高二数学人教A版2019选择性必修第三册 7.3.1 离散型随机变量的均值（分层练习）（含解析）

7.已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)=,ξ的分布列如表:
ξ 0 1 2 3
P a b
则a=________.
8.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如表),若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则利润的均值是________元.
ξ 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
9.为了释放学生压力,某校高三年级一班进行了一个投篮游戏,期间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮).在相同的条件下,每轮甲、乙两人站在同一位置,甲先投,每人投一次篮,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.
经过1轮投篮,记甲的得分为X,求X的分布列及期望.
10.不透明箱中装有3个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从箱中任取2个球,假设每个球被取出的可能性都相等,记随机变量X为取出的2个球所得分数之和.
(1)若P=,求m的值;
(2)当m=2时,列出X的分布列并求其期望.
能 力 练
综合应用 核心素养
11.已知随机变量X的分布列如下,E(X)=7.5,则ab的值是(　　)
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
A.1.8 B.2.4 C.2.8 D.3.6
12.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是(　　)
A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元
13.(多选)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则 (　　)
A.抽取2次后停止取球的概率为 B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的期望为2 D.取球3次的概率为
14.某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且对这3个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对1个问题,得1分;答错,得0分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为,,p.若教师甲恰好答对3个问题的概率是,则p=　　　　;在前述条件下,设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的数学期望为　　　　.
15.袋中装有5个同样大小的球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球,记被取出的球的最大号码数为ξ,则E等于　　　　.
16.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为________.
17.某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果某人决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,则在一年内他参加驾照考试次数X的均值为________.
18.甲、乙两名射箭选手最近100次射箭所得环数如表所示.
甲选手100次射箭所得环数
环数 7 8 9 10
次数 15 24 36 25
乙选手100次射箭所得环数
环数 7 8 9 10
次数 10 20 40 30
以甲、乙两名射箭选手这100次射箭所得环数的频率作为概率,假设这两人的射箭结果相互独立.
(1)若甲、乙各射箭一次,所得环数分别为X,Y,分别求X,Y的分布列并比较E,E的大小;
(2)甲、乙相约进行一次射箭比赛,各射3箭,累计所得环数多者获胜.若乙前两次射箭均得10环,且甲第一次射箭所得环数为9,求甲最终获胜的概率.
19.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获得利润120万元,若新产品B研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
20.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4 km时租车费为10元,若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1 km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;
(2)若随机变量ξ的分布列为
ξ 15 16 17 18
P 0.1 0.5 0.3 0.1
求所收租车费η的均值;
(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟
【参考答案】
1.ABD 解析：A错误,随机变量的数学期望E(X)是个常量,是随机变量X本身固有的一个数字特征.B错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.C正确,由均值的性质可知.D错误,因为E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.
2.D 解析：E(X)=1×0.55+4×0.3+6×0.15=2.65.
3.C 解析：因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,所以E(X)=1.
4.A 解析：E(ξ)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(η)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7.
因为E(η)>E(ξ),故甲比乙质量好.
B 解析：X的取值为0,1,2,所以P(X=0)=0.1×0.15=0.015,P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22,
P(X=2)=0.9×0.85=0.765,E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
6.BC 解析：由题意E=p2+2(1-p)=(p-1)2+1,由于0,D错.
7. 解析：E(ξ)==0×a+1×+2×+3b b=,又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1 a+++=1 a=.
8.706 解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)
=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).设利润为η,则η=5ξ+1.6×(500-ξ)-500×2.5=3.4ξ-450,所以E(η)=3.4E(ξ)-450=3.4×340-450=706(元).
9.解：由题意,随机变量X的可能取值为-1,0,1,
则P(X=-1)=×=,P(X=0)=×+×=,P(X=1)=×=,
所以随机变量X的分布列为:
X -1 0 1
P
则期望为E=-1×+0×+1×=-.
10.解：(1)由题意,当取出的2个球都是白球时,此时随机变量X=4.
可得P(X=4)==,即=6,即m2+5m-6=0,解得m=1.
(2)由题意,随机变量X所有可能的取值为2,3,4,可得P(X=2)==,P(X=3)===,P(X=4)==,
所以随机变量X的分布列为:
X 2 3 4
P
所以E(X)=2×+3×+4×=.
11.C 解析：由题意得:0.3+0.1+b+0.2=1,解得:b=0.4,又E=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=7.5,
解得:a=7,所以ab=7×0.4=2.8.
12.B出海的期望效益为5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).
13.BD 解析:设取球次数为ξ,可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,
则P=,P=×=,P=×=.
对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;
对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P+P=+=,B选项正确;
对于C选项,取球次数ξ的期望为E=1×+2×+3×=,C选项错误;
对于D选项,取球3次的概率为P=×=,D选项正确.
14.　 解析：因为教师甲恰好答对3个问题的概率是,所以××p=,解得:p=;
由题意,随机变量X的可能取值分别为:0,1,2,3;
所以P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××==,
P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××==,
因此,E=0×+1×+2×+3×=.
15. 4.5 解析：因为袋中装有5个同样大小的球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球,记被取出的球的最大号码数为ξ,所以ξ的可能取值为3,4,5,
P(ξ=3)==0.1,P(ξ=4)==0.3,P(ξ=5)==0.6,所以E(ξ)=3×0.1+0.3×4+0.6×5=4.5.
16. 解析：依题意,知ξ的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)==,
故E(ξ)=2×+4×+6×=.
17. 1.544 解析：X的取值分别为1,2,3,4.X=1,表明此人第一次参加驾照考试就通过了,故P(X=1)=0.6.X=2,表明此人在第一次考试未通过,第二次通过了,故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
X=3,表明此人在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
X=4,表明此人第一、二、三次考试都未通过,故
P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
所以他一年内参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以X的均值为E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
18.解：(1)X的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.15 0.24 0.36 0.25
则E(X)=7×0.15+8×0.24+9×0.36+10×0.25=8.71.
Y的分布列为
Y 7 8 9 10
P 0.1 0.2 0.4 0.3
则E(Y)=7×0.1+8×0.2+9×0.4+10×0.3=8.9.
因为8.71<8.9,所以E(X)(2)若乙最后一次射箭所得环数为7,则当甲后两次射箭所得环数为9,10或10,9或10,10时,甲最终可获胜;
若乙最后一次射箭所得环数为8,则当甲后两次射箭所得环数为10,10时,甲最终可获胜.
故甲最终获胜的概率P=0.1×(0.36×0.25×2+0.252)+0.2×0.252=0.036 75.
19. 解：(1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为新产品A,B都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,,则P=×=×=,再根据对立事件概率之间的概率公式可得P=1-P=,所以至少一种产品研发成功的概率为.
(2)由题可得,设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,120+0,100+0,120+100,即ξ=0,120,100,220,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:
P=×=;P=×=;
P=×=;P=×=;
所以ξ的分布列如下:
ξ 0 120 100 220
P
则数学期望E(ξ)=0×+120×+100×+220×=32+20+88=140.
20. 解：(1)依题意得,η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2.
(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4.
∵η=2ξ+2,∴E(η)=2E(ξ)+2=34.8.故所收租车费η的均值为34.8元.
(3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.