第3节 向心力的实例分析
(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难
水平面内的圆周运动
1、2、3
竖直面内的圆周运动
4
5、6、7、8
综合提升
9、10
11、12
知识点一 水平面内的圆周运动
1．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是 ( )．
A．f甲＜f乙
B．f甲＝f乙
C．f甲＞f乙
D．f甲和f乙大小均与汽车速率无关
解析 摩擦力分别提供两车转弯所需的向心力，
则f甲＝，f乙＝，
因r甲＞r乙，故f甲＜f乙，A正确．
答案 A
2．铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高．其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是 ( )．
A．v一定时，r越小，要求h越大
B．v一定时，r越大，要求h越大
C．r一定时，v越小，要求h越大
D．r一定时，v越大，要求h越大
解析 火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以规定速率行驶时，向心力刚好由重力mg与轨道支持力N的合力来提供，如图所示，则有mgtan θ＝m，且tan θ≈sin θ＝，其中L为内、外轨间距，是定值，故mg＝，通过分析可知，A、D正确．
答案 AD
3．一辆载重汽车的质量为4m，通过半径为R的拱形桥．若桥顶能承受的最大压力F＝3mg，为了安全行驶，汽车应以多大的速度通过桥顶？
解析 如图所示，由牛顿第二定律得
4mg－N＝4m，
则N＝4mg－4m ①
为了保证汽车不压坏桥顶，同时又不飞离桥面，由牛顿第三定律得，支持力的取值范围为0≤N≤F＝3mg
将①代入②得≤v≤.
答案 ≤v≤
知识点二 竖直平面内的圆周运动
4. 如图4－3－8所示，小物块从半球形碗边的A点下滑到B点，碗内壁粗糙．物块下滑过程中速率不变，下列说法中正确的是 ( )．
A．物块下滑过程中，所受的合外力为零
B．物块下滑过程中，所受的合外力越来越大
C．物块下滑过程中，加速度的大小不变，方向时刻在变
D．物块下滑过程中，摩擦力大小不变
解析 物块下滑过程中做匀速圆周运动，所受合外力大小(即向心力)和加速度的大小均不变，方向时刻改变，A、B错误，C正确；物块下滑到C点时的受力分析如图所示，为保证速率不变，切线方向应有f＝mgsin θ，由于θ是变化的，所以摩擦力的大小也是变化的，D错误．
答案 C
5. 质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图4－3－9所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时 ( )．
A．小球对圆管内、外壁均无压力
B．小球对圆管外壁的压力大小等于
C．小球对圆管内壁的压力大小等于
D．小球对圆管内壁的压力大小等于mg
解析 设小球做圆周运动的半径为r，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m ①
小球以速度通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力N，有mg＋N＝m②
由①②得N＝－，该式表明，小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为，C正确．
答案 C
6. 乘坐游乐场的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，如图4－3－10所示，下列说法正确的是 ( )．
A．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，
若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时，处于超重状态
D．人在最低点时，对座位的压力大于mg
解析 由圆周运动的临界条件知，人在最高点时，若v＝ ，则人对底座和保险带都无作用力；若v＜，则保险带对人有拉力作用；若v＞，则人对底座有压力，且当v＞，压力大于mg，故A、B错误；人在最低点时有N－mg＝m，则N＞mg，故C、D正确．
答案 CD
7．在光滑平面上，有一转轴垂直于此平面．交点O的上方h处固定一细绳的一端，绳的另一端固定一质量为m的小球B，绳长AB＝l＞h，小球可随转轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图4－3－11所示．要使球不离开水平面，转轴的转速最大值是 ( )．
A. B．π
C. D．2π
解析 以小球为研究对象，小球受三个力作用，重力G、水平面支持力N、绳子拉力T.
在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为，故得Tcos θ＋N＝mg ①
Tsin θ＝＝mrω2＝4π2n2mr＝4π2n2mhtan θ ②
由①②得N＝mg－4π2n2mh，
当球即将离开水平面时N＝0，
转速n有最大值n＝或n＝，A正确．
答案 A
8. 如图4－3－12所示，AB是竖直平面内的四分之一圆弧形光滑轨道，下端B与水平直轨道相切．一个小物块自A点由静止开始沿轨道下滑，已知轨道半径R＝0.2 m，小物块的质量m＝0.1 kg，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2.求：
(1)小物块在B点时受到的圆弧轨道的支持力大小；
(2)小物块在水平面上滑动的最大距离．
解析 (1)从A点运动到B点，小物块机械能守恒，得mgR＝mv，
在B点有N－mg＝m，
联立以上两式得支持力
N＝3mg＝3×0.1×10 N＝3 N.
(2)设小物块在水平面上滑动的最大距离为s，对整个过程由动能定理得
mgR－μmgs＝0，
得s＝＝ m＝0.4 m.
答案 (1)3 N (2)0.4 m
9．在质量为M的电动机飞轮上，固定着一质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图4－3－13所示．
为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过 ( )．
A. g
B.
C.
D.
解析 当重物转动到最高点时，对电动机向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力的最大值T＝Mg.对重物来说，随飞轮一起做圆周运动所需的向心力是由重力和飞轮对重物的拉力T′的合力提供的，T′和T是一对作用力和反作用力．由牛顿第二定律得T′＋mg＝mrω2，代入数值得ω＝ ，故B正确．
答案 B
10．质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹桥面和凸桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如图4－3－14所示，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
图4－3－14
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(取g＝10 m/s2)
解析 (1)汽车驶至凹桥面的底部时，合外力向上，此时汽车对桥面的压力最大；当汽车驶至凸桥面的顶部时，合外力向下，此时汽车对桥面的压力最小．在最低点由牛顿第二定律得N1－mg＝m，
其中支持力最大为Nmax＝3.0×105 N，
代入数值得vmax＝10 m/s.
(2)同理，在最高点有mg－N2＝m，代入数值得N2＝1.0×105 N.
答案 (1)10 m/s (2)1.0×105 N
11．铁路转弯处的弯道半径r及其内、外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率v.下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内、外轨高度差h/m
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的距离设计值L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v.(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α)
解析 (1)分析表中数据得，每组的h与r的乘积均等于常数，即C＝660×0.05 m2＝33 m2，因此hr＝33(或h＝)；
当r＝440 m时，有h＝ m＝0.075 m＝75 mm.
(2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力示意图如图所示．由牛顿第二定律得mgtan α＝m ①
因为α很小，则有tan α＝sin α＝ ②
由①②得v＝ ≈15 m/s＝54 km/h，即我国火车的转变速率为54 km/h.
答案 (1)hr＝33 75 mm (2)54 km/h
12．如图4－3－15所示，一个四分之三圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
图4－3－15
(1)若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时速度为多大？对管道作用力的大小和方向如何？
(2)欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大 高度是多少？
解析 (1)小球离开C点后做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式得
R＝gt2，运动时间t＝ ，
从C点射出的速度为v1＝＝ ，
由向心力公式得mg－N＝，
管道对它的作用力大小为
N＝mg－m＝mg，
由牛顿第三定律知，小球对管道的作用力大小为
N′＝N＝mg，方向竖直向下．
(2)小球下降的高度最高时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．设小球落到N点，从C点射出的水平速度为v2，由平抛运动得v2＝＝，
设小球离A点的最大高度为H，由机械能守恒定律知mg(H－R)＝mv，
得H＝＋R＝5R.
答案 (1) mg，竖直向下 (2)5R
第3节 向心力的实例分析
水平面内的圆周运动
1．关于在公路上行驶的汽车转弯，下列说法中正确的是 ( )．
A．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供
B．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供
C．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、摩擦力和支持力的合力提供
解析 汽车在内外侧等高的公路上转弯时，竖直方向受到重力和支持力是一对平衡力，运动方向有牵引力和阻力，因有沿半径向外运动的趋势，所以有侧向的静摩擦力充当向心力．
答案 ACD
2．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员的重力的k倍，在水平冰面上沿半径为r的圆周滑行的运动员，其安全速度为 ( )．
A．v≥k B．v≤
C．v≤ D．v≤
解析 由F向＝m知kmg＝故v＝，故安全速度v应小于或等于，B正确．
答案 B
竖直平面内的圆周运动
3. 一辆满载的卡车在起伏的公路上匀速行驶，如图4－3－6所示，由于轮胎过热，容易爆胎．爆胎可能性最大的地段是 ( )．
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
解析 在A、B、C、D各点均由重力与支持力的合力提供向心力，爆胎可能性最大的地段为轮胎与地面的挤压力最大处．
在A、C两点有mg－F＝m，则F＝mg－m＜mg；在B、D两点有F－mg＝m，则F＝mg＋m＞mg，且R越小，F越大，故FD最大，即D处最容易爆胎．
答案 D
4．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图4－3－7所示．顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝，则物体将 ( )．
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运
动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
解析 设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝m，把v0＝代入得F＝0.说明物体只受重力作用，又因为物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确．
答案 D
课件29张PPT。第3节 向心力的实例分析1．会在具体问题中分析向心力的来源．
2．能应用牛顿第二定律和有关向心力知识分析实例．
3．熟练掌握应用向心力知识分析两类圆周运动模型的步骤和方法.一、转弯时的向心力分析
?水平路面转弯
(1)汽车在水平路面转弯时，汽车受到的_________指向圆
心，提供汽车转弯所需的向心力，即__________．
(2)若汽车转弯时的最大速度为vmax.为了不使汽车向外打滑甩出，必须满足：________．
当______________，即最大速度为vmax＝ ________.
静摩擦力f≤fmax?内低外高的倾斜路面上转弯
汽车、火车转弯时由于高速公路、铁路的弯道通常都是外高内低转弯所需的向心力由_____和_______的合力提供，如图4－3－1所示： ______________ ．
图4－3－1重力支持力F合＝mgtanθ 此时转弯时需要的向心力完全由___________________提供，对火车，火车轮缘与内外轨均无侧向压力．对汽车，此时车与路面无摩擦，因此这个速度v0称为理想转弯速
度，通常也叫做转弯处的规定速度．由此可见弯道规定速度决定于弯道的___________．
当实际转弯速度______时，所需向心力_______重力与支持力的合力F，外轨对轮缘提供侧向压力，外轨易损坏．
当实际转弯速度_______时，所需向心力______重力与支持力的合力F，内轨对轮缘提供侧向压力，内轨易损坏．
重力与支持力的合力半径和倾角过大大于过小小于 思考 汽车与公路面的动摩擦因数为μ＝0.1，公路某转弯处的圆弧半径为R＝4 m.
(1)若路面水平，要使汽车转弯时不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2)
(2)若将公路转弯处设计成外侧高、内侧低、使路面与水平面有一倾角θ＝5.7°，则当汽车以多大速度转弯时，可使车与路面无摩擦力？
二、竖直面内的圆周运动
?汽车过拱形桥的问题
(1)凸桥：如图4－3－2(a)所示，汽车在凸桥顶部时，向心力由_____和_______的合力提供．且支持力_____重力．
mg－N图4－3－2重力支持力小于 (2)凹桥：汽车在凹桥底部时，向心力由_______和_____的合力提供，如图4－3－2(b)所示．且支持力_____重力．
支持力重力大于N－mg弹力重力mg＋N图4－3－3N－mg 思考 过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车却不掉下来，这是为什么呢？
提示 当过山车在竖直面内做圆周运动时，所需要的向心力由重力和轨道的支持力来提供，当速度达到一定值时所需要的向心力大于重力时，轨道对过山车要提供一定的支持力补充所需要的向心力，即过山车压在了轨道上，所以过山车能安全通过轨道顶部.一、圆周运动问题的分析
?分析方法
(1)分析圆周运动问题时，明确圆周运动的轨道平面、圆心和半径是解题的先决条件．在具体分析问题时，首先要明确其圆周轨道在怎样的一个平面内，确定其圆心在何处，半径是多大，这样才能掌握做圆周运动物体的运动情况．
(2)分析物体受力情况，弄清向心力的来源是解题的关键．跟运用牛顿第二定律解决直线运动问题一样，解决圆周运动问题也要选择做圆周运动的物体为研究对象，进行受力分析，画出受力示意图，这是解题不可缺少的步骤．如果物体做匀速圆周运动，那么物体所受各力的矢量 和就是向心力，向心力一定沿半径指向圆心．沿同一直线的力，可简化为代数法求合力．如果物体受的力不在同一直线上，可用平行四边形定则或正交分解法求合力．
(3)向心力公式和牛顿第二定律的结合是分析圆周运动问题的基础，本部分知识涉及的公式较多，在解题时应根据题目所给的条件，灵活选用恰当的公式去处理．
?解题步骤
(1)确定做圆周运动的物体为研究对象．
(2)确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径．
(3)对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(4)运用平行四边形定则或正交分解法求出外界提供的合力F合．
温馨提示 圆周运动一般分为两类：一类是水平面上的匀速圆周运动；另一类是竖直平面内的非匀速圆周运动，通常我们只研究物体运动到最高点和最低点时所对应的状态．
二、竖直平面内圆周运动的临界问题
对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态．对临界问题简要分析如下：
图4－3－4车辆转弯问题【典例1】 铁路转弯处的圆弧半径是300 m，轨距是1 435 mm，规定火车通过这里的速度是72 km/h，内外轨的高度差应为多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压？保持内外轨的这个高度差，如果车的速度大于或小于72 km/h，分别会发生什么现象？说明理由．
思路分析 火车在转弯时所需的向心力在临界状态时由火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供．
(1)如果车速v>72 km/h，火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将小于需要的向心力，所差的向心力仍需由外轨对轮缘的弹力来弥补．这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象．
(2)如果车速v<72 km/h，F将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的弹力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向外挤压内轨的现象．
答案 见解析
借题发挥 临界值是圆周运动中经常考查的一个重点内容，它是物体在做圆周运动过程中，发生质变的数值或使物体受力情况发生变化的关键数值，今后要注意对临界值的判断和应用．
【变式1】 汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，问：
(1)若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
(2)若将公路转弯处路面设计成外侧高，内侧低，使路面与水平面有一倾角α，汽车以多大速度转弯时，可使车与路面间无摩擦力？
【典例2】 长为l的细绳一端固定，另一端系一个小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，那么 ( )．
A．小球通过圆周最高点时的最小速度可以等于零
竖直平面内的圆周运动问题答案 BCD
借题发挥 本题中的绳子只能提供指向内侧的拉力，因此，小球在最高点时具有最小速度．这是一道典型的临界状态问题，我们在解答的时候一定要正确分析小球做圆周运动过程中的临界点．
【变式2】 如图4－3－5所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度使它在竖直平面内做圆周运动，图中a、b分别表示小球运动轨迹的最低点和最高点，则细杆对小球的作用力可能是 ( )．
图4－3－5A．a处为拉力，b处为拉力
B．a处为拉力，b处为支持力
C．a处为支持力，b处为拉力
D．a处为支持力，b处为支持力
答案 AB
