人教A版（2019）选择性必修第二册 5.3.1 函数的单调性 教案

函数的单调性
【教学内容解析】
1．导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。
2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.
3．这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后，试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。
4．教学重点：导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数的单调性.这节课将结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
【教学目标设置】
1．借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；
2．理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间；
3．通过用定义与用导数在研究函数单调性时的两种方法的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和感悟数学自身发展的一般规律．
【学生学情分析】
1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是南通中学高二年级的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。
（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。
存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；
解决方法：需引导学生通过不断探究，数学联想，逐步得出导数研究函数单调性的结论。
2. 教学难点：发现和揭示导数与函数单调性的关系；并利用导数研究函数的单调性．
突破策略：课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单调性的结论，再结合例题研究二次函数、三次函数以及三角函数的单调性。
【教学策略分析】
1. 精心设计教学内容
站在系统的高度组织教学内容，从生活情境入手，精心设问，帮助学生联想、抽象出数学问题，整个教学过程，将经历设问——探究——归纳——应用——反思，五个方面，层层递进。
2. 充分开展学生活动
站在学生的角度，根据学生的思维特点和认知基础，给学生提供课堂参与机会，让学生在动手操作和尝试探索中验证猜想，掌握方法，体会思想，形成技能.
3. 渗透提炼思想方法
通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，帮助学生在解题和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的作用.
【教学过程设计】
一、创设情境 生活实例中导入
1 情境：前一阶段我们已经学习了导数的定义及其几何意义，导数有什么实际应用呢，今天我们一起来研究。
问题1：先请同学们观看下面一段视频，你有什么发现？（第一次播放视频）
问题2：同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？能不能把这个动画与数学联系起来，看出其中的数学问题？(分组讨论、第二次播放视频)
问题3：同学们建立了数学模型，那我们可以将曲线看做是函数y=f (x)在某区间I上的图象，对应的函数有具有怎样性质呢？（建系，教师第三次播放动画）
【师生活动】
（1）动画视频引入，直观感知；
（2）几何画板演示，猜想结论.
抽象出数学问题：
山坡 灯光向上 上坡
曲线 切线斜率k>0 上升
函数 ？ 递增
感知可以通过函数图象上每一点处的切线的斜率，即函数f(x)在该点处的导数来研究函数的单调性.
2 猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？
（再次播放函数图象上每一点处的切线斜率随函数单调性的变化情况）
从图象上，我们发现，单调递增区间上，每一点处的切线倾斜角均为锐角，斜率大于0，曲线呈上升趋势，函数单调递增；在单调递减区间上，每一点处的斜线倾斜角为钝角，斜率小于0，曲线呈下降趋势，函数单调递减．
于是，可以猜想结论:
对于函数，
如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；
如果在某区间上，那么为该区间上的减函数．
【设计意图】本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以这里利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与函数增减之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.
二、动手操作 合作学习中探究
问题4：我们要善于用数学的眼光看世界，刚才我们同学将实际问题抽象为一个数学问题，并且还建立了数学模型，数学语言来描述了这个问题，提出了一个猜想。这个猜想对不对呢？我们如何探究呢？
学生方案1：举出几个常见的函数，探究导数与函数单调性之间的联系，验证前面猜想的结论.
函 数
图 象
单调性
导 数符 号
【师生活动】
（1）独立验证，合作释疑，展示成果；
（2）教师从学生中选择具有代表性的函数进行汇报展示.
【设计意图】前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解.
学生方案2：从以前所学的导数和函数单调性的知识入手，进行探究。
“数”的角度：从函数单调性与导数的定义入手
如果函数f(x)在区间（a,b)上是增函数，那么对任意x1, x2∈(a,b)，当x1？
大于0
密切相关
于是，从“数、形”两方面，我们都可以感知导数大于0和函数单调递增之间存在着密切联系。
【设计意图】从“形”的角度，对具体例子进行动态演示，通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，又从“数”的角度，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．
三、知识建构 生成演练中应用
对于函数，
如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；
如果在某区间上，那么为该区间上的减函数．
注意：（1）如果在某区间上恒成立，则为该区间上的常函数．
（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”．
例1 确定函数在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数．
【教学预设】对于学生熟悉的二次函数，学生可能首先想到的是图象直观，然后再提出根据定义、利用导数，在合作学习中比较各种方法.
法一：图象直观
法二：根据定义
任取，且，
所以，f(x)在上单调递增，同理：f(x)在上单调递减.
法三：利用导数
，
令，解得．
因此，在区间上，，是增函数；
在区间上，，是减函数．
总结：利用导数判定函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域；
②求出函数的导数；
③在定义域内解不等式；
④下结论，确定函数的单调区间．
【设计意图】
（1）例题1，由“形”到“数”的解决了该函数的单调性问题，加强了对结论的应用和理解；
（2）规范了利用导数研究函数单调性的书写；
（3）例题1的解决说明，判定函数单调性增加了一种新的方法——导数法.
例2 确定函数在哪些区间上是增函数．
【教学预设】对于求解该三次函数的单调性而言，学生对于其图象不太熟悉，
定义法对代数变形的要求比较高、较繁琐，所以选择导数法比较方便．
解：的定义域为R，．
令，
解得或．
因此，在区间上，是增函数；
在区间上，也是增函数．
即的单调递增区间为和．
问题 能否根据三次函数所求的单调区间，画出这个函数的大致图象呢？
原函数看增减
导函数看正负
【师生活动】先根据函数的单调性画出原函数的大致图象，同时对应作出导函数图象，行进比较，加深巩固导函数图象的正负与原函数增减之间的关系.
【设计意图】
（1）从图象上感知原函数与导函数的关系，加深对结论的认识；
（2）例题2由“数”到“形”解决了该三次函数的单调性，强化了应用；
（3）例题2体现了导数法研究函数单调性的优越性：当图象直观、根据定义不太容易解决函数单调性时，还可以利用导数来解决．
例3 确定函数的单调减区间．
【教学预设】学生看到三角函数的单调性，首先想到的是利用图象直观解决，但是此时作三角函数图象只是建立在五点法作图的基础上，根据定义来解决时对代数变形要求也比较高，此时可以利用导数来解决.
解: 定义域为, ．
令，即．
又，
所以．
故所求的单调减区间是．
【师生互动】 解三角不等式的时候，学生会有一定的困难，此时可以借助于导函数图象来解决，题目做完后再作正弦函数的图象时，不仅仅局限于五点法，还可以根据图象的性质来作图，会更加清晰明确.同时由学生对原函数图象与导函数图象进行比较，深化对结论的理解.
【变式】证明函数在区间上是单调减函数.
证明: ．
因为，所以，即在上恒成立，
故f(x)在区间上单调递减．
【设计意图】
（1）解三角不等式时，画出的图象帮助解决．解完后再画出的图象，直观的验证答案的正确性．解题过程始终注意“数”“形”结合；
（2）例题3和变式题再次体现利用导数来研究函数单调性的优越性：不能根据解决的，利用导数仍可以解决.
（3）从二次函数、三次函数到三角函数，体现了导数法研究函数单调性的一般性和普遍适用性．
四、课堂小结 回顾整理中提炼
通过这节课的研究，你学会了什么知识，能解决了哪些问题？你的收获与感受是什么呢？
【设计意图】培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心.
五、自主作业 巩固训练中拓展
必做题：课本P29 第1、3、4题．
选做题：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f(x)>0吗？
【设计意图】知识巩固，反馈信息，同时注意个体差异，因材施教，必做题为基础训练，选做题既是对本节课的提升训练，也为下节课做好铺垫.
六、教学设计说明
导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性. 那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路，整个教学过程，从创设情境—实例验证—揭示本质—强化应用—回顾反思，五个方面入手，层层递进，螺旋上升．
关注生活 自然导入
本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，第一次抽象：引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与曲线上升下降的联系；适当建系后，第二次抽象：将曲线看做是函数y=f(x)上的一段图象，那么切线斜率即为函数在该点处的导数，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.
关注探究 合作生成
前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解. 再从“形”回到 “数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．
关注应用 数形结合
在典例演练，强化应用的过程中，例题1由“形”到“数”， 规范了用导数研究单调性的书写，加深了对结论的理解；例题2在了解函数的性质基础上，要求学生画出三次函数的大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并对导函数图象与原函数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调性的优越性；例题3由三角函数图象很快能得出结论，但在变式题中证明函数单调性又回到“数”，解三角不等式时，学生可以画出导函数图象辅助解题，题目解完后再次画出原函数图象加以验证，数形结合思想，贯穿始终，并且突显了利用导数研究函数单调性的一般性．三道例题逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．
单 调 性
导 数
增函数
f (x)= x2–4x+3
2
O
1
3
-1
x3
y3
2
f(x)=2x3－6x2 + 7
2
x
yx
Oyx
f '(x)= 6x2 －12x
x
yx
Oyx
f (x)= sinx
f '(x)= cosx
x
x
y
y
Oyx
Oyx
“形”
“数”
应 用
对于函数y=f(x)，如果在某区间上：
在该区间上单调增；
在该区间上单调减.
确定函数单调区间
切线斜率与函数单调性之间的联系
导数与函数单调性定义之间的联系
证明函数单调性
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