方向总是沿着圆周的切线方向，故向心力的方向始终与线速度_____ ，即与质点的运动方向_____ ．
?作用效果：改变物体的速度_____ ，但不改变物体的速度_____ ．
?来源：向心力是根据_______________命名的．它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力或它们的合力，也可以是某个力的分力．
圆心等效力圆心垂直垂直方向大小力的作用效果二、向心力的大小
?实验研究F向与m、r、ω的关系
(1)实验方法：___________
(2)结论：物体的______越大、______越大、转动_______越大，物体所需向心力就_______．
?计算公式：F＝_______＝_______．
思考 做非匀速圆周运动的物体所受到的合外力指向圆心吗？
提示 做非匀速圆周运动的物体所受到的合外力不指向圆心。合外力在切线方向的分力改变线速度的大小，在半径方向的分力改变线速度的方向，即向心力。
控制变量法质量半径角速度越大mrω2三、向心加速度
?定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿_________指向_____的加速度，叫向心加速度．
?大小：a＝____＝____．
?方向：向心加速度的方向时刻________________，且始终指向_____ ．
?意义：向心加速度是用来描述做圆周运动的物体_________改变快慢的物理量.半径方向圆心rω2与速度方向垂直圆心速度方向一、向心力
?向心力
?对向心力的理解
(1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力．对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变速度的大小，又要改变速度的方向．合外力在切线方向的分力用于改变线速度的大小，在半径方向的分力用于改变线速度的方向即向心力．
(2)向心力的作用效果是改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体的运动方向始终垂直，故向心力不改变速度的大小． (3)对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对于非匀速圆周运动，其向心力大小随速率v而变化，公式表述的只是瞬时值．
(4)圆周运动的向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
温馨提示 向心力是按力的作用效果命名的，它不是某种性质的力．在受力分析时，要避免再另外添加一个“向心力”．
二、向心加速度
?向心加速度
温馨提示 (1)不论圆周运动的加速度a的大小是否变化，a的方向总是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动．
(2)速度方向变化越快，向心加速度越大．
温馨提示 涉及三个物理量的变化关系时，必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．
图4－2－1三、解决匀速圆周运动相关问题的方法和步骤
解决匀速圆周运动相关问题的方法就是解决动力学问题的一般方法，其解决问题的步骤也是解决动力学问题的步骤．但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些运动学规律，同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动的轨道平面、圆心和半径等．
(1)明确研究对象，分析它的受力情况
(2)以向心加速度的方向为正方向，求出合外力的表达式．
(3)分析它的运动情况，重点分析它的轨道平面、圆心、半径．明确向心力来源
(4)根据合外力提供向心力列出方程并求解．
教材资料分析
讨论与交流
假设你坐在一辆车上，周围没有其他乘客，也不靠在车厢上，当车子转弯时，你的向心力是从哪里来的？
点拨 车子转弯时，乘客也应有力提供向心力，重力和支持力在竖直方向上，沿圆半径指向圆心的只能是和车子之间的摩擦力，故向心力来自你和车子之间的摩擦力.关于向心力的理解、分析与计算【典例1】现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施如图4－2－2所示．“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开．当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐图4－2－2 向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害．设“魔盘”转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随盘一起转动(没有滑动)．则这个小孩所需的向心力为多大？这个向心力是由什么力提供的？
答案 11.8 N 向心力由静摩擦力提供
【变式1】 2011款东风标志207于5月18日上市．质量为m的标志207汽车，在半径为20 m的圆形水平路面上行驶，所受的最大静摩擦力是车重的0.5倍．为了不使轮胎在公路上打滑，汽车速度不应超过多少？(取g＝10 m/s2)
答案 10 m/s
【典例2】 如图4－2－3所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则 ( )．
A．a、b两点的线速度相同
B．a、b两点的角速度相同
向心加速度公式的理解和应用图4－2－3 答案 BCD
借题发挥 球体上各点绕同一轴转动的角速度是相同的，这是本题关键所在．再有就是要比较这两点向心加速度的大小时，利用a＝rω2显然方便，原因也是角速度相同．
【变式2】 如图4－2－4所示，定滑轮的半径r＝2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，在重物下落距离为 1 m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω＝_____rad/s，向心加速度大小a＝_____ m/s2.
图4－2－4答案 100 200
皮带传动问题中向心加速度的计算图4－2－5 缘上的P点的向心加速度是大小12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度大小各为多少？
答案 4 m/s2 24 m/s2
借题发挥 利用向心加速度分析问题的方法
(1)根据题目中所给的条件，灵活选取a的各种表达式，既可以减少运算又能顺利地求解问题．在求解半径r的大小时，要建立转动物体的空间模型，结合几何关系求出待求量．
?(2)对车辆辐条的转动、汽车转弯、皮带传动等生产、生活中的实例，我们可以通过探究其a、ω、v、r等各量的变化规律，抓住关键物理量(a、ω、v、r等)的相互约束关系求解．
【变式3】如图4－2－6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点；左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和图4－2－6 d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑，则下列说法正确的是 ( )．
A．a点与b点的线速度大小相等
B．b点与d点的角速度大小相等
C．a点与d点的向心加速度大小相等
D．a、b、c、d四点中，向心加速度最小的是b点
答案 BCD
