高二数学人教A版2019选择性必修第三册 7.5 正态分布（学案）（含答案）

7.5 正态分布
【学习目标】
课程标准 素养要求
1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例、借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 2.了解正态分布的均值、标准差、方差及其含义. 1.了解正态分布与标准正态分布的概念.(数学抽象) 2.了解概率密度函数,理解正态曲线的性质.(数学抽象、直观想象) 3.会求正态分布在给定区间的概率,能利用正态分布知识解决实际问题.(数学建模、数学运算)
【自主学习】
一、正态曲线
函数其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为 ，简称正态曲线．
二、正态分布
1.定义:若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布;
2.记作:X～N(μ,σ2);
3.特例:当μ= ,σ= 时,称随机变量X服从标准正态分布.
思考1：正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？
三、正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质：
1、曲线位于x轴 ，与x轴 ．
2、曲线是单峰的，它关于直线 对称．
3、曲线在 处达到峰值 ．
4、曲线与x轴之间的面积为 ．
5、当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
6、当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 ；σ ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 ，如图②.
四、正态变量在三个特殊区间内取值的概率
1、P(μ－σ2、P(μ－2σ3、P(μ－3σ思考2：为什么正态分布中，通常认为X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的值？
【小试牛刀】
1、思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)正态曲线是一条钟形曲线.(　　)
(2)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　)
(3)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　)
(4)正态曲线可以关于y轴对称．(　　)
2.设X～N(10,0.64),则D(X)等于(　　)
A.0.8 B.0.64 C.0.642 D.6.4
【经典例题】
题型一 正态分布密度曲线
点拨：正态密度函数解析式的求法
利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．　
例1 如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
【跟踪训练】1 设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　 　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
题型二 利用正态分布的性质求概率
点拨：正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
(3)注意概率值的求解转化：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b＜μ，则P(X＜b)＝.　
例2 设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(3＜X≤5)．
【跟踪训练】 2 设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ题型三 正态分布的实际应用
点拨：正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．　
例3 在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．
(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？
附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.
　
【跟踪训练】 3 已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝.
(1)求概率密度函数；
(2)估计尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？
【当堂达标】
1.如图是当σ分别取值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
2.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触,降低潜在的病毒感染风险,为防控新冠肺炎,某厂生产的红外线自动测温门,其测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件,则其测量体温误差在区间(0.4,0.7]内的概率为(　　)
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ).则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.954 5)
A.0.317 4　　B.0.271 8　　C.0.135 9　　D.0.045 6
3.某厂生产的零件外径ξ～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm，则可认为(　 　)
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上午、下午生产悄况均正常
D．上午、下午生产情况均异常
4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.84,则P(X≤0)=________.
5.数学考试试卷满分是150分,设在一次考试中,某班学生的分数X近似服从正态分布,且均值为110,标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率.
【课堂小结】
【参考答案】
【自主学习】
一、正态分布密度曲线
二、0 1
思考1：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
三、1.上方，不相交；2. x＝μ; 3. x＝μ， ; 4.1 ; 5.σ; 6. 越小，集中，越大，分散.
四、 0.6827 0.9545 0.9973
思考2：正态分布中变量X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ]之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，故在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ]之内的值，简称“3σ”原则．
【小试牛刀】
1.(1)√ (2)×　(3)×　(4)√
2.B 解析：因为X～N(10,0.64),所以D(X)=0.64.
【经典例题】
例1 解：从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，
所以μ＝20，＝，所以σ＝.
于是φμ，σ(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
【跟踪训练】1 A 解析：由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.故选A.
例2 解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)
＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]
≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
【跟踪训练】2 2 解析：因为μ＝2，由正态分布的定义知其图象(如图)关于直线x＝2对称，
于是＝2，所以c＝2.
例3 解： (1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10，则
P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(5016÷0.022 5≈711(人)．
因此，此次参赛学生的总数约为711.
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60得711×0.158 5≈113(人)．
因此，此次竞赛获奖励的学生约为113人．
【跟踪训练】 3 解：(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得μ＝80.
＝，所以σ＝8.
故密度函数解析式是φμ，σ(x)＝e.
(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸ξ位于区间(72,88)内的概率是0.682 6.
因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.
【当堂达标】
1.D 解析：当σ取σ2时最大值为，∴σ2＝1，再根据三个图象的集中程度知D成立．
2.C 解析：由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),得μ=0.1,σ=0.3.
所以测量体温误差在区间(0.4,0.7]内的概率为:P(0.4<ξ≤0.7)=P(μ+σ<ξ≤μ+2σ)=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)
-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]=0.135 9.
3.A 解析：因测量值ξ为随机变量，又ξ～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4,10.6)，9.9∈I,9.3 I，故选A.
4. 0.16 解析：由X～N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,
对称轴为x=2,则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.84=0.16.
5.解：由题意可知,分数X～N(110,202),μ=110,σ=20,
P(X≥90)=P(X≥110-20)=P(X≥μ-σ),
因为P(X≤μ-σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(X≤μ-σ)+0.6827=1,所以P(X≤μ-σ)=0.15865,
所以P(X≥90)=1-P(X≤μ-σ)=1-0.158 65=0.84135.