专题23 平抛运动的极值临界问题
一. 平抛运动中的临界问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
处理平抛运动中的临界问题的关键
处理此类问题的重点在于结合实际模型，对题意进行分析，提炼出关于临界条件的关键信息。此类问题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件。
二。处理平抛运动中的极值问题的方法
分析求解平抛运动中的极值问题的方法，主要是利用平抛运动规律和相关知识，列出方程，得出相关函数关系式，利用数学方法得出最大值或最小值。数学方法主要有：
1.利用二次函数求极值
二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0),当x=-时,y有极值ym=(a>0时,ym为极小值;a<0时,ym为极大值).
2. 利用均值不等式求极值
对于两个大于零的变量a、b,若其和a+b为一定值,则当a=b时,其积ab有极大值;若其积ab为一定值,则当a=b时,其和a+b有极小值.
1（2017全国II卷·17）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）
A. B. C. D.
【参考答案】B
【名师解析】设小物块运动到最高点的速度为，半圆形光滑轨道半径为R，小物块由最低点运动到最高点，由机械能守恒定律，；小物块从最高点飞出做平抛运动，x=vtt，2R=gt2，联立解得，x=2=4.当R=时，x最大，选项B正确。
2..(2015·全国卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图10所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
【参考答案】 D
【名师解析】 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝①
＝v1t1②
联立①②得v1＝
当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
＝v2t2③
3h＝gt④
联立③④得
v2＝
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为
＜v＜，选项D正确。
最新模拟题精选
1. （2022湖南衡阳期中）如图甲所示，抛球游戏是小朋友们最喜欢的项目之一，小朋友站立在水平地面上双手将皮球水平抛出，皮球进入水平篮筐且不擦到篮筐就能获得小红旗一枚。如图乙所示。篮筐的半径为R，皮球的半径为r，篮筐中心和出手处皮球的中心高度为和，两中心在水平地面上的投影点、之间的距离为d。忽略空气的阻力，已知重力加速度为g。设水平投篮出手速度为v，要使皮球能入筐，则下列说法中正确的是（ ）
A. 皮球出手速度越大，皮球进筐前运动的时间越长
B. 皮球从出手到入筐运动的时间为
C. 皮球出手速度v的最大值为
D. 皮球出手速度v的最小值为
【参考答案】C
【名师解析】
平抛运动的时间由下落的高度决定，则进框的皮球运动时间相同，A错误；
皮球沿连线的方向投出，并能进框的图示如图，作出皮球中心的运动轨迹，下落的高度为，由，得，B错误：皮球沿连线的方向投出，并能进框的图示如图，作出皮球中心的运动轨迹，下落的高度为，水平射程分别为和则投射的最大速度为
最小速度为，C正确，D错误。
2.（2022河北重点中学期中素养提升）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，北京也将成为奥运史上首个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市。跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，如图，跳台滑雪赛道由助滑道、着陆坡、停止区三部分组成；比赛中，质量为的运动员从A处由静止下滑，运动到处后水平飞出，落在了着陆坡末端的点，滑入停止区后，在与等高的处速度减为零。、间的高度差为，着陆坡的倾角为，重力加速度为，不计运动员在助滑道受到的摩擦阻力及空气阻力，则以下说法错误的是（ ）
A. 、间的高度差为
B. 适当调节助滑道和着陆坡，运动员不可以沿与平行的方向着陆
C. 运动员在停止区上克服摩擦力所做的功为
D. 当运动员飞出后，瞬时速度方向与水平方向间的夹角为时，其离着陆坡最远
【参考答案】D
【名师解析】
设运动员在空中飞行的时间为，根据平抛运动的规律有
解得
水平方向有
由几何关系可得
代入数据解得运动员经过点时速度为
从A到由动能定理得
解得，故A正确；
设运动员着陆时速度方向与水平方向的夹角为，则
由
可得，则
与无关，所以，调节助滑道和着陆坡，运动员不可能沿与平行的方向着陆，故B正确；
设运动员在停止区上克服摩擦力所做的功为，从到的过程由动能定理得
可得
且运动员在落入C点以后有速度损耗且损耗未知，故C错误；
运动员飞出后做平抛运动，瞬时速度方向与着陆坡平行时，即瞬时速度方向与水平方向间的夹角为时，其离着陆坡最远，故D正确。
3. （2022安徽巢湖一中等十校联盟最后一卷）如图，倾角θ=30°的斜面体ABC固定在水平面上，斜面AC长为L，在斜面中点D处立有一根竖直的细杆，从斜面顶端A点水平抛出一个小球，小球刚好能越过竖直细杆并落在斜面的底端C。不计空气阻力，小球可视为质点，则细杆的长度为（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】A
【名师解析】
设小球的初速度为，从抛出到落在斜面的底端C的时间为t，则根据平抛运动规律有
设当小球运动到细杆上方时，花的时间为，下降高度为H，则有
联立得到
D点到水平面的高度为
所以细杆的长度为，故选A。
4. （2022河南洛阳一模）我国将于2022年2月4日开始举办世界冬奥会，跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一、运动员（和滑雪板一起），一定速度从跳台水平飞出，在空中飞行一段时间后重新落入赛道，如图所示。某运动员前后两次分别以v、2v的速度从跳台顶端水平飞出，两次运动员都落在倾斜的赛道上，斜坡的倾角为，则（ ）
A. 运动员前后两次起、落点间的距离之比为1：2
B. 运动员前后两次在空中运动的时间之比为1：1
C. 运动员前后两次与斜面的最远距离之比为1：2
D. 运动员前后两次落入赛道时的速度方向与斜面夹角之比为1：1
【参考答案】D
【名师解析】设速度与水平方向的夹角分别为、，根据平抛推论得，
，解得：，
下落高度为，，则
由几何关系得，运动员前后两次起、落点间的距离之比为高度之比，即1:4。故A错误，D正确。运动员前后两次在空中运动的时间之比为，故B错误；
以斜面和垂直斜面建立坐标系，则垂直斜面方向上有，，，当速度为0时，离与斜面的最远。则，故C错误。
5. (2022重庆涪陵高中冲刺)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】B
【名师解析】以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，据机械能守恒定律有
物块从轨道上端水平飞出做平抛运动,
联立解得水平距离.由数学知识可知，当
水平位移最大，所以对应的轨道半径为。故选B。
6. （2022山东枣庄二模）如图所示，蜘蛛在竖直墙壁与地面之间结网时，为拉出的第一根直线蛛丝，与水平地面之间的夹角为．A点到地面的距离为。取重力加速度，空气阻力不计，。若蜘蛛从竖直墙壁上距地面的C点以水平速度跳出，要落到蛛丝上，则水平速度至少为（ ）
A. B.
C. D.
【参考答案】C
【名师解析】
平抛的运动轨迹如下所示：
AC之间的距离为
1.2m-1m=0.2m
由图可知
x=（y+0.2）tan37°
根据平抛运动规律有：
x=v0t
y=gt2
联立解得
v0=1.5m/s
C正确，ABD错误。
7（2022江西南昌八一中学三模）如图所示，长、宽、高分别为、、的长方体盒子固定在水平地面上，为盒子右侧底边中点，为地面上一点，长为，且与盒子右侧底边垂直，一小球（可视为质点）从点正上方处水平抛出，不计空气阻力，若抛出的速度大小和方向合适，小球可以不和盒子有任何接触直接落在盒子底面上，则小球初速度的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【参考答案】A
【名师解析】
小球做平抛运动，由
可知，小球从抛出至落在盒子底面的运动时间
当小球落在盒子左侧的两个角上时，小球的水平位移
此时小球的初速度最大，最大初速度
当小球恰好擦过盒子右侧侧壁进入盒内时，小球的初速度最小，小球从抛出至擦过盒子右侧侧壁的水平位移
竖直位移
根据
解得最小初速度
所以小球不和盒子有任何接触直接落在盒子底面上的初速度的取值范围为
BCD错误，A正确。
8.（2020湖北黄冈模拟3）.如图所示为鱼饵自动投放器的装置示意图，其下部是一个高度可以调节的竖直细管，上部是四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向。竖直细管下端装有原长为L0的轻质弹簧，弹簧下端与水面平齐，将弹簧压缩并锁定，把鱼饵放在弹簧上。解除锁定当弹簧恢复原长时鱼饵获得速度v0，不考虑一切摩擦，重力加速度取g，调节竖直细管的高度，可以改变鱼饵抛出后落水点距管口的水平距离，则该水平距离的最大值为（ ）
A. +L0 B、+2L0
C、-L0 D、-2L0
【参考答案】A
【名师解析】
设弹簧恢复原长时弹簧上端距离圆弧弯管口的竖直距离为h，根据动能定理有-mgh=mv2-mv02。鱼饵离开管口后做平抛运动，竖直方向有h+L0=gt2，鱼饵被平抛的水平距离x=vt，联立解得x=，所以调节竖直细管的高度时，鱼饵被投放的最远距离为+L0。选项A正确。
【关键点拨】。
先根据动能定理求出平抛运动的初速度，结合平抛运动的规律求出水平距离的表达式，通过数学知识求该水平距离的最大值。本题考查平抛运动和动能定理，考查考生的分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力。掌握动能定理，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的基础。
9. (2019浙江稽阳联谊学校联考模拟)如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO′距桌面的高度为h，发射器O′A部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，其中≤v0≤2，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S是（ ）
A．2πh2 B．3πh2 C．4πh2 D．8πh2
【参考答案】.C
【命题意图】 本题以乒乓球发球器发射乒乓球为情景，考查平抛运动规律及其相关的知识点。
【解题思路】根据平抛运动规律，h=gt2，解得t=。以最小速度v1=发射的乒乓球，水平位移最小，最小位移为x1= v1t==2h，对应的与桌面相碰区域的1/4圆最小半径为r1=h+ x1=3h；以最大速度v2=2发射的乒乓球，水平位移最大，最大位移为x2= v2t=2=4h，对应的与桌面相碰区域的1/4圆最小半径为r2=h+ x2=5h；乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S=π[（5h）2-（3h）2]=4πh2，选项C正确。
【方法归纳】对于平抛运动问题，要利用平抛运动规律列方程解答。对于平抛运动的初速度在一定范围的问题，可分别将最小速度和最大速度分别代入求得对应的最小水平位移和最大水平位移。
10.(2021山东青岛黄岛区胶州区期中)某次休闲体育竞技中的陀螺表演赛，“台阶华尔兹”，台阶的高度为H，水平长度为x，截面为等腰三角形的圆锥形陀螺，其高度也为H，上表面半径为R，转动角速度为ω。欲让旋转的陀螺从光滑台阶上水平飞出（运动中陀螺转动轴总保持竖直），且跳到下一台阶的过程中不与台阶相碰。关于陀螺底端顶点离开台阶的瞬间，下列说法正确的是
A．若陀螺底端顶点的水平速度为x ，则陀螺恰不与台阶相碰
B．若陀螺底端顶点的水平速度为R，则陀螺恰不与台阶相碰
C．若陀螺恰不与台阶相碰，陀螺上各点的速度的最大值v＝ωR+R
D．若陀螺恰不与台阶相碰，陀螺上各点的速度的最大值v＝
【参考答案】BC
【名师解析】圆锥形陀螺离开桌面后做平抛运动，设其边缘恰好运动到桌子的边缘的时间为t，则水平方向：R=v0t，竖直方向：H=gt2，联立解得v0=R．选项A错误，B正确；陀螺上的点当转动的线速度与陀螺的水平分速度的方向相同时，对应的速度最大，所以最大速度是：v＝ωR+R．选项C正确，D错误．
11. （2022浙江山水联盟开学考试）如图甲，固定在竖直平面内的倾斜轨道，与水平轨道相连，一个质量的小物块可视为质点，在足够长轨道上从距离O点竖直高度、水平距离处由静止释放，然后又从O点水平抛出，O点离地高度H足够高。已知小物块与所有轨道间的动摩擦因数均为0.5，忽略小物块在轨道交接处B点因碰撞而带来的机械能损失（重力加速度）。
（1）求小物块运动到O点时的速度大小；
（2）小物块从O点飞出后刚好沿切线进入竖直圆弧轨道D点，如图乙，已知轨道半径，，C为最高点，求小球到达C点时对轨道的压力。
（3）撤掉圆弧轨道，过O点在竖直面内建立坐标系，y轴竖直向下，有挡板其形状满足，如图丙。改变小球出发位置，求小物块击中挡板时动能的最小值（取）。
【参考答案】（1）；（2）0N；（3）2.2J
【命题意图】本题考查动能定理、类平抛运动及其相关知识点。
【解题思路】（1）由动能定理，mgh-μmgL=mv02，解得v0=2m/s
（2）小物块从O点飞出后刚好沿切线进入竖直圆弧轨道D点，则在D点的竖直方向速度vy=v0tan60°=2 m/s
由vy2=2gh，解得h=0.6m，因为D到C的竖直高度R+Rsin30°=0.6m，所以C点与O点同高，
由机械能守恒定律可知，小物块运动到C点时的速度大小为vC=v0=2m/s
设小物块运动到C时受到的轨道压力为F，由牛顿第二定律，F+mg=m
解得：F=0，由牛顿第三定律可知小球到达C点时对轨道的压力0.
（3）由平抛运动规律 x=v0t，y=gt2，而
小物块击中挡板时动能Ek=mv02+mgy，联立解得Ek=-+mgy，
由于·mgy=m2g2，为常数，
当=mgy ，即y=时动能有最小值，动能的最小值为Ekmin=-=2.2J。
12．（2022浙江杭州九校联考）小明同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地．如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间绳长为，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．求：
（1）绳突然断掉时球的速度大小；
（2）轻绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
【参考答案】（1）；（2）；（3），
【名师解析】（1）绳突然断掉，小球做平抛运动，平抛高度
则水平方向上做匀速直线运动
1分
竖直方向上自由落体运动1分
联立可解得
1分
（2）当小球在最低点时，绳恰好断，故绳能承受的拉力满足
2分
（此处写成r也给相应分数）
代入数据解得1分
（3）设绳长为x，最低点的速度为，绳仍在球运动到最低点时断掉，则
①
得②有①或②1分
小球以在最低点做平抛运动，则有
③
得
④有③或④1分
联立得
当时，即
时，最大水平距离为
。
13. （2022山东济宁兖州高一期中）如图所示，光滑半圆形轨道处于暨直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A.一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点(图中未画出).已知A、C间的距离为L，重力加速度为g.
(1)若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力FN的大小；
(2)为使小球能站动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值；
(3)轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大 最大距离是多少
【参考答案】（1）；（2）；（3）.
【名师解析】
(1)设小球到B点速度为v，从C到B根据动能定理有
解得
在B点，由牛顿第二定律有：
解得:
根据牛顿第三定律可知:
(2)小球恰能运动到轨道最高点时，轨道半径有最大值，则有
解得：
(3)设小球平抛运动的时间为t，有
解得：
水平位移
当时，水平位移最大，解得
D到A的最大距离
.
14．[2020·天津部分中学联考]如图为某娱乐节目中某个比赛环节的示意图，参与比赛的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道．选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．
【参考答案】：(1) m/s (2)0.6 s
【名师解析】本题考查平抛运动的临界问题、与圆弧面的结合问题．
若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，则hsin 60°＝v0t，hcos 60°＝gt2，
解得v0＝ m/s.
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v115.（2020高考精优预测卷）如图所示，半径R可调的竖直光滑半圆固定轨道与光滑水平地面相切于P点，半圆轨道的直径与地面 垂直。质量为m的小球（可视为质点）在P点受到水平向左的瞬时冲量I后，从轨道上端点水平飞出，落地点为S。重力加速度大小为g，不计空气阻力。
(1)求R与小球受到的冲量I的关系；
(2)当R取何值时，落地点S到P点的距离有最大值？最大值为多少
【名师解析】：（1）设小球受到冲量I后从P点进入轨道时的速度大小为，
由动量定理得
设小球在Q点的速度大小为v，小球从P到Q，由机械能守恒定律有
小球能从Q点水平抛出，则有
解得
(2)小球从Q点水平拋出后，做平抛运动有
解得
当，即时，x最大
将代入x的表达式
可得落地点S到轨道下端P点的最大距离
16.如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，正对网向上跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
【名师解析】
(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m，
竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m，
根据位移关系x＝vt，y＝gt2，
可得v＝x ，
代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限．
设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，
竖直位移y2＝h2＝2.5 m，
代入速度公式v＝x，
可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限．
欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足3 m/s(2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示
设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，
竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2 m，
代入速度公式v＝x
可得v3＝3 ；
同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，
代入速度公式v＝x可得v3＝12.
联立解得h3≈2.13 m，
即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界．
17.抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1.
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小．
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3.
【参考答案】(1)v1 (2) (3)h
【名师解析】(1)如图甲所示，根据平抛规律得
h1＝gt，x1＝v1t1，联立解得：x1＝v1.
(2)根据平抛规律得：h2＝gt，x2＝v2t2
且h2＝h，2x2＝L，联立解得v2＝.
(3)如图乙所示，得：h3＝gt，x3＝v3t3
且3x3＝2L
设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t，水平距离为s，有h3－h＝gt2
s＝v3t
由几何关系得：
x3＋s＝L，
解得：h3＝h.专题23 平抛运动的极值临界问题
一. 平抛运动中的临界问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
处理平抛运动中的临界问题的关键
处理此类问题的重点在于结合实际模型，对题意进行分析，提炼出关于临界条件的关键信息。此类问题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件。
二。处理平抛运动中的极值问题的方法
分析求解平抛运动中的极值问题的方法，主要是利用平抛运动规律和相关知识，列出方程，得出相关函数关系式，利用数学方法得出最大值或最小值。数学方法主要有：
1.利用二次函数求极值
二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0),当x=-时,y有极值ym=(a>0时,ym为极小值;a<0时,ym为极大值).
2. 利用均值不等式求极值
对于两个大于零的变量a、b,若其和a+b为一定值,则当a=b时,其积ab有极大值;若其积ab为一定值,则当a=b时,其和a+b有极小值.
1（2017全国II卷·17）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）
A. B. C. D.
2..(2015·全国卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图10所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
最新模拟题精选
1. （2022湖南衡阳期中）如图甲所示，抛球游戏是小朋友们最喜欢的项目之一，小朋友站立在水平地面上双手将皮球水平抛出，皮球进入水平篮筐且不擦到篮筐就能获得小红旗一枚。如图乙所示。篮筐的半径为R，皮球的半径为r，篮筐中心和出手处皮球的中心高度为和，两中心在水平地面上的投影点、之间的距离为d。忽略空气的阻力，已知重力加速度为g。设水平投篮出手速度为v，要使皮球能入筐，则下列说法中正确的是（ ）
A. 皮球出手速度越大，皮球进筐前运动的时间越长
B. 皮球从出手到入筐运动的时间为
C. 皮球出手速度v的最大值为
D. 皮球出手速度v的最小值为
2.（2022河北重点中学期中素养提升）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，北京也将成为奥运史上首个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市。跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，如图，跳台滑雪赛道由助滑道、着陆坡、停止区三部分组成；比赛中，质量为的运动员从A处由静止下滑，运动到处后水平飞出，落在了着陆坡末端的点，滑入停止区后，在与等高的处速度减为零。、间的高度差为，着陆坡的倾角为，重力加速度为，不计运动员在助滑道受到的摩擦阻力及空气阻力，则以下说法错误的是（ ）
A. 、间的高度差为
B. 适当调节助滑道和着陆坡，运动员不可以沿与平行的方向着陆
C. 运动员在停止区上克服摩擦力所做的功为
D. 当运动员飞出后，瞬时速度方向与水平方向间的夹角为时，其离着陆坡最远
3. （2022安徽巢湖一中等十校联盟最后一卷）如图，倾角θ=30°的斜面体ABC固定在水平面上，斜面AC长为L，在斜面中点D处立有一根竖直的细杆，从斜面顶端A点水平抛出一个小球，小球刚好能越过竖直细杆并落在斜面的底端C。不计空气阻力，小球可视为质点，则细杆的长度为（ ）
A. B. C. D.
4. （2022河南洛阳一模）我国将于2022年2月4日开始举办世界冬奥会，跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一、运动员（和滑雪板一起），一定速度从跳台水平飞出，在空中飞行一段时间后重新落入赛道，如图所示。某运动员前后两次分别以v、2v的速度从跳台顶端水平飞出，两次运动员都落在倾斜的赛道上，斜坡的倾角为，则（ ）
A. 运动员前后两次起、落点间的距离之比为1：2
B. 运动员前后两次在空中运动的时间之比为1：1
C. 运动员前后两次与斜面的最远距离之比为1：2
D. 运动员前后两次落入赛道时的速度方向与斜面夹角之比为1：1
5. (2022重庆涪陵高中冲刺)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）（ ）
A. B. C. D.
6. （2022山东枣庄二模）如图所示，蜘蛛在竖直墙壁与地面之间结网时，为拉出的第一根直线蛛丝，与水平地面之间的夹角为．A点到地面的距离为。取重力加速度，空气阻力不计，。若蜘蛛从竖直墙壁上距地面的C点以水平速度跳出，要落到蛛丝上，则水平速度至少为（ ）
A. B.
C. D.
7（2022江西南昌八一中学三模）如图所示，长、宽、高分别为、、的长方体盒子固定在水平地面上，为盒子右侧底边中点，为地面上一点，长为，且与盒子右侧底边垂直，一小球（可视为质点）从点正上方处水平抛出，不计空气阻力，若抛出的速度大小和方向合适，小球可以不和盒子有任何接触直接落在盒子底面上，则小球初速度的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8.（2020湖北黄冈模拟3）.如图所示为鱼饵自动投放器的装置示意图，其下部是一个高度可以调节的竖直细管，上部是四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向。竖直细管下端装有原长为L0的轻质弹簧，弹簧下端与水面平齐，将弹簧压缩并锁定，把鱼饵放在弹簧上。解除锁定当弹簧恢复原长时鱼饵获得速度v0，不考虑一切摩擦，重力加速度取g，调节竖直细管的高度，可以改变鱼饵抛出后落水点距管口的水平距离，则该水平距离的最大值为（ ）
A. +L0 B、+2L0
C、-L0 D、-2L0
9. (2019浙江稽阳联谊学校联考模拟)如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO′距桌面的高度为h，发射器O′A部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，其中≤v0≤2，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S是（ ）
A．2πh2 B．3πh2 C．4πh2 D．8πh2
10.(2021山东青岛黄岛区胶州区期中)某次休闲体育竞技中的陀螺表演赛，“台阶华尔兹”，台阶的高度为H，水平长度为x，截面为等腰三角形的圆锥形陀螺，其高度也为H，上表面半径为R，转动角速度为ω。欲让旋转的陀螺从光滑台阶上水平飞出（运动中陀螺转动轴总保持竖直），且跳到下一台阶的过程中不与台阶相碰。关于陀螺底端顶点离开台阶的瞬间，下列说法正确的是
A．若陀螺底端顶点的水平速度为x ，则陀螺恰不与台阶相碰
B．若陀螺底端顶点的水平速度为R，则陀螺恰不与台阶相碰
C．若陀螺恰不与台阶相碰，陀螺上各点的速度的最大值v＝ωR+R
D．若陀螺恰不与台阶相碰，陀螺上各点的速度的最大值v＝
11. （2022浙江山水联盟开学考试）如图甲，固定在竖直平面内的倾斜轨道，与水平轨道相连，一个质量的小物块可视为质点，在足够长轨道上从距离O点竖直高度、水平距离处由静止释放，然后又从O点水平抛出，O点离地高度H足够高。已知小物块与所有轨道间的动摩擦因数均为0.5，忽略小物块在轨道交接处B点因碰撞而带来的机械能损失（重力加速度）。
（1）求小物块运动到O点时的速度大小；
（2）小物块从O点飞出后刚好沿切线进入竖直圆弧轨道D点，如图乙，已知轨道半径，，C为最高点，求小球到达C点时对轨道的压力。
（3）撤掉圆弧轨道，过O点在竖直面内建立坐标系，y轴竖直向下，有挡板其形状满足，如图丙。改变小球出发位置，求小物块击中挡板时动能的最小值（取）。
12．（2022浙江杭州九校联考）小明同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地．如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间绳长为，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．求：
（1）绳突然断掉时球的速度大小；
（2）轻绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
13. （2022山东济宁兖州高一期中）如图所示，光滑半圆形轨道处于暨直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A.一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点(图中未画出).已知A、C间的距离为L，重力加速度为g.
(1)若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力FN的大小；
(2)为使小球能站动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值；
(3)轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大 最大距离是多少
14．[2020·天津部分中学联考]如图为某娱乐节目中某个比赛环节的示意图，参与比赛的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道．选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．
15.（2020高考精优预测卷）如图所示，半径R可调的竖直光滑半圆固定轨道与光滑水平地面相切于P点，半圆轨道的直径与地面 垂直。质量为m的小球（可视为质点）在P点受到水平向左的瞬时冲量I后，从轨道上端点水平飞出，落地点为S。重力加速度大小为g，不计空气阻力。
(1)求R与小球受到的冲量I的关系；
(2)当R取何值时，落地点S到P点的距离有最大值？最大值为多少
16.如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上，正对网向上跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
17.抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1.
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小．
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3.
