高二数学人教A版2019选择性必修第三册 7.4.1 二项分布（学案）（含答案）
文档属性
| 名称 | 高二数学人教A版2019选择性必修第三册 7.4.1 二项分布（学案）（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 85.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-24 07:31:47 | ||
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文档简介
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
【学习目标】
课程标准 素养要求
1.结合生活中的实例,了解二项分布; 2.了解二项分布的均值和方差及其意义. 1.通过具体实例，了解伯努利试验，了解二项分布的概念.(数学抽象) 2.会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算) 3.能利用二项分布概率模型解决简单的实际问题．(数学建模)
【自主学习】
n重伯努利试验
1. 只包含__________可能结果的试验叫做伯努利试验.
将一个伯努利试验独立地重复进行________次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做________次；
（2）各次试验的结果________.
思考：定义中“重复”的含义是什么
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__________.
2.一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的__________；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则.
3. 如果，那么__________，__________.
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1）在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．( ）
(2）在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．( ）
(3）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k）＝，k＝0，1，2，…，n.( ）
(4）两点分布是二项分布的特殊情况．( ）
2.某一批植物种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A. B. C. D.
【经典例题】
题型一 二项分布概念
点拨：二项分布中需要注意的问题
1.当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p）中的试验次数n与成功概率p.
2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
例1（1）下列说法正确的是________．
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6）；②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P）；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
（2）已知X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，则n＝________，p＝________．
【跟踪训练】1
某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,设X表示击中目标的次数,则P(X≥2)等于________.
题型二 二项分布的简单应用
例2 某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命中率是,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.
(1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率;
(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.
【跟踪训练】2 某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表:
一次购物款 (单位:元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞)
顾客人数 20 a 30 20 b
统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4 000名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.
(1)试确定a,b的值,并估计每日应准备纪念品的数量;
(2)现有4人前去该商场购物,求获得纪念品的数量ξ的分布列.
题型三 可转化为与二项分布有关的应用题
例3 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．
【跟踪训练】3一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．
(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
【当堂达标】
1.下列随机变量X不服从二项分布的是( )
A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数
D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
2.在比赛中运动员甲获胜的概率是,假设每次比赛互不影响,那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是( )
A. B. C. D.
3.某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则( )
A. B. C.3 D.
4.若，则_______________.
5.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中每人答对的概率分别为，，，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1）求随机变量ξ的分布列．
(2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB）.
【参考答案】
【自主学习】
一、两个；n；n；相互独立
思考:“重复”意味着各次试验成功的概率相同.
二、1.； 2.独立性 3.；
【小试牛刀】
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.C 解析：由n重伯努利试验恰有k次发生的概率公式得:P==.
【经典例题】
例1（1）①② 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
（2）10 0.8 解析：因为随机变量X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.
【跟踪训练】1 解析：击中目标的次数X≥2,则击中次数为3次或2次.P(x=3)=0.63=,
P(x=2)=0.62×0.4=,所以P(x≥2)=P(x=3)+P(x=2)=.
例2 解：设该篮球运动员第1次罚球不中,后3次罚球都中为事件A,则第i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事件Bi,则A=B2B3B4;
因为每次罚球的结果相互独立,所以所求的概率为P(A)=P()P(B2)P(B3)P(B4)=×××=.
(2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量,则X～B,所以所求的概率为P(X=3)=··=.
【跟踪训练】2 解：(1)由已知,100位顾客中购物款不低于150元的顾客有
b+20=100×30%,b=10;a=100-(20+30+20+10)=20.
该商场每日应准备纪念品的数量大约为4 000×=2 400.
(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P==,
故4人购物获得纪念品的数量ξ服从二项分布ξ～B,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
所以ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3 4
P
例3 解：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，
所得的分数为η，由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，
则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96.
【跟踪训练】3 解：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，
且ξ～B，所以E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
【当堂达标】
1.B 解析：选项A,试验出现的结果只有两种:点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为,每一次试验都是独立的,故随机变量X服从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,每一次试验事件相互独立且概率不发生变化,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率相等,进行5局比赛,相当于进行了5次独立重复试验,故X服从二项分布;选项D,由二项分布的定义,可知被感染次数X～B(n,0.3).
2.B 解析：由n次独立重复试验的概率计算公式,得·=.
3.D 解析：因为，所以，则.
4. 解析：由题意得，，
.
5. 解：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，所以ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×＝，P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．
P(C)＝C×××＝.
P(D)＝××＝.
所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
7.4.1 二项分布
【学习目标】
课程标准 素养要求
1.结合生活中的实例,了解二项分布; 2.了解二项分布的均值和方差及其意义. 1.通过具体实例，了解伯努利试验，了解二项分布的概念.(数学抽象) 2.会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算) 3.能利用二项分布概率模型解决简单的实际问题．(数学建模)
【自主学习】
n重伯努利试验
1. 只包含__________可能结果的试验叫做伯努利试验.
将一个伯努利试验独立地重复进行________次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做________次；
（2）各次试验的结果________.
思考：定义中“重复”的含义是什么
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为__________，k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__________.
2.一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的__________；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则.
3. 如果，那么__________，__________.
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1）在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．( ）
(2）在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．( ）
(3）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k）＝，k＝0，1，2，…，n.( ）
(4）两点分布是二项分布的特殊情况．( ）
2.某一批植物种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A. B. C. D.
【经典例题】
题型一 二项分布概念
点拨：二项分布中需要注意的问题
1.当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p）中的试验次数n与成功概率p.
2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
例1（1）下列说法正确的是________．
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6）；②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P）；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
（2）已知X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，则n＝________，p＝________．
【跟踪训练】1
某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,设X表示击中目标的次数,则P(X≥2)等于________.
题型二 二项分布的简单应用
例2 某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命中率是,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.
(1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率;
(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.
【跟踪训练】2 某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表:
一次购物款 (单位:元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞)
顾客人数 20 a 30 20 b
统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4 000名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.
(1)试确定a,b的值,并估计每日应准备纪念品的数量;
(2)现有4人前去该商场购物,求获得纪念品的数量ξ的分布列.
题型三 可转化为与二项分布有关的应用题
例3 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．
【跟踪训练】3一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．
(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
【当堂达标】
1.下列随机变量X不服从二项分布的是( )
A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数
D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
2.在比赛中运动员甲获胜的概率是,假设每次比赛互不影响,那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是( )
A. B. C. D.
3.某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则( )
A. B. C.3 D.
4.若，则_______________.
5.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中每人答对的概率分别为，，，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1）求随机变量ξ的分布列．
(2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB）.
【参考答案】
【自主学习】
一、两个；n；n；相互独立
思考:“重复”意味着各次试验成功的概率相同.
二、1.； 2.独立性 3.；
【小试牛刀】
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.C 解析：由n重伯努利试验恰有k次发生的概率公式得:P==.
【经典例题】
例1（1）①② 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
（2）10 0.8 解析：因为随机变量X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.
【跟踪训练】1 解析：击中目标的次数X≥2,则击中次数为3次或2次.P(x=3)=0.63=,
P(x=2)=0.62×0.4=,所以P(x≥2)=P(x=3)+P(x=2)=.
例2 解：设该篮球运动员第1次罚球不中,后3次罚球都中为事件A,则第i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事件Bi,则A=B2B3B4;
因为每次罚球的结果相互独立,所以所求的概率为P(A)=P()P(B2)P(B3)P(B4)=×××=.
(2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量,则X～B,所以所求的概率为P(X=3)=··=.
【跟踪训练】2 解：(1)由已知,100位顾客中购物款不低于150元的顾客有
b+20=100×30%,b=10;a=100-(20+30+20+10)=20.
该商场每日应准备纪念品的数量大约为4 000×=2 400.
(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P==,
故4人购物获得纪念品的数量ξ服从二项分布ξ～B,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
所以ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3 4
P
例3 解：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，
所得的分数为η，由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，
则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96.
【跟踪训练】3 解：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，
且ξ～B，所以E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
【当堂达标】
1.B 解析：选项A,试验出现的结果只有两种:点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为,每一次试验都是独立的,故随机变量X服从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,每一次试验事件相互独立且概率不发生变化,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率相等,进行5局比赛,相当于进行了5次独立重复试验,故X服从二项分布;选项D,由二项分布的定义,可知被感染次数X～B(n,0.3).
2.B 解析：由n次独立重复试验的概率计算公式,得·=.
3.D 解析：因为，所以，则.
4. 解析：由题意得，，
.
5. 解：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，所以ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×＝，P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．
P(C)＝C×××＝.
P(D)＝××＝.
所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.