高二数学人教A版2019选择性必修第三册 6.2.3 组合+6.2.4 组合数（学案）（含答案）

6.2.3 组合 + 6.2.4 组合数
【学习目标】
课程标准 素养要求
通过实例,理解组合的概念,能利用计数原理推导组合数公式 1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.(数学抽象) 2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.(数学运算) 3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.(数学建模)
【自主学习】
一、组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 .
2.相同组合:两个组合只要 ,不论元素的顺序如何,都是相同的.
3. 排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
二、组合数与组合数公式
1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的 ,用符号表示.
2.组合数公式:,这里n,m∈N*,并且m≤n.
另外,我们规定= .
思考1：“组合”与“组合数”是同一概念吗 它们有什么区别
三、组合数的性质
性质1:.
性质2:.
思考2：组合数的两个性质在计算组合数时有何作用
【小试牛刀】
1、思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 由于组合数的两个公式都是分式,所以结果不一定是整数.(　　)
(2)从a、b、c、d中选取2个合成一组，其中a、b与b、a是同一个组合．(　　)
(3) 从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题.(　　)
(4)组合和排列一样，都与“顺序”有关．(　　)
2.计算C－C·A＝________．
3.现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为________．
【经典例题】
题型一 组合概念的理解与应用
点拨：排列、组合问题的判断方法
1.区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序.
2.区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.
例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题.
(1)8个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次
(2)8个朋友相互各写一封信,一共写了多少封信
(3)从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个
(4)从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个集合,这样的集合有多少个
题型二 组合数计算及其性质的应用
点拨：组合数公式的应用方法
1.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算.
2.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.
3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
例2 (1)7C－4C的值为________．
(2)若C＝C，则C＝(　　)
A．380 B．190 C．18 D．9
【跟踪训练】1 计算+++…+的值为(　　)
A.　　 B.　　 C.-1　　 D.-1
题型三 “含有”或“不含有”、“至少”或“至多”组问题
点拨：
1.“含有”或“不含有”某些元素的组合问题：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩余元素中去取．
2.“至少”或“至多”含有几个元素的问题：
“至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
例3 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
【跟踪训练】2 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为(　　)
A．232 B．252 C．472 D．484
题型四 分组、分配问题
角度1　不同元素分组、分配问题
例4 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
角度2　相同元素的分配问题
点拨：相同元素分配问题的处理策略
1.隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
2.将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
例5 6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．
【当堂达标】
1.(多选)+等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有(　　)
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
3.从六位同学中选出四位参加一个座谈会，要求小张、小王两名同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为(　　)
A．9 B．14 C．12 D．15
4. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
5. 我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情，现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为(　　)
A．116 B．100 C．124 D．90
6.求证:=+2+.
【参考答案】
【自主学习】
组合 元素相同
组合数 1
思考1：“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一组对象;组合数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.
思考2：第一个性质中,若m>,通常不直接计算,而改为计算,这样可以减少计算量;第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数,在解题中要注意灵活运用.
【小试牛刀】
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2. 0 解析：原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
3. 15 解析：由题意得，不同选法的种数为C＝15.
【经典例题】
例1解：(1)每两人握手一次,无顺序之分,是组合问题.
(2)每两人相互写一封信,是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的.
(3)是排列问题,因为取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,便会得到不同的三位数.
(4)是组合问题,因为取出3个数字后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其构成的集合都不变.
例2 (1)0 解析：7C－4C＝7×－4×＝0.
(2)B 解析：∵C＝C，
∴n＝18，
∴C＝C＝C＝＝190.故选B.
【跟踪训练】1 C 解析：+++…+=++++…+-
=++…+-1=…=+-1=-1.
例3 解：(1)从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为C＝792.
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为C＝36.
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为C＝126.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：
第1步，从甲、乙、丙中选1人，有C种选法；
第2步，从另外9人中选4人，有C种选法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的选法种数为CC＝378.
【跟踪训练】2 C 解析：(1)方法一：本题的解题关键是抓住有无红色卡片来讨论．若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有CCC＝64种取法；若2张同色，则有CCCC＝144种取法．若红卡片有1张，剩余2张不同色，则有CCCC＝192种取法；剩余2张同色，则有CCC＝72种取法，故共有64＋144＋192＋72＝472种取法．故选C.
方法二：从16张不同的卡片中任取3张，共有C种取法，其中有两张红色的有C×C种取法，三张卡片颜色相同的有C×4种取法．所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法有C－C×C－C×4＝472种．故选C.
例4 解：(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法，所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90种选法．
(2) ＝15.分为三份，每份两本一共有15种方法．
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种方法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种方法．
例5 分析：(1)等价转化成：6个球排成一行，球之间共5个空，插3个隔板，隔成4份，
(2)隔板法先在首尾两球外，各放一隔板，并在5个空隙中任选2个各插一隔板．然后将剩下的一隔板与前面任一块并放形成空盒．
(3)隔板法先在首尾两球外各放一隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
例5 解： (1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)方法．
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法，故共有C·C＝40(种)方法．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种插法．故共有C·(C＋C)＝30(种)方法．
【当堂达标】
1. BD 解析：由组合数的性质得:+==.
2. C 解析：第一步，将3名学生分成两个组，有CC＝3种分法，第二步，将2组学生安排到2个村，有A＝2种安排方法，所以，不同的安排方法共有3×2＝6种．
3.A 解析：方法一(直接法)　分两类：
第1类，小张、小王两名同学都不参加，有C种选法；
第2类，小张、小王两名同学中只有一人参加，有CC种选法．
根据分类加法计数原理，可得不同的选法种数为C＋CC＝9.
方法二(间接法)　不同的选法种数为C－C＝9.
4. C 解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；
最后剩下的3名同学去丙场馆．
故不同的安排方法共有C·C＝6×10＝60种．故选C.
5. B 解析：根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：
第一步：将5名医学专家分为3组，
①若分为3，1，1的三组，有C＝10种分组方法；
②若分为2，2，1的三组，有＝15种分组方法，
故有10＋15＝25种分组方法．
第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去A医疗点，
可分配到B，C医疗点中的一个，有C＝2种分配方法，
再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有A＝2种分配方法，
则有2×2＝4种分配方法．
根据分步乘法计数原理，共有25×4＝100种分配方法．
6.证明：由组合数的性质=+可知,
右边=(+)+(+)
=+==左边,
等式成立.