专题30 万有引力与开普勒定律
一、开普勒行星运动定律
1．第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。开普勒第二定律又称为面积定律。面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。由面积定律可知，行星在近日点的速度比它在远日点的速度大。
3．第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝G，G为引力常量，其值为G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球球心间的距离。
4. 万有引力定律的“三性”
(1)普遍性：任何有质量的物体间都存在万有引力。
(2)相互性：两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力。
(3)宏观性：只有质量巨大的天体间或天体与其附近物体间的万有引力才有实际的物理意义。
三、经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。
经典力学——牛顿运动定律的适用范畴是宏观、低速物体的运动。
2．相对论时空观
物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。
四．万有引力与重力的关系
1. 万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：由mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′：
由mg′＝，得g′＝，
所以＝。
重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg＝G，这样重力加速度就与地球质量、半径联系在一起。
五、 “填补法”求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。
[例] 如图所示，O1是一个半径为2R，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以O2为球心挖去一个半径为R的球，并在O2处放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则O1球剩余部分对O2处质点的万有引力为( )
A． B．
C． D．
[解析] 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，由于质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故O2处质点所受的万有引力可等效于半径为R的球对处于其表面质量为m的质点的引力。易知半径为R的球质量为M，则由万有引力定律知道剩余部分对O2处质点的万有引力为，故A正确。
最新高考题精选
1．（2020高考全国理综I）火星的质量约为地球质量的1/10，半径约为地球半径的1/2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
【参考答案】B
【命题意图】 本题考查万有引力定律及其相关知识点，考查的核心素养是运动和力的物理观念。
【解题思路】由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力为F地=G，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力为F火=G， 二者的比值====0.4，B项正确ACD错误。
2. （2020高考江苏物理）甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍.下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A.由可知，甲的速度是乙的倍
B.由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C.由可知，甲的向心力是乙的
D.由可知，甲的周期是乙的倍
【参考答案】CD
【名师解析】卫星绕地球运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和万有引力定律知，解得：线速度v=，由此可知，甲的速度是乙的1/，选项A错误；根据牛顿第二定律和万有引力定律知G=mrω2，解得角速度ω=，由此可知，甲的角速度是乙的1/2，选项B错误；由可知，甲的向心力是乙的，选项C正确；由开普勒定律可知，甲的周期是乙的倍，选项D正确。
3.（2019全国理综II卷14）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描F随h变化关系的图像是
【参考答案】.D
【命题意图】 本题考查万有引力及其相关知识点，考查的核心素养是以嫦娥四号成功在月球背面软着陆为背景，提升民族自信，弘扬我国科技成就。
【解题思路】在嫦娥四号探测器“奔向” 月球过程中，根据万有引力定律，随着离开地面距离h的增大，所受地球引力一定不均匀减小，能够描述f随h变化关系正确的是D。
4.（2018北京理综）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【参考答案】 B
【名师解析】设月球质量为Myue，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到地球的万有引力为Fyue=G，苹果受到地球的万有引力为F=G，由于月球质量远远大于苹果质量，二者质量关系未知，所以不能得出地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602，选项A错误；
根据牛顿第二定律：G=Myueayue，G=ma，整理可以得到：ayue=a，故选项B正确；在月球表面处：G=mgyue，，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故选项C错误；苹果在月球表面受到引力为：F’= G，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面引力受到的引力之间的关系，故选项D错误。
点睛：本题考查万有引力相关知识，掌握万有引力公式，知道引力与距离的二次方成反比，即可求解。
5 (多选)(2019·全国卷Ⅰ·21)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图7中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
图7
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【参考答案】 AC
【名师解析】
设物体P、Q的质量分别为mP、mQ；星球M、N的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别为ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分别为g1、g2.在星球M上，弹簧压缩量为0时有mPg1＝3mPa0，所以g1＝3a0＝G，密度ρ1＝＝；在星球N上，弹簧压缩量为0时有mQg2＝mQa0，所以g2＝a0＝G，密度ρ2＝＝；因为R1＝3R2，所以ρ1＝ρ2，选项A正确；当物体的加速度为0时有mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝mQa0＝2kx0，解得mQ＝6mP，选项B错误；根据a－x图线与x轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，EkmP＝mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C正确；根据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D错误．
最新模拟题精选
1. （2022湖南衡阳期中）2022年2月4日北京冬奥会开幕式以二十四节气为倒计时，最后定格于立春节气，惊艳全球，二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置，如图所示，从天体物理学可知地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气，以下说法正确的是（ ）
A. 地球绕太阳运行方向（正对纸面）是顺时针方向
B. 地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
C. 地球从夏至至秋分的时间小于地球公转周期的四分之一
D. 冬至时地球公转速度最大
【参考答案】D
【名师解析】
二十四节气中，夏至在春分后，秋分在夏至后，地球绕太阳运行方向（正对纸面）是逆时针方向。A错误；
由开普勒第一定律知地球绕太阳运动的轨道是椭圆，由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，地球绕太阳是非匀速率椭圆轨道运动。B错误；由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，可知地球在近地点比远地点转动的快，地球从夏至至秋分的时间大于地球公转周期的四分之一。C错误；由开普勒第二定律，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等, 近地点公转速度最快，即冬至时地球公转速度最大。D正确。
2．(2022广东江门模拟)3. 宇宙用有一孤立星系，中心天体对周围有三颗行星，如图所示，中心天体质量大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，行星Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，半径分别为，，行星Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为a，，与行星Ⅰ轨道在B点相切，下列说法正确的是（ ）
A. 行星Ⅱ与行星Ⅲ的运行周期相等
B. 行星Ⅱ在P点与行星Ⅲ在D点时的加速度相同
C. 行星Ⅲ的速率大于行星Ⅱ在B点的速率
D. 行星Ⅰ的速率与行星Ⅱ在B点的速率相等
【参考答案】A
【名师解析】
因为行星Ⅱ的运行半径与行星Ⅲ的运行半长轴，则由开普勒第三定律知
则，行星Ⅱ与行星Ⅲ的运行周期相等，故A正确；由题意知
由，知行星Ⅱ在P点与行星Ⅲ在D点时的加速度大小相等，但方向不同，故B错误；．由，得，所以行星Ⅲ的速率小于行星Ⅰ的速率，又因为行星Ⅱ在B点加速才能到达轨道Ⅱ，故行星Ⅱ在B点的速率大于行星Ⅰ在B点的速率，故行星Ⅲ的速率小于行星Ⅱ在B点的速率，故CD错误；
3（2022河北重点中学期中素养提升）宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，Ⅰ、Ⅲ两个为圆轨道，半径分别为r1、r3，一个为椭圆轨道，半长轴为a，a = r3。在 t时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S2、S3；行星Ⅰ的速率为v1、行星Ⅱ在B点的速率为v2B、行星Ⅱ在E点的速率为v2E、行星Ⅲ的速率为v3，下列说法正确的是（ ）
A. v2E < v3 < v1 < v2B
B. 行星Ⅱ与行星Ⅲ在P点时的加速度大小不等
C. S2 = S3
D. 行星Ⅱ的运行周期大于行星Ⅲ的运行周期
【参考答案】A
【名师解析】
根据，得
由于。可得。I轨道到II轨道过程中需要在B点加速，则有
B到E过程中动能转化为势能，则有
又小于在E点能够绕重心天体匀速圆周运动的速度，根据轨道半径关系有
所以有，综上所述可得，故A正确；
由牛顿第二定律得，可知，行星II与行星III在P点加速度大小相等，故B错误；行星II与行星III满足，在△t时间内扫过的面积有椭圆面积小于圆面积，故C错误；由开普勒第三定律，可知，行星II与行星III运动周期相等，故D错误。
4．（2022东北三省四市）如图所示，已知地球半径为R，甲乙两颗卫星绕地球运动。卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为6R，A、B是轨道的近地点和远地点。不计卫星间相互作用，下列说法正确的是
A．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度
B．卫星甲的周期大于卫星乙的周期
C．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度
D．在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积
【参考答案】C
【命题意图】本题考查万有引力定律和牛顿运动定律、开普勒定律及其相关知识点，意在考查对开普勒定律的理解、建模能力和推理能力，体现的核心素养是运动和力的观念、科学思维能力。
【解题思路】若卫星乙在过B的圆周上绕地球做匀速圆周运动，则轨道半径一定大于3R，由G=m，解得v=，可知卫星乙在过B点的圆周上绕地球做匀速圆周运动的线速度小于卫星甲在C点的速度。卫星乙在过B的圆周上绕地球做匀速圆周运动减速后可变轨到B为远地点的椭圆轨道上运动，所以卫星甲在C点的速度一定大于卫星乙在B点的速度，选项A错误；由于卫星甲做匀速圆周运动轨道半径为2R，卫星乙的在半长轴为3R的椭圆轨道上绕地球运动，由开普勒第三定律，可知卫星甲的周期小于卫星乙的周期，选项B错误；若卫星乙在过A点的圆周上绕地球做匀速圆周运动，则轨道半径一定小于3R，由G=m，解得v=，可知卫星乙在过A点的圆周上绕地球做匀速圆周运动的线速度大于卫星甲在C点的速度。卫星乙在过A点的圆周上绕地球做匀速圆周运动加速后可变轨到A为近地点、B为远地点的椭圆轨道上运动，所以卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度，选项C正确；根据开普勒第二定律，行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积，对于地球和卫星来说，在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定相等，卫星乙与地心的连线扫过的面积一定相等，但是，在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积不等于卫星乙与地心的连线扫过的面积，选项D错误。
5．(多选)(2022·湖南联考)我国计划发射火星探测器，预计经过10个月的飞行火星探测器到达火星，着陆火星表面并进行巡视探测．假设探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体，其在地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍，已知地球半径与火星半径之比为b.不计地球和火星的自转及其表面气体的阻力．下列说法正确的是( )
A．地球与火星绕太阳运动时，它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
B．地球表面与火星表面的重力加速度大小之比为1∶a
C．地球与火星的质量之比为a∶b2
D．地球与火星的第一宇宙速度大小之比为∶
【参考答案】BD
【名师解析】
根据开普勒第二定律知同一椭圆运动过程中，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，不同的行星周期不同，它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不相等，故A错误；根据竖直上抛运动规律知竖直上抛运动时间为：t＝2，已知探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体，其在地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍，则地球表面与火星表面的重力加速度大小之比＝1∶a，故B正确；根据星球表面物体的重力等于万有引力，有mg＝m，得M＝，地球与火星的质量之比为＝b2∶a，故C错误；第一宇宙速度v＝，所以地球与火星的第一宇宙速度大小之比为＝∶，故D正确．
6。（2022山西太原二模）人类在不同的星球能跳多高 若人在地球上以某一速度跳起，其重心可上升的高度为0.5m，那么他以同样的速度在水星跳起重心可上升1.3m，而在火星同样可上升1.3m。已知地球的半径为R，水星的半径约为0.38R，火星的半径约为0.53R，可估算出（ ）
A. 火星的质量为水星质量的倍
B. 火星与水星的密度相等
C. 地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的倍
D. 火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的倍
【参考答案】D
【名师解析】
根据，因同样的速度在火星和水星上跳起的高度相等，可知g火=g水
根据，可得，，选项A错误；
根据，可得，选项B错误；
根据，可得，选项C错误；根据
可得，可得，选项D正确。
7. （2022山东枣庄一模）假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。从隧道口P点由静止释放一小球，下列说法正确的是（提示：一个带电金属圆球达到静电平衡时，电荷均匀分布在球外表面，球内部场强处处为0，外部某点场强与一个位于球心、与球所带电荷量相等的点电荷在该点产生的场强相同。）（ ）
A. 小球先做匀加速运动，后做匀减速运动
B. 小球在O点受到地球的引力最大
C. 小球以O点为平衡位置做简谐运动
D. 小球与地球组成系统的引力势能先增加后减少
【参考答案】C
【名师解析】
设小球距圆心距离为，地球的密度为，小球的质量为，根据题意，由万有引力公式可得，小球下落过程中，受到的引力为
则小球下落过程中所受引力的大小与到地心的距离成正比，且方向指向地心，故小球以O点为平衡位置做简谐运动。故C正确；根据牛顿定律有，可得
可知，当小球下落时，在点上方时，越来越小，则越来越小，到达点时，则，即此时引力为，引力最小，在点下方时，越来越大，则越来越大，则小球下落过程中，先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，故AB错误；由C分析可知，小球下落过程中，引力先做正功，再做负功，则小球与地球组成系统的引力势能先减小后增大故D错误。
8. （2022山东四县区质检）已知月球半径为R，假设某宇航员在月球表面以初速度v0竖直上抛一物体，测得物体上升最大高度为h。由此可估算出，月球的卫星在接近月球表面的轨道环绕月球运行速度为（ ）
A. B.
C. D.
【参考答案】A
【名师解析】
在月球表面以初速度v0竖直上抛出一物体，根据
解得月球表面的加速度g=
根据，解得月球的卫星在接近月球表面的轨道环绕月球运行速度，故选A。
9. (2022南昌一模)已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示（不计空气阻力），M、N两星球的密度之比为（ ）
A. 1∶1 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16
【参考答案】B
【名师解析】
由竖直上抛运动和题图可知
，
所以
根据
， ，
得
所以
故选B。
10（2022河北石家庄二中模拟）科学家重新分析了开普勒太空望远镜退役前收集到的数据，发现了一颗与地球大小基本相同的系外行星——Kepler-1649c，距离地球约300光年，围绕一颗红矮星运行。假设该行星的公转轨道半径是地球的k倍，行星质量是地球质量的q倍，红矮星质量是太阳的p倍，假设该行星的半径和地球的相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 该行星公转轨道半径的三次方和公转周期平方的比值与地球的相等
B. 该行星的绕行周期是地球的倍
C. 该行星的第一宇宙速度是地球的q倍
D. 该行星表面的重力加速度是地球的倍
【参考答案】B
【名师解析】
根据开普勒第三定律可知，行星公转轨道半径的三次方和公转周期平方的比值与中心天体的质量有关，结合题意可知A选项错误。天体绕行时，由万有引力提供向心力有
得，故该行星的绕行周期是地球的倍，B选项正确。
C．第一宇宙速度即卫星贴近行星表面绕行时的速度，有
得，该行星的第一宇宙速度是地球的倍，C选项错误。
D．行星表面的物体受到的重力约等于行星与物体间的万有引力，即
得，故该行星表面的重力加速度是地球的q倍，D选项错误。
11（2022北京东城模拟）一火箭以a＝的加速度竖直升空。为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化。如果火箭上搭载的一物体的质量为m＝1.6kg，当检测仪器显示物体的视重为F＝9N时，火箭距离地面的高度h与地球半径R的关系为（ ）（取g＝10m/s2）
A．h＝R B．h＝2R
C．h＝3R D．h＝4R
【参考答案】C
【名师解析】
设h高度处的重力加速度为g1，根据牛顿第二定律得：
F﹣mg1＝ma
g1＝＝＝0.625m/s2
根据万有引力提供向心力
在地球表面 ＝mg
在h高度处 ＝mg1
联立解得：＝＝16
得：R+h＝4R
解得：h＝3R，故C正确，ABD错误。
12. （2022河南许昌一模）已知月球中心到地球中心的距离是地球半径的60倍。则下列说法正确的是（ ）
A. 月球绕地球做近似圆周运动向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的
B. 月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的
C. 地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的
D. 地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的
【参考答案】A
【名师解析】
根据，可得月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度
地面附近重力加速度大小，则，选项A正确，BCD错误；专题30 万有引力与开普勒定律
一、开普勒行星运动定律
1．第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。开普勒第二定律又称为面积定律。面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。由面积定律可知，行星在近日点的速度比它在远日点的速度大。
3．第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝G，G为引力常量，其值为G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球球心间的距离。
4. 万有引力定律的“三性”
(1)普遍性：任何有质量的物体间都存在万有引力。
(2)相互性：两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力。
(3)宏观性：只有质量巨大的天体间或天体与其附近物体间的万有引力才有实际的物理意义。
三、经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。
经典力学——牛顿运动定律的适用范畴是宏观、低速物体的运动。
2．相对论时空观
物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。
四．万有引力与重力的关系
1. 万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：由mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′：
由mg′＝，得g′＝，
所以＝。
重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg＝G，这样重力加速度就与地球质量、半径联系在一起。
五、 “填补法”求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。
[例] 如图所示，O1是一个半径为2R，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以O2为球心挖去一个半径为R的球，并在O2处放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则O1球剩余部分对O2处质点的万有引力为( )
A． B．
C． D．
[解析] 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，由于质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故O2处质点所受的万有引力可等效于半径为R的球对处于其表面质量为m的质点的引力。易知半径为R的球质量为M，则由万有引力定律知道剩余部分对O2处质点的万有引力为，故A正确。
最新高考题精选
1．（2020高考全国理综I）火星的质量约为地球质量的1/10，半径约为地球半径的1/2，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
2. （2020高考江苏物理）甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍.下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A.由可知，甲的速度是乙的倍
B.由可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C.由可知，甲的向心力是乙的
D.由可知，甲的周期是乙的倍
3.（2019全国理综II卷14）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描F随h变化关系的图像是
4.（2018北京理综）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
5 (多选)(2019·全国卷Ⅰ·21)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图7中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
图7
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
最新模拟题精选
1. （2022湖南衡阳期中）2022年2月4日北京冬奥会开幕式以二十四节气为倒计时，最后定格于立春节气，惊艳全球，二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置，如图所示，从天体物理学可知地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气，以下说法正确的是（ ）
A. 地球绕太阳运行方向（正对纸面）是顺时针方向
B. 地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
C. 地球从夏至至秋分的时间小于地球公转周期的四分之一
D. 冬至时地球公转速度最大
2．(2022广东江门模拟)3. 宇宙用有一孤立星系，中心天体对周围有三颗行星，如图所示，中心天体质量大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，行星Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，半径分别为，，行星Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为a，，与行星Ⅰ轨道在B点相切，下列说法正确的是（ ）
A. 行星Ⅱ与行星Ⅲ的运行周期相等
B. 行星Ⅱ在P点与行星Ⅲ在D点时的加速度相同
C. 行星Ⅲ的速率大于行星Ⅱ在B点的速率
D. 行星Ⅰ的速率与行星Ⅱ在B点的速率相等
3（2022河北重点中学期中素养提升）宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，Ⅰ、Ⅲ两个为圆轨道，半径分别为r1、r3，一个为椭圆轨道，半长轴为a，a = r3。在 t时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S2、S3；行星Ⅰ的速率为v1、行星Ⅱ在B点的速率为v2B、行星Ⅱ在E点的速率为v2E、行星Ⅲ的速率为v3，下列说法正确的是（ ）
A. v2E < v3 < v1 < v2B
B. 行星Ⅱ与行星Ⅲ在P点时的加速度大小不等
C. S2 = S3
D. 行星Ⅱ的运行周期大于行星Ⅲ的运行周期
4．（2022东北三省四市）如图所示，已知地球半径为R，甲乙两颗卫星绕地球运动。卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为6R，A、B是轨道的近地点和远地点。不计卫星间相互作用，下列说法正确的是
A．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度
B．卫星甲的周期大于卫星乙的周期
C．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度
D．在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积
5．(多选)(2022·湖南联考)我国计划发射火星探测器，预计经过10个月的飞行火星探测器到达火星，着陆火星表面并进行巡视探测．假设探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体，其在地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍，已知地球半径与火星半径之比为b.不计地球和火星的自转及其表面气体的阻力．下列说法正确的是( )
A．地球与火星绕太阳运动时，它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
B．地球表面与火星表面的重力加速度大小之比为1∶a
C．地球与火星的质量之比为a∶b2
D．地球与火星的第一宇宙速度大小之比为∶
6。（2022山西太原二模）人类在不同的星球能跳多高 若人在地球上以某一速度跳起，其重心可上升的高度为0.5m，那么他以同样的速度在水星跳起重心可上升1.3m，而在火星同样可上升1.3m。已知地球的半径为R，水星的半径约为0.38R，火星的半径约为0.53R，可估算出（ ）
A. 火星的质量为水星质量的倍
B. 火星与水星的密度相等
C. 地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的倍
D. 火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的倍
7. （2022山东枣庄一模）假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。从隧道口P点由静止释放一小球，下列说法正确的是（提示：一个带电金属圆球达到静电平衡时，电荷均匀分布在球外表面，球内部场强处处为0，外部某点场强与一个位于球心、与球所带电荷量相等的点电荷在该点产生的场强相同。）（ ）
A. 小球先做匀加速运动，后做匀减速运动
B. 小球在O点受到地球的引力最大
C. 小球以O点为平衡位置做简谐运动
D. 小球与地球组成系统的引力势能先增加后减少
8. （2022山东四县区质检）已知月球半径为R，假设某宇航员在月球表面以初速度v0竖直上抛一物体，测得物体上升最大高度为h。由此可估算出，月球的卫星在接近月球表面的轨道环绕月球运行速度为（ ）
A. B.
C. D.
9. (2022南昌一模)已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示（不计空气阻力），M、N两星球的密度之比为（ ）
A. 1∶1 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16
10（2022河北石家庄二中模拟）科学家重新分析了开普勒太空望远镜退役前收集到的数据，发现了一颗与地球大小基本相同的系外行星——Kepler-1649c，距离地球约300光年，围绕一颗红矮星运行。假设该行星的公转轨道半径是地球的k倍，行星质量是地球质量的q倍，红矮星质量是太阳的p倍，假设该行星的半径和地球的相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 该行星公转轨道半径的三次方和公转周期平方的比值与地球的相等
B. 该行星的绕行周期是地球的倍
C. 该行星的第一宇宙速度是地球的q倍
D. 该行星表面的重力加速度是地球的倍
11（2022北京东城模拟）一火箭以a＝的加速度竖直升空。为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化。如果火箭上搭载的一物体的质量为m＝1.6kg，当检测仪器显示物体的视重为F＝9N时，火箭距离地面的高度h与地球半径R的关系为（ ）（取g＝10m/s2）
A．h＝R B．h＝2R
C．h＝3R D．h＝4R
12. （2022河南许昌一模）已知月球中心到地球中心的距离是地球半径的60倍。则下列说法正确的是（ ）
A. 月球绕地球做近似圆周运动向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的
B. 月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小等于地面附近重力加速度大小的
C. 地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的
D. 地面附近重力加速度大小等于月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度大小的
