高二数学人教A版2019选择性必修第三册 6.2.3 组合+6.2.4 组合数（分层练习）（含解析）

6.2.3 组合 + 6.2.4组合数
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.(多选)下列等式正确的是(　　)
A.= B.= C.= D.=
2. 已知,则n等于(　　)
A.14 B.12 C.13 D.15
3.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有(　　)
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
4.将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的A,B两所医院,其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院,且甲、丁不在同一所医院,则满足要求的不同安排方法共有(　　)
A.36种 B.32种 C.24种 D.20种
5.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P的子集中含有3个元素的子集数为　　　　.
6.不等式-n<5的解集为　　　　.
7.在下列问题中,哪些是组合问题 哪些是排列问题
(1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法
(2)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场
(3)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果
8.某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)
(1)图中有多少个矩形
(2)从A点走向B点最短的走法有多少种
能 力 练
综合应用 核心素养
9.若=42,则=(　　)
A.60 B.70 C.120 D.140
10.从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动,要求至少有一名女生参加,则不同的选派种数为(　　)
A.12 B.24 C.34 D.60
11.(多选)在新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是 (　　)
A.若任意选科,选法总数为
B.若化学必选,选法总数为
C.若政治和地理至少选一门,选法总数为
D.若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总数为+1
12.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有(　　)
A.72种 B.84种 C.120种 D.168种
13.若对任意的x∈A,则∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为　　　　.
14.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法
(1)甲得4本、乙得3本、丙得2本;
(2)一人得4本、一人得3本、一人得2本;
(3)甲、乙、丙各得3本.
15．从5名男生和3名女生中选5人分别担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法种数．
(1)女生甲担任语文课代表；
(2)男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；
(3)3名男生课代表，2名女生课代表，男生丙不担任英语课代表．
16．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
(1)7人站成一排，要求最高的站在正中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；
(2)任选6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．
【参考答案】
1.ABC 解析：由组合数公式知A,B,C正确,D中=,而=,故D错误.
2.A 解析：由题意,得,故7+8=n+1,解得n=14.
3.D 解析：若选1男3女有=4(种);若选2男2女有=18(种);若选3男1女有=12(种).所以共有4+18+12=34(种)不同的选法.故选D.
4.A 解析：选A.从甲、乙、丙3人在A医院的人数进行分类:若三人中只有一人在A医院,则甲在A医院时有=4种方案,乙、丙两人之一在A医院时有=12种方案;若三人中只有两人在A医院,则含有甲时有=12种方案,乙、丙两人同时在A医院时有=4种方案;若三人均在A医院,则有=4种方案;所以共有36种安排方案.
5. 20 解析：由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有=20(个)子集.
6. {2,3,4} 解析：由-n<5,得-n<5,∴n2-3n-10<0.解得-27. 解：(1)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.
(2)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
(3)争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题.
8. 解：(1)在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有=210(个).
(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B最短的走法包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有=210(种)走法.
9.D 解析：∵=42=×2×1,解得n=7,∴=140.故选D.
10. C 解析：由题可知:选派4人去的总的选派数为=35,选派4人全部是男生的选派数为1,
所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35-1=34.
11.BD 解析：若任意选科,选法总数为,A错;若化学必选,选法总数为B正确;若政治和地理至少选一门,选法总数为(+1),C错;若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总数为+1,D正确.
12.C 解析：需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空中,所以关灯方案共有=120(种).
13. 15 解析：具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3,共4组.所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为=15.
14. 解：(1)分三步完成:
第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有种方法;
第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有种方法;
第3步,把剩下的书给丙,有种方法,
所以甲得4本、乙得3本、丙得2本,共有=1260(种)不同的分法.
(2)分两步完成:
第1步,按4本、3本、2本分成三组有种方法;
第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有种方法,所以一人得4本、一人得3本、一人得2本,共有=7560(种)不同的分法.
(3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得3本,共有=1680(种)不同的分法.
15．解：(1)女生甲担任语文课代表，再选4人分别担任其他4门学科的课代表，故方法种数为A＝840.
(2)除乙外，先选出4人，有C种方法，连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有CA种方法，
故方法种数为CCA＝3 360.
(3)分两类：
第一类，丙担任课代表，先选出除丙外的2名男生和2名女生，有CC种方法，
连同丙在内，5人担任5门不同学科的课代表，丙不担任英语课代表，有CA种方法，所以有CCCA种方法；
第二类，丙不担任课代表，有CCA种方法，
根据分类加法计数原理，得方法种数为CCCA＋CCA＝3 168.
16．解：(1)第一步，将最高的安排在正中间只有1种排法；
第二步，从剩下的6人中任选3人安排在一侧有C种排法；
第三步，将剩下的3人安排在另一侧，只有1种排法．
所以共有C＝20种不同的排法．
(2)第一步，从7人中选6人，有C种选法；
第二步，从6人中选2人安排在第一列，有C种排法；
第三步，从剩下的4人中选2人安排在第二列，有C种排法；
最后将剩下的2人安排在第三列，只有1种排法．
故共有C×C×C＝630种不同的排法．