5.5.2简单的三角恒等变换 同步练习（含解析）

数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。——爱因斯坦
5.5.2简单的三角恒等变换
一、单选题
1. 的值为( )
A. B. C. D.
2. 在中，若，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形
3. 若，，则( )
A. B. C. D.
4. 若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 若，，且，，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
6. 已知是锐角三角形，，，则( )
A. B.
C. D. P与Q的大小不能确定
7. 设，，，则有( )
A. B. C. D.
二、多选题
8. 已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
9. 设函数，则( )
A. 是偶函数 B. 在单调递减
C. 最大值为2 D. 其图象关于直线对称
10. 已知角是锐角，若，是关于x的方程的两个实数根，则实数m和n的关系式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
11. 化简：__________.
12. 已知，在第二象限，则__________.
13. 如图所示，圆O与x正半轴的交点为A，点在圆O上，且点C位于第一象限，，
若，则__________；若，则的值为__________.
14. 若，且是第四象限角，则__________.
15. 等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为__________.
四、解答题
16. 求下列函数的周期，最大值和最小值：
17. 已知函数，
求的最小正周期和最值；
求这个函数的单调递增区间．
18. 已知，且，，且，
化简；
是否存在x，使得与相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.
19. 求下列各式的值：
20. 如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，，其他区域安装健身器材，设为弧度．
求的面积S关于的函数解析式；
求面积S的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
解：
故选

2.【答案】D
解：由可得，
，
即，
展开可得，，
，
、C为三角形内角，
为等腰三角形．
故选

3.【答案】B
解：由题意得：
，即，
为第二象限角，
，
，
为第三象限角，
，
故选
解：，即，
为第二象限角，
，
，
为第三象限角，
，
故选

4.【答案】C
解：由已知得
，
又，，
所以
，
故选

5.【答案】A
解：，，，
，，
又，
，即，
，
又，
，
，
又，，
，
，
故选

6.【答案】B
解：
由于是锐角三角形，
所以，
，
，，
所以，
，
综上，知，即，
故选：

7.【答案】B
解： ，
，
，
所以
故选

8.【答案】BC
解：①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，
所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，
解得，
所以，
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．
故选

9.【答案】ABD
解：
，
由函数图象可知，为偶函数，且最大值为，
故A正确，C错误，
令，
解得，
令得，，
在上单调递减，故B正确，
当时，，取得最小值，
图像关于直线对称，故D正确，
综上，ABD选项正确，
故选

10.【答案】BD
解：因为两根，不一定相等，所以判别式不一定为零，A错误；
由韦达定理及锐角可得，，
所以，C错误；
因为，
， B正确；
是锐角，所以
所以，D正确.
故选

11.【答案】1
解：
故答案为

12.【答案】3
解：已知，在第二象限，，
，
故答案为：

13.【答案】7
解：点B的坐标为，设，
，，
即，，则
，，，则，
故答案为

14.【答案】
解：由题意得，
，
是第四象限角，是第二或第四象限角，
，
，
故答案为

15.【答案】或
解：设顶角为，则，底角为，则，
由，
或，
故答案为或

16.【答案】解：
因此，所求周期为，最大值为2，最小值为
设，
则
于是，，
于是，
所以
取，
则，
由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为
17.【答案】解：，
，
由周期公式可得，最小正周期，
函数的最大值为，最小值；
令，，
解得：，，
函数的单调递增区间，
18.【答案】解：
，
同理得：
且，，
若，
则，
，
即，
，
，即为存在的值.
19.【答案】解：原式
；
原式

20.【答案】解：，正方形边长为百米，
，，
过点P作AQ的垂线，垂足为E，则，
，其中
，
，
当时，即时，取得最小值为
答：当时，面积S的最小值为
第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页