课件17张PPT。2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理 歌德巴赫猜想:
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 歌德巴赫猜想:
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3， 1000＝29+971，
8＝3+5， 1002=139+863,
10＝5+5, …
12＝5+7，
14＝7+7，
16＝5+11,
18 =7+11,
…， 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明例1:已知数列{an}的第1项a1=1且
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。 归纳推理的一般步骤：例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.46455659846455659866861281261046455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3123当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=3时,a3=7当n=4时,a4=15猜想 an=2n -1123作业:P93 1. 3. 4课件8张PPT。2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比)类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．s1s2s3c2=a2+b2例3：(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢１６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（ ）ＡＡ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
--------.(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或设圆的方程为①b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.作业:P93-９４
Ａ组 5. B组 １．圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2利用圆的性质类比得出求的性质球的体积球的表面积圆的周长 圆的面积课件12张PPT。2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理复习:合情推理归纳推理
类比推理从具体问题出发观察、分析
比较、联想提出猜想归纳、
类比类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。 复习:合情推理⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。 归纳推理的一般步骤： 观察与是思考1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 3.三角函数都是周期函数, 4.全等的三角形面积相等 所以铜能够导电.因为铜是金属, 所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,所以是tan 周期函数因为tan 三角函数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.MSa1.全等三角形面积相等 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似,2.相似三角形面积相等 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似,想一想???练习:P91 3例.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等. (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900所以△ABD是直角三角形同理△ABD是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线所以 DM= AB同理 EM= AB所以 DM = EM大前提小前提结论大前提小前提结论证明:例:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.满足对于任意x1,x2∈D,若x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x10
因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0
因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.作业;P93 6 P110 A组2课件24张PPT。知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾研读教材新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课后作业课件14张PPT。2019/1/6第二章 推理与证明复习小结2019/1/6推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明 比较法类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法知识结构2019/1/6一.综合法2019/1/62019/1/6证证明:
要证
只需证
只需证
只需证
只需证
因为 成立.
所以 成立.二.分析法2019/1/6三:反证法问题一:
求证:两条相交直线有且只有一个交点.注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.2019/1/6问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要证“至多有两个不相等的实根”只要证明它的反面“有三个不相等的实根”不成立即可.2019/1/6问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.L1L22019/1/6五.归纳、类比、猜想、证明2019/1/62019/1/6例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中
的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.2019/1/6又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个
交点也两两不相同.从而平面内交点的个数是
k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:
f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当
n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.2019/1/6注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,
---则: f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________.n-1练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或
三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将
空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成
f(k+1)=f(k)+__________个区域.2k2019/1/6１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,
证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.作业：课件19张PPT。2.2.2 反证法 2.2 直接证明与间接证明问题提出 1.综合法和分析法的基本含义分别是什么？ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立.分析法：从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止. 2.综合法是从条件→结论的推理方法，分析法是从结论→条件的推理方法，二者都是直接证明的方法.当某些数学命题难以直接证明时，我们可以采用一种间接证明的方法 反证法.反证法探究（一）：硬币翻转问题 【背景问题】桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转其中2枚硬币，观察反面朝上的硬币数如何变化.思考1：若双手各翻转1次，则反面朝上的硬币数为多少？2枚 思考2：若双手各翻转2次，3次。4次，则反面朝上的硬币数分别为多少？ 0枚或2枚 思考3：由归纳推理可得什么猜想？猜想：无论怎样翻转，都不能使只有1枚硬币反面朝上或3枚硬币全部反面朝上.思考4：如何证明上述猜想？假设经过若干次翻转可以使只有1枚硬币反面朝上，因为每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，需要翻转奇数次，则这枚硬币需要翻转奇数次，其余2枚硬币需要翻转偶数次，所以翻转的总次数必为奇数.但由于每次用双手同时翻转其中2枚硬币，若干次翻转的总次数必为偶数，所以翻转的总次数矛盾！故假设不成立，即无论怎样翻转，都不能使只有1枚硬币反面朝上.同理，也不能使3枚硬币全部反面朝上.探究（二）：反证法的基本思想 思考1：上述证明方法叫做反证法，一般地，反证法的的基本含义是什么？ 假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.思考2：如何用反证法证明 是无理数？思考3：用反证法证题的核心问题是什么？ 在正确的推理下得出矛盾. 思考4：在反证法应用中，矛盾的构设有哪几种情形？（1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （4）与客观事实矛盾.思考5：反证法是否等同于证明原命题的逆否命题？ 例1 已知直线a，b和平面α，如果， ,且a//b，求证：a//α.理论迁移 例2 设a，b，c为一个三角形的三
边， ，若s2＝2ab，
求证：s＜2a. 例3 已知x，y＞0，且x＋y＞2，
求证： 中至少有一个
小于2.小结作业 1.反证法是一种间接证明的方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，其基本思路是：
假设结论不成立→构设矛盾→否定假设肯定结论. 2.反证法主要适用于以下两种情形：
（1）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条件推出结论线索不清晰；
（2）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形.作业：
P91练习：1，2.
P91习题2.2A组：1，4. 推理与证明习题课 例1 已知数列满足：
，试猜测数列
的通项公式，并证明你的结论. 例2 过椭圆 的左焦点F，
任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB.
（1）若在x轴上存在点M，使得∠AMB被x轴平分，求点M的坐标；
（2）试根据合情推理给出椭圆性质的一个猜想，并证明之.猜想：过椭圆
的左焦点F，任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，椭圆的左准线与x轴的交点为M，则∠AMB被x轴平分. 例3 在△ABC中，求证： 例4 求证：面积为1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖.课件18张PPT。 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法问题提出 1.合情推理的主要作用和思维过程是什么？作用：提出猜想，发现结论； 过程：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 2.演绎推理的一般模式是“三段论”，三段论的基本含义如何？ 大前提：已知的一般原理； 小前提：所研究的特殊情况； 结 论：根据一般原理，对特殊情况做 出判断. 3.合情推理所得结论的正确性是需要证明的，演绎推理的实施也需要具体的操作方法，因此，从理论上获取证明数学命题的基本方法，是我们需要进一步学习的内容.综合法和分析法探究（一）：综合法 思考1：对于不等式
其左右两边的结构有什么特点？右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？基本不等式思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不等式性质证明 思考4：上述从已知条件，基本不等式，不等式乘法和加法性质出发，推出所证结论成立的证明方法叫做综合法，一般地，综合法的基本含义是什么？ 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立.思考5：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”，其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未知.若用P表示已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，Q表示所要证明的结论，则综合法的推理过程用流程框图可怎样表示？…探究（二）：分析法思考1：对于不等式
(a≠b)，
若证该不等式成立，只要证明什么？思考2：若证不等式
成立，
只需证明什么？思考3：若证不等式|a|＋|b|≥|a＋b| 成立，只需证明什么？ |ab|≥ab |a|＋|b|≥|a＋b| 思考4：由于|ab|≥ab显然成立，反推回去即得原不等式成立.其中上述各步推理中所寻求的条件是充分条件，还是必要条件，还是充要条件？ 充分条件思考5：上述证明方法叫做分析法. 一般地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止. 思考6：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”，其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知. 若用Q表示所要证明的结论，则分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？…理论迁移 例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形. 例2 求证： . 例3 已知sinθ＋cosθ＝2sinα， sinθ·cosθ＝sin2β，
其中 ，求证：小结作业 1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法. 2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性. 3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.作业：
P89练习：1，2，3.推理与证明知识回顾
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．
一、推理部分
1．知识结构框图：
2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．
①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．
③推理过程：
从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．
3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
推理模式：“三段论”：
ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
ⅲ结论：＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
集合简述：
ⅰ大前提： 且x具有性质P；
ⅱ小前提： 且 ；
ⅲ结论：y也具有性质P；
４．合情推理与演绎推理的关系：
①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；
②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；
二、证明部分
１．知识结构框图
２．综合法与分析法
①综合法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．
③反证法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛 盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿ ＿＿＿等矛盾．
3．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：
（1）（归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）（归纳递推）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．其证明的方法叫做数学归纳法．
学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步 时命题成立，一定要用上归纳假设 时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．
三、考查要求
“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础．逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材．
数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查．
推理与证明复习指导
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力
一．推理部分
1．知识结构：
演绎推理
推理
归纳
和情推理
类比
2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对 象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．
例如：已知 ，可以 ，
，于是推出：对入任何 ，都有 ；而这个结论是错误的，显然有当 时， ．因此 ，归纳法得到的结论有待证明．
例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；
类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．
类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．
④推理过程：
从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．
3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．
①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
推理模式：“三段论”：
ⅰ大前提：已知的一般原理（ 是 ）；
ⅱ小前提：所研究的特殊情况（ 是 ）；
ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（ 是 ）；
集合简述：
ⅰ大前提： 且 具有性质 ；
ⅱ小前提： 且 ；
ⅲ结论： 也具有性质 ；
例题1．若定义在区间D上的函数 对于D上的 个值 ，总满足 ，称函数 为D上的凸函数；现已知 在 上是凸函数，则 中， 的最大值是 ．
解答：由 （大前提）
因为 在 上是凸函数 （小前提）
得 （结论）
即
因此， 的最大值是
注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型
４．和情推理与演绎推理的关系：
①和情推理是由特殊到一般的 推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；
②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；
例２．设 ， （其中 且 ）
（1）５＝２＋３请你推测 能否用 来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.
解答:（1）由
＝ ＋ ＝
又 ＝
因此， ＝
（2）由 ＝
即 ＝
于是推测 ＝
证明：因为： ， （大前提）
所以 ＝ ，
＝ ， ＝ ，（小前提及结论）
所以
＝ ＋
＝ ＝
解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造 ＝ 是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论 ＝ ．
二．证明部分
１．知识结构
数学归纳法
综合法
证明
直接证法
分析法
间接证法
反证法
２．综合法与分析法
①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．
②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．
③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．
例３．已知： ，求证：
证明： 因为
所以
又由已知 ，因此， 成立．
由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．
解题评注：(1)以上解答采用 恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．
(2)这里表示了 ,( )是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.
例4.求证抛物线 ，以过焦点的弦为直径的圆必 与 相切.
证明：（如图）作AA／、BB／垂直
准线，取AB的中点M，作MM／垂直
准线.
要证明以AB为
直径的圆与准线相切
只需证｜MM／｜＝ ｜AB｜[om]
由抛物线的定义：
｜AA／｜＝｜AF｜，｜BB／｜＝｜BF｜
所以｜AB｜＝｜AA／｜＋｜BB／｜
因此只需证｜MM／｜＝ （｜AA／｜＋｜BB／｜）
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.
所以以过焦点的弦为直径的圆必与 相切.
以上解法同学们不难以综合法作出解答.
解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,
特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.
3.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：
（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；
（2）（归纳递推）假设ｎ＝ （ 时命题成立，证明当 时命题也成立。就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立．其证明的方法叫数学归纳法．
（3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺
一不可．特别地，在证明第二步 时命题成立，一定要用上归纳
假设ｎ＝ 时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即
确定证题方向；
数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．
例５．已知数列 的前 和为 ，其中 且
(1)求
(2)猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解答：（1）
又 ，则 ，类似地求得
（2）由 ， ， …
猜得：
以数学归纳法证明如下：
①当 时，由（1）可知等式成立；
②假设当 时猜想成立，即
那么，当 时，由题设 得
，
所以 ＝ ＝
－
因此，
所以
这就证明了当 时命题成立.
由①、②可知命题对任何 都成立.
解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；
（2）解题时注意已知式 对任何 都成立，因此要注意其变形 应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一步.
三．高考要求
高 考强调对数学思维能力的考查，“和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.
近几年数学归纳法很少单独考察，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考察，常与归纳猜想相结合进行综合考察.
课件5张PPT。楚水实验学校高二数学备课组直接证明与间接证明复习回顾证明方法直接证明间接证明（实验证明）···············(综合法、分析法等)(反证法等)三种常见证法的特点与比较：命题“若p,则q”综合法：p→q1→q2→······→q分析法: q←p1←p2←······←p从已知到结论：从否定结论到矛盾,确定结论训练反馈判断下列命题的真假，并说明理由(1)两个不相等的角，一定不是对顶角； (2) 5 - 2 > 6 - 5 ； (3)在三角形的三个内角中，至少有两个是锐角； (4)设a>0,b>0,且a≠b,则关于x的一元二次方程 (a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根； (5)设a,b是异面直线，A1,A2∈a , B1,B2∈B，则 A1B1，A2B2也是异面直线； 总结：证明方法的选择是一种思维习惯。当直接从 条件证明结论比较困难时，可考虑使用分析法 或反证法；当结论的反面比较简单时可选用反 证法应用举例例1. 已知四点O,A,B,C满足OA⊥BC，OB⊥AC， 求证：OC⊥AB拓展研究
