(共32张PPT)
5.3.2命题定理证明
人教版七年级下册
观察与思考
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
这个黑客终于被逮住了.
是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…….
这个黑客是个小偷.
是个喜欢穿黑衣服的贼.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.
小明的百米成绩有进步，已达到11秒9.
好！继续努力,争取超过11秒.
不要再抢啦！每个人发一个球！
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令:
2.如果一个句子没有对某一件事情作
出任何判断,那么它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管
正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
像紫色字这样判断一件事情的语句，
叫作命题(proposition).
一、命题的概念
例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
典例精析
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
2）两条直线相交，有且只有一个交点（ ）
5）取线段AB的中点C；（ ）
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗 ( )
6）画两条相等的线段（ ）
练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”，
不是用“× 表示.
3）不相等的两个角不是对顶角（ ）
4）相等的两个角是对顶角（ ）
×
√
×
×
√
√
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
二、命题的结构
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
如命题：熊猫没有翅膀.改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行， 同位角相等
题设（条件）
结论
命题的组成：
总结归纳
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.
1.对顶角相等；
2.内错角相等；
3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4.平行于同一直线的两直线平行；
5.等角的补角相等.
练一练
下列命题中哪个题设和结论是正确的？
命题：两条直线被第三条直线所截，如果
同旁内角互补，那么这两条直线平行。
题设：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补。
结论：这两条直线平行。
题设：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
结论：这两条直线平行。
下列命题中哪个题设和结论是正确的？
命题：锐角小于它的余角。
题设：两个角是锐角。
结论：小于它的余角。
题设：一个角是锐角。
结论：这个角小于它的余角。
A
B
“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人偷了，我知道张三家没有种玉米。
所以我家玉米肯定是张三偷的.”
片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张三刚在他地里偷了一袋子玉米.吕县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯:吕县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你玉米 ”
李老汉想证明什么？
他是怎么证明的？
这种从已知条件出发，推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.
故事分析
根据李老汉的证明，你能断定玉米是张三偷的吗？你觉得有疑点吗？
片段2：县官一时拿不定主意，就问
旁边的县丞道：“师爷，你怎么看？”
县丞说“这事要证明是张三干的，
还得弄清那袋子里装的是不是刚捌的
玉米，还要看看地里的脚印是不是
张三的才行。如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的。”
从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.
在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么证明就很容易了.
分析：要证明AB，CD平行，就需要
同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.
我们只要找到：能说明它俩相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例2 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行？
证明：因为∠2与∠3是对顶角，
所以∠3=∠2
又因为∠1=∠2，
所以∠1=∠3，
且∠1与∠3是同位角，
所以AB与CD平行.
证明：
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠3=∠2
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD
例2 如图，∠1=∠2，
试说明直线AB，CD平行？
1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 这样的真命题叫做公理.
两点确定一条直线.
两点之间线段最短.
经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
直线公理：
线段公理：
平行公理：
三、公理的概念
2.有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：
同角或等角的余角相等.
4.垂线的性质：
①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
1.补角的性质：
3.对顶角的性质：
对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理：
四、定理的概念
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：
证明的每一步推理都要有根据，
不能“想当然”.
五、证明的概念
例3 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
典例精析
确定一个命题是假命题的方法：
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角.
）
）
1
2
A
O
C
B
只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.
思考：如何判定一个命题是假命题呢？
六、举反例
当堂练习
1.下列语句中，不是命题的是( )
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
2.下列命题中，是真命题的是( )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C. 若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D
3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
1)猪有四只脚；
2)内错角相等；
3)画一条直线；
4)四边形是正方形；
5)你的作业做完了吗？
6)内错角相等，两直线平行；
7)垂直于同一直线的两直线平行；
8)过点P画线段MN的垂线；
9)x＞2.
是
真命题
否
是
假命题
是
假命题
否
是
真命题
是
假命题
否
否
4.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
两直线平行，
同旁内角互补
5.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
求证∠ B+ ∠D=180°
证明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( )
∵ CB ∥ DE
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( )
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( )
等量代换
两直线平行，内错角相等
6.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分
∠BPQ，QH平分∠CQP，
求证PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平
分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类：
判断一件事情的句子
题设和结论
课堂小结
谢谢
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2022—2023学年度下学期七年级数学教学案 第2 周 第5节
课题 5.3.2新授课：命题定理证明
教学目标 知识与技能：经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条件表达能力过程与方法：了解命题的含义，会区分命题的题设和结论情感态度与价值观：能够综合运用平行线性质和判定解题
重点 命题，定理，证明的概念
难点 将题设和结论不明显的命题改编成如果……，那么……的形式，找出题设结论
教具 多媒体、教学案
教与学的过程教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
观察与思考：小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.一、命题的概念除了左上角的语句是陈述性语句以外，其他的语句都是判断一件事情的语句，我们把判断一件事情的语句叫作命题。注意：1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题. 如：相等的角是对顶角. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题. 如：画线段AB=CD.典例精析：例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：（1）对顶角相等吗？（2）画一条线段AB=2cm; （3）两条直线平行，同位角相等；（4）相等的两个角，一定是对顶角.练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“× 表示.1）长度相等的两条线段是相等的线段吗 ( )2）两条直线相交，有且只有一个交点（ ）3）不相等的两个角不是对顶角（ ）4）相等的两个角是对顶角（ ）5）取线段AB的中点C；（ ）6）画两条相等的线段（ ）二、命题的结构观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.结论是：命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设； 2.“那么”后接的部分是结论.如命题：熊猫没有翅膀.改写为：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.总结归纳： 题设（已知事项） 比如：两直线平行， 同位角相等命题结论（由已知事项推出的事项） 题设（条件） 结论练一练：把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.1.对顶角相等； 2.内错角相等； 3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；4.平行于同一直线的两直线平行； 5.等角的补角相等.6.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；7.锐角小于它的余角.定义：真假命题例2 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行？三、公理的概念1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 这样的真命题叫做公理.直线公理：两点确定一条直线.线段公理：两点之间线段最短.平行公理：经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.四、定理的概念2.有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.学过的定理：1.补角的性质：同角或等角的补角相等.2.余角的性质：同角或等角的余角相等.3.对顶角的性质：对顶角相等.4.垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.五、证明的概念在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 注意：证明的每一步推理都要有根据， 不能“想当然”.典例精析例3 已知：b∥c， a⊥b ．求证：a⊥c．六、举反例思考：如何判定一个命题是假命题呢？例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角.确定一个命题是假命题的方法：只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.当堂练习：1.下列语句中，不是命题的是( )A.两点之间线段最短； B.对顶角相等； C.不是对顶角不相等；D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线2.下列命题中，是真命题的是( )A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0； B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0C. 若a·b＝0，则a＝0且b＝0； D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？1)猪有四只脚； 2)内错角相等；3)画一条直线； 4)四边形是正方形；5)你的作业做完了吗？ 6)内错角相等，两直线平行；7)垂直于同一直线的两直线平行； 8)过点P画线段MN的垂线；9)x＞2.4.举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab＝0，则a＋b＝0.5.在下面的括号内，填上推理的依据.如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,求证∠ B+ ∠D=180°证明：∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ) ∵ CB ∥ DE ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ) ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( )6.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP， 求证PG∥HQ.
课后反思
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