高二数学人教A版2019选择性必修第三册 6.3.1 二项式定理(学案)(含答案)

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名称 高二数学人教A版2019选择性必修第三册 6.3.1 二项式定理(学案)(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-01-23 22:49:30

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文档简介

6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
【学习目标】
课程标准 素养要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.能用计数原理证明二项式定理.(数学抽象) 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(数学运算) 3.能解决与二项式定理有关的简单问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主学习】
一.二项式定理
1.(a+b)n= (n∈N*),这个公式叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,共有n+1项,其中各项的系数 (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
2.二项展开式的特点:
(1)展开式共有n+1项,各项的次数都是n;
(2)字母a按降幂排列,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,次数由0逐项加1直到n.
二.二项展开式的通项
1.二项展开式中的 叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第 项:Tk+1=Can-kbk.
2.在应用通项Tk+1=Can-kbk时,要注意:
(1)通项是二项展开式的第k+1项,而不是第k项.
(2)二项展开式的第k+1项的二项式系数是C,与a,b的取值无关,且是正数;而第k+1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积,可能为负数.
如(2x+1)5展开式中的第二项的二项式系数是C,而第二项的系数则是C·24.
当数字系数为1时,二项式系数恰好就是项的系数.
(3)(a+b)n与(b+a)n的二项展开式相同,但是(a+b)n的第k+1项为Can-kbk,(b+a)n的第k+1项为Cbn-kak.因此,应用二项式定理时,a与b是不能随便交换位置的.
【小试牛刀】
1、思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)(a+b)n展开式中共有n项.(  )
(2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.(  )
(3)Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.(  )
(4)(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的二项式系数相同.(  )
2.展开式中的常数项为________.
【经典例题】
题型一  二项式定理的正用、逆用
点拨:运用二项式定理的解题策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
提醒:逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是(a-b)n的形式.
例1 (1)写出展开式:;
(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
【跟踪训练】1
(1)若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,则a0=(  )
A.-32 B.-2 C.1 D.32
(2)用二项式定理展开(x+2y)4.
题型二  二项展开式通项的应用
角度1 二项展开式中的特定项问题
点拨:
二项展开式的通项Tr+1=Can-rbr的主要作用是求展开式中的特定项,常见的题型有:(1)求第k项;(2)求含xr(或xpyq)的项;(3)求常数项;(4)求有理项.其中求有理项时一般根据通项,找出未知数的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据整数的整除性来求解.另外,若通项中含有根式,一般把根式化为分数指数幂,以简化运算.
例2 (1)(x+2)8的展开式中x6的系数是(  )
A.28   B.56   C.112   D.224
(2)的展开式中的常数项为________.
角度2 系数配对问题
点拨:求两个(或多个)二项式乘积的展开式常用方法:(1)对每一个二项式展开,于是问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式,此时只需利用多项式乘法法则对其展开即可(即用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项);(2)先利用运算性质对其进行化简,再利用二项式定理进行展开.
例3 (1)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(  )
A.5 B.10 C.15 D.20
(2)(x2+1)(2x+1)6展开式的x2的系数是________.
角度3 特殊三项式(可化为二项式)的展开式问题
点拨:解决三项式问题有三种方法,方法一:先把三项式中的某两项看作一项,然后利用二项式定理展开求解;方法二:三项式可利用完全平方公式转化为二项式,然后用二项式定理求解;方法三:三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式,然后用二项式定理求解.以上方法也可推广到四项式.
例4 (x3+3x-4)4的展开式中x的系数是________.
【跟踪训练】2
(1)在的展开式中,x2的系数是________.
(2) (1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(  )
A.12 B.16 C.20 D.24
(3)的展开式中,常数项为________.
题型三  二项式定理的灵活应用
例5 展开式中x3的系数为10,则a的值等于(  )
A.-1   B. C.1   D.2
【跟踪训练】3 已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等,则展开式中所有的有理项的系数和为________.
【当堂达标】
1.二项式(1-2x)9的展开式中x6的系数为(  )
A. B.- C.26 D.-·26
2.若的展开式中x3项的系数是240,则实数m的值是(  )
A.2 B. C.±2 D.±
3.展开式中的常数项是70,则n=________.
4.设f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,则f(2)=________.
5.求的展开式.
6.在二项式的展开式中,求(1)第4项;(2)常数项;(3)有理项.
【参考答案】
【自主学习】
一.Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn C
二.Can-kbk k+1
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2. 24 解析:展开式中通项公式Tk+1=Cx4-k·=(-2)kCx4-2k,当4-2k=0时,展开式为常数,此时k=2,展开式的常数项为:T3=4C=24.
【经典例题】
例1解析:(1)方法一 =C(2x)5+C(2x)4+C(2x)3+C(2x)2+C(2x)1+C(2x)0=32x5-120x2+-+-.
方法二 ==(4x3-3)5=[C(4x3)5(-3)0+C(4x3)4(-3)1+C(4x3)3(-3)2+C(4x3)2(-3)3+C(4x3)1(-3)4+C(4x3)0(-3)5]=32x5-120x2+-+-.
(2)原式=C(x-1)5+C(x-1)4+C(x-1)3+C(x-1)2+C(x-1)1+C(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
【跟踪训练】1 (1)D 解析:x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,令x-2=0,即x=2,可得a0=25=32.
(2)(x+2y)4=x4+x3(2y)+x2(2y)2+x(2y)3+(2y)4=x4+8x3y+24x2y2+32xy3+16y4.
例2 (1)C 解析:由T2+1=x8-2·22=112x6,所以(x+2)8的展开式中x6的系数是112.
(2)28 解析:由题意,可知:此二项式的展开式的通项公式为
Tk+1=(2x)8-k=·28-k··x8-k·=·(-1)k28-4k·x8-4k.
所以当8-4k=0,即k=2时,Tk+1为常数项.此时T2+1=·(-1)228-4×2=28.
例3 (1)C 解析:(1)因为(x+y)5的展开式的第k+1项Tk+1=Cx5-kyk,
所以(x+y)5的展开式中x3y3的系数为C+C=15,故选C.
(2)61 解析:(x2+1)(2x+1)6=x2(2x+1)6+(2x+1)6,
二项式(2x+1)6的通项为Tr+1=C(2x)6-r.
所以当r=6时,x2的系数为1×C=1.当r=4时,x2的系数为22×C=60.
所以(x2+1)(2x+1)6展开式的x2的系数为1+60=61.
例4 -768 解析:方法一 (x2+3x-4)4=[(x2+3x)-4]4=C(x2+3x)4-C(x2+3x)3×4+C(x2+3x)2×42-C(x2+3x)×43+C×44,显然,展开式中只有第四项中含x,所以展开式中x的系数是-C×3×43=-768.
方法二 (x2+3x-4)4=[(x-1)(x+4)]4=(x-1)4×(x+4)4=(Cx4-Cx3+Cx2-Cx+C)(Cx4+Cx3×4+Cx2×42+Cx×43+C×44),所以展开式中x的系数是-C44+C43=-768.
方法三 (x2+3x-4)4=(x2+3x-4)(x2+3x-4)(x2+3x-4)(x2+3x-4),从上述1个因式中取3x,其他3个因式取-4,则x的系数是C×3×(-4)3=-768.
【跟踪训练】2 (1)10 解析:(1)Tk+1=C·x5-k·=C·2k·x5-3k,令5-3k=2,得k=1.
故在的展开式中,x2的系数为C·21=10.
(2)A 解析:(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为:1×+2×=12.
(3)-5 解析:=,Tk+1=C(-1)4-k(k=0,1,2,3,4)
k=0时,T1=1,的展开式的通项为Tk+1=Cxk-r=(-1)kCxk-2r(r≤k),
令k=2r可得或,常数项为1-12+6=-5.
例5 D 解析:展开式的通项公式Tk+1=C·x5-k·=akC·x5-2k,令5-2k=3,所以k=1. 因为x3的系数为10,所以aC=10.所以a=2.故选D.
【跟踪训练】3 解析:Tk+1=C·xn-k·=Cxn-k(k=0,1,2,3,…,n)
由题意知:C·=C·,解得n=5,
∴Tk+1=Cx5-k(k=0,1,2,3,…,5)
当k=0,2,4时,对应项是有理项,所以有理项的系数和为
C+C+C=1++=.
【当堂达标】
1.C 解析:二项式(1-2x)9=+(-2x)+…+(-2x)k+…+(-2x)9,其展开式中x6的系数为:(-2)6=26.
2. D 解析:(1)二项式的通项公式为:Tk+1=C·(mx)6-k·=C·m6-k·(-2)k·x6-k,
因为的展开式中x3项的系数是240,所以当6-k=3时,有C·m6-k·(-2)k=240成立,解得k=2,因此有C·m6-2·(-2)2=240,m=±.故选D.
3. 4 解析:因为==,
所以Tk+1=(-1)kx2n-2k,又因为展开式的常数项为70,令2n-2k=0得,k=n,所以(-1)n=70,又=70,所以n=4.
4. 3 解析:f(x)=x5(-1)0+x4(-1)1+x3(-1)2+x2(-1)3+x(-1)4+·(-1)5+2=(x-1)5+2,
所以f(2)=3.
5. 解:方法一:=+
(3)3+(3)2()2+(3)()3+()4=81x2+108x+54++.
方法二:(3+)4==(1+3x)4
=[1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4]=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2.
6. 解:二项展开式的通项Tr+1=Cx12-r=(-1)rCx12-r.
(1)令r=3,则T4=(-1)3Cx12-×3=-220x8.
(2)令12-r=0,则r=9,从而,常数项为(-1)9C=-220.
(3)当r=0,3,6,9,12时,是有理项,分别为T1=x12,T4=-Cx8=-220x8,T7=Cx4=924x4,T10=-C=-220,T13=x-4.