元素与集合关系的判断
一、选择题（共20小题）
1、设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A、T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B、T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C、T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D、T，V中每一个关于乘法都是封闭的
2、若集合M={0，1，2}，N={（x，y）|x﹣2y+1≥0且x﹣2y﹣1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（ ）
A、9 B、6
C、4 D、2
3、有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：
①A∩B=?的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）；
②A?B的必要条件是card（A）≤card（B）；
③A?B的充要条件是card（A）≤card（B）；
④A=B的充要条件是card（A）=card（B）；
其中真命题的序号是（ ）
A、③④ B、①②
C、①④ D、②③
4、已知全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（CUA）∩B等于（ ）
A、（2，3） B、[2，3]
C、（2，3] D、（﹣2，3]
5、设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（ ）
A、6 B、7
C、8 D、9
6、已知集合M={x|x2≥3}，下列实数a中，符合a?M的是（ ）
A、a=﹣2 B、a=﹣1
C、a=2 D、a=3
7、下面的结论正确的是（ ）
A、ax∈Q，则a∈N
B、a∈N，则a∈{自然数}
C、x2﹣1=0的解集是{﹣1，1}
D、正偶数集是有限集
8、若A={2，3，4}，B={x|x=n?m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为（ ）
A、5 B、4
C、3 D、2
9、下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}?{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
10、集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈Z}，且a∈P，b∈Q，则有（ ）
A、a+b∈P B、a+b∈Q
C、a+b∈R D、a+b不属于P、Q、R中的任意一个
11、设函数f（x）=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3），集合M={x∈R|f（x）=0}，则有（ ）
A、{2.3}=M B、1?M
C、{1，2}∈M D、{1，3}∪{2，3}=M
12、以实数x，﹣x，|x|，，为元素所组成的集合最多含有（ ）
A、2个元素 B、3个元素
C、4个元素 D、5个元素
13、设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0?y0，则（ ）
A、a∈P，b∈Q B、a∈Q，b∈P
C、a∈P，b∈P D、a∈Q，b∈Q
14、下列集合中恰有2个元素的集合是（ ）
A、{x2﹣x=0} B、{y|y2﹣y=0}
C、{x|y=x2﹣x} D、{y|y=x2﹣x}
15、定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为（ ）
A、21 B、18
C、14 D、9
16、已知x、y、z为非零实数，代数式的值所组成的集合为M，则下列四种说法中正确的是（ ）
A、0?M B、2∈M
C、﹣4?M D、4∈M
17、已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有（ ）
①1∈A；②{﹣1}∈A；③φ?A；④{1，﹣1}?A．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
18、已知实数a∈{1，3，a2}，则a的值为（ ）
A、1 B、1，3
C、0，3 D、0，1
19、以下六个关系式：①0∈0，②0??，③0.3?Q，④0∈N，⑤{a，b}?{b，a}，⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
20、设全集U=Z，A={x|x=2n，n∈Z}，M=CUA，则下面关系式成立的个数是（ ）
①﹣2∈A；②2∈M；③0?CUM；④﹣3?M．
A、1 B、2
C、3 D、4
二、填空题（共5小题）
21、对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是 _________ （写出所有凸集相应图形的序号）．
22、设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8，}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 _________ 个．
23、中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等、如果集合A中元素之间的一个关系“﹣”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A，都有a﹣a；
（2）对称性：对于a，b∈A，若a﹣b，则有b﹣a；
（3）对称性：对于a，b，c∈A，若a﹣b，b﹣c，则有a﹣c、
则称“﹣”是集合A的一个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）、请你再列出两个等价关系： _________ ．
24、设集合A={x||x|＜4}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，则集合{x|x∈A且x?A∩B}= _________ ．
25、设集合A={x|x=2k，k∈Z}，集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，则元素a+b与集合A、B的关系是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知集合A=a1，a2，…，ak（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A，T=（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a?A，则称集合A具有性质P．
（1）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（2）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
27、对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：
（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？
（2） 讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．
28、已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
29、设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？
30、若集合A={x|x2+ax+b=x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A、T，V中至少有一个关于乘法是封闭的 B、T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C、T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D、T，V中每一个关于乘法都是封闭的
考点：元素与集合关系的判断。
专题：阅读型；新定义。
分析：本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．
解答：解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确
故选A．
点评：此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．
2、若集合M={0，1，2}，N={（x，y）|x﹣2y+1≥0且x﹣2y﹣1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（ ）
A、9 B、6
C、4 D、2
考点：元素与集合关系的判断。
分析：本题主要考查集合中元素的个数，要用线性规划求出符合条件的整点，在可行域中找整点，要先找出关键点然后挨个列举
解答：解：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，
故选C
点评：集合同线性规划结合的题目，符合高考精神，整点问题课本上只出现了一个例题，是解题过程中的弱点．
3、有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：
①A∩B=?的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）；
②A?B的必要条件是card（A）≤card（B）；
③A?B的充要条件是card（A）≤card（B）；
④A=B的充要条件是card（A）=card（B）；
其中真命题的序号是（ ）
A、③④ B、①②
C、①④ D、②③
考点：元素与集合关系的判断。
分析：分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．
解答：解：①A∩B=??集合A与集合B没有公共元素，正确
②A?B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确
③A?B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误
④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误
故选B
点评：这两个知识点是经常结合的，同学们解题时要抓住本质，
4、已知全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（CUA）∩B等于（ ）
A、（2，3） B、[2，3]
C、（2，3] D、（﹣2，3]
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：先解绝对值不等式求出集合A，再求出其补集，解一元二次不等式解出集合B，然后利用集合交集的定义求出即可．
解答：解：A={x|x＞3或x＜﹣1}，CUA={x|﹣1≤x≤3}
B={x|2＜x＜4}，
∴（CUA）∩B=（2，3]，
故答案为C．
点评：本题主要考查了集合的运算，属于以不等式为依托，求集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型．
5、设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（ ）
A、6 B、7
C、8 D、9
考点：元素与集合关系的判断。
专题：新定义。
分析：讨论a的取值，根据定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}分别求出P+Q，然后根据集合的互异性求出所求即可．
解答：解：∵P={0，2，5}，Q={1，2，6}，P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}
∴当a=0时，b∈Q，P+Q={1，2，6}
当a=2时，b∈Q，P+Q={3，4，8}
当a=5时，b∈Q，P+Q={6，7，11}
∴P+Q={1，2，3，4，6，7，8，11}
故选C
点评：本题主要考查元素与集合关系的判断，以及新的定义的运算和集合的性质等有关基础知识，属于新颖题型．
6、已知集合M={x|x2≥3}，下列实数a中，符合a?M的是（ ）
A、a=﹣2 B、a=﹣1
C、a=2 D、a=3
考点：元素与集合关系的判断。
专题：常规题型；计算题。
分析：先化简集合M，由题中条件：“符合a?M”得集合M中没有元素a，结合选项可得结果．
解答：解：∵A={x|x＞或x＜﹣}
∴当a=﹣1时，符合a?M．
故选B．
点评：本题主要考查二次不等式的解法、元素与集合关系的判断，属于基础题．
7、下面的结论正确的是（ ）
A、ax∈Q，则a∈N B、a∈N，则a∈{自然数}
C、x2﹣1=0的解集是{﹣1，1} D、正偶数集是有限集
．
8、若A={2，3，4}，B={x|x=n?m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为（ ）
A、5 B、4
C、3 D、2
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：本题属于新定义问题，要对于A中元素两两相乘看所得的积，由集合元素的互异性得到不相等的元素的积．
解答：解：B={x|x=n?m，m，n∈A，m≠n}，
由题意知：当n=2 m=3或4时m?n=6或8，
当n=3 m=2或4，m?n=12或6，
当n=4，m=2或3时，m?n=8或12
根据集合的互异性可知集合B的元素个数为3
故选：C
点评：例举题目中的几种不同情况，注意做到不重不漏，本类问题要深刻理解概念，定义，根据题目中的定义的相关信息进行分析，此类题目虽然“陌生”但难度不会太大．
9、下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}?{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：元素与集合关系的判断。
专题：阅读型。
分析：对于①根据元素与集合之间的关系进行判定，对于②根据空间是任何集合的子集，对于③集合与集合之间不能用属于符号进行判定，对于④根据集合本身是集合的子集进行判定，对于⑤根据集合的无序性进行判定即可．
解答：解：：①1∈{0，1，2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；
②??{0，1，2}；空集是任何集合的子集，正确
③{1}∈{0，1，2004}；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；
④{0，1，2}?{0，1，2}，集合本身是集合的子集，故正确
⑤{0，1，2}={2，0，1}，根据集合的无序性可知正确；
故选：A
点评：本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，属于基础题．
10、集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈Z}，且a∈P，b∈Q，则有（ ）
A、a+b∈P B、a+b∈Q
C、a+b∈R D、a+b不属于P、Q、R中的任意一个
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：根据集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈Z}，我们易判断P，Q，R表示的集合及集合中元素的性质，分析a+b的性质后，即可得到答案．
解答：解：由P={x|x=2k，k∈Z}可知P表示偶数集；
由Q={x|x=2k+1，k∈Z}可知Q表示奇数集；
由R={x|x=4k+1，k∈Z}可知R表示所有被4除余1的整数；
当a∈P，b∈Q，则a为奇数，b为偶数，
则a+b一定为奇数，
故选B
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据集合元素的确定性，即满足集合性质的元素一定属于集合，不满足集合性质的元素一定不属于集合，分析元素是否满足集合性质，进而得到元素与集合的关系是解答本题的关键．
11、设函数f（x）=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3），集合M={x∈R|f（x）=0}，则有（ ）
A、{2.3}=M B、1?M
C、{1，2}∈M D、{1，3}∪{2，3}=M
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：根据题意求出集合M，然后根据元素与集合以及集合与集合之间的关系，即可得到答案．
解答：解：集合M={x∈R|f（x）=0}={1，2，3}
故选D．
点评：本题是基础题．考查元素与集合、集合与集合关系的判断，体现了对集合的理解，考查了运算能力．
12、以实数x，﹣x，|x|，，为元素所组成的集合最多含有（ ）
A、2个元素 B、3个元素
C、4个元素 D、5个元素
考点：元素与集合关系的判断。
专题：阅读型。
分析：本题考查的是元素与稽核的关系问题．在解答时首先要考虑好几何元素的特征特别是互异性，然后利用指数运算的法则对所给实数进行化简，即可获得问题的解答．
解答：解：由题意可知：
，，
并且|x|=±x
所以，以实数x，﹣x，|x|，，为元素所组成的集合最多含有x，﹣x两个元素．
故选：A．
点评：本题考查的是元素与稽核的关系问题．在解答时充分体现了几何元素的特征、知识的运算等知识．值得同学们体会和反思．
13、设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0?y0，则（ ）
A、a∈P，b∈Q B、a∈Q，b∈P
C、a∈P，b∈P D、a∈Q，b∈Q
14、下列集合中恰有2个元素的集合是（ ）
A、{x2﹣x=0} B、{y|y2﹣y=0}
C、{x|y=x2﹣x} D、{y|y=x2﹣x}
考点：元素与集合关系的判断；集合的含义。
分析：A中只有一个元素，B选项的集合元素的公共属性是方程，看有几个解即可，C，D选项的集合元素的公共属性都是函数的值域，有无数个值．
解答：解：显然A中只有一个元素，B中有两个元素分别是0和1，C，D选项的集合元素的公共属性都是函数的值域，有无数个元素．
故选B．
点评：本题主要考查研究集合的表示方法．
15、定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为（ ）
A、21 B、18
C、14 D、9
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：根据新定义A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入再求和即可求出答案．
解答：解：∵A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，
∴A*B={2，3，4，5}，
∴A*B中的所有元素之和为：2+3+4+5=14，
故选C．
点评：本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解．
16、已知x、y、z为非零实数，代数式的值所组成的集合为M，则下列四种说法中正确的是（ ）
A、0?M B、2∈M
C、﹣4?M D、4∈M
考点：元素与集合关系的判断。
专题：分类讨论。
分析：根据题意，分析可得代数式的值与x、y、z的符号有关；按其符号的不同分4种情况讨论，分别求出代数式在各种情况下的值，即可得M，分析选项可得答案．
解答：解：根据题意，分4种情况讨论；
①、x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则=﹣4，
②、x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则=0，
③、x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则=0，
④、x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则=4；
则M={4，﹣4，0}；
分析选项可得D符合．
故选D．
点评：本题考查集合与元素的关系，注意题意中x、y、z的位置有对称性，即代数式的值只与x、y、z中有几个为负数有关，与具体x、y、z中谁为负无关．
17、已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有（ ）
①1∈A；②{﹣1}∈A；③φ?A；④{1，﹣1}?A．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答时，可以先将集合A的元素进行确定．然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可．
解答：解：因为A={x|x2﹣1=0}，
∴A=﹣1，1
对于①1∈A显然正确；
对于②{﹣1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；
对③??A，根据集合与集合之间的关系易知正确；
对④{1，﹣1}?A．同上可知正确．
故选C．
点评：本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识．值得同学们体会反思．
18、已知实数a∈{1，3，a2}，则a的值为（ ）
A、1 B、1，3
C、0，3 D、0，1
考点：元素与集合关系的判断。
专题：常规题型。
分析：此题考查的是元素与集合的关系问题．在解答时应将a与集合中的元素逐一对应求解相应的a值，同时注意集合元素的互异性即可获得解答．
解答：解：a=1，则a2=1，不符合，a=a2，则a=1，或a=0，a=3，则a2=9，成立．
故选C．
点评：此题考查的是元素与集合的关系问题．在解答过程当中充分体现了分类讨论的思想、问题转化的思想以及多值验证的思想．值得同学们体会反思．
19、以下六个关系式：①0∈0，②0??，③0.3?Q，④0∈N，⑤{a，b}?{b，a}，⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
考点：元素与集合关系的判断。
分析：据∈表示的元素与集合的关系；?表示集合与集合的关系；N，Q分别表示自然数集和有理数集；?表示不含任意元素的集合．判定即可．
解答：解：“∈”表示元素与集合的关系故①错；“?”表示集合与集合的关系，故②错
Q是有理数集，0.3是有理数，有0.3∈Q故③错；N是自然数集，0是自然数，0∈N故④对
据子集的定义知{a，b}?{b，a}故⑤对；{x|x2﹣2=0，x∈Z}={x|x=，x∈Z}=?，故⑥对
故选B
点评：本题考查元素与集合的关系；在集合中一些特殊的符号；判断元素与集合的关系；选择合适的符号表示．
20、设全集U=Z，A={x|x=2n，n∈Z}，M=CUA，则下面关系式成立的个数是（ ）
①﹣2∈A；②2∈M；③0?CUM；④﹣3?M．
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：元素与集合关系的判断。
分析：由A={x|x=2n，n∈Z}，我们易得A为偶数集，再由全集U=Z，则M=CUA表示奇数集，我们对四个结论逐一进行判断，即可得到结论．
解答：解：∵A={x|x=2n，n∈Z}，
∴A表示偶数集
又∵U=Z，M=CUA，
∴M表示奇数集
CUM为奇数集的补集，即偶数集；
则①﹣2∈A，正确；
②2∈M，错误；
③0?CUM，错误；
④﹣3?M，错误．
故有1个结论正确
故选A．
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，处理的关键是准确分析集合元素的性质，以确定满足条件集合，进而分析元素与集合的关系，得到答案．
二、填空题（共5小题）
21、对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是 ②③ （写出所有凸集相应图形的序号）．
考点：元素与集合关系的判断。
专题：新定义。
分析：由凸集的定义，可取一些线段试一下，若有不在图形内部的点即可排除．
解答：解：①中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不为凸集；
④中取两圆的公切线，不在集合中，故不为凸集；②③显然符合．
故答案为：②③
点评：本题为新定义题，正确理解定义是解决问题的关键，难度不大．
22、设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8，}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 6 个．
考点：元素与集合关系的判断。
分析：列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键．
解答：解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．
因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．
故答案为：6．
点评：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．
列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏
23、中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等、如果集合A中元素之间的一个关系“﹣”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A，都有a﹣a；
（2）对称性：对于a，b∈A，若a﹣b，则有b﹣a；
（3）对称性：对于a，b，c∈A，若a﹣b，b﹣c，则有a﹣c、
则称“﹣”是集合A的一个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）、请你再列出两个等价关系： 答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等 ．
考点：元素与集合关系的判断。
分析：从所给的条件出发，通过观察、分析得出结论，再把各个结论代入题目中验证，看是否成立，由于结论不唯一，本类问题一般不要求证明，把结论用自反性、对称性、对称性进行验证．
解答：解：如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
故答案为：“图形的全等”、“图形的相似”．
点评：这类问题只给出条件但没有结论，解题方向不明，自由度大，需要解题者比较概括后，探索各种情况，并确定结论．在一般情况下，我们需要探索出较为深刻的结论
24、设集合A={x||x|＜4}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，则集合{x|x∈A且x?A∩B}= {x|1≤x≤3} ．
考点：元素与集合关系的判断。
分析：分别解出集合A集合B，然后求集合{x|x∈A且x?A∩B}．
解答：解：集合A={x|﹣4＜x＜4}，集合B={x|x＞3或x＜1}，A∩B={x|﹣4＜x＜1或3＜x＜4}，
则集合{x|x∈A且x?A∩B}={x|1≤x≤3}
故答案为：{x|1≤x≤3}．
点评：本题考查元素与集合的关系，是基础题．
25、设集合A={x|x=2k，k∈Z}，集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，则元素a+b与集合A、B的关系是 a+b∈B ．
三、解答题（共5小题）
26、已知集合A=a1，a2，…，ak（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A，T=（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a?A，则称集合A具有性质P．
（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
考点：元素与集合关系的判断；集合的含义。
专题：综合题；分类讨论；转化思想。
分析：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T．
（II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有﹣a?A，得到0?A得到（ai，ai）?T；当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）?T，求出T中的元素个数．
（III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．
解答：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．
集合{﹣1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是
S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）．
（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．
因为0?A，所以（ai，ai）?T（i=1，2，，k）；
又因为当a∈A时，﹣a?A时，﹣a?A，
所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）?T（i，j=1，2，，k）．
从而，集合T中元素的个数最多为，
即．
（III）解：m=n，证明如下：
（1）对于（a，b）∈S，根据定义，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．
故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，
且a﹣b∈A，从而（a﹣b，b）∈S．
如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a﹣b=c﹣d与b=d中也不至少有一个不成立，
故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．
点评：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视．
27、对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：
（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？
（2） 讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．
考点：元素与集合关系的判断。
专题：探究型。
分析：（1）根据集合A的元素的性质证明1，3，4，5∈A，对于2和6用反证法进行证明，证明过程注意根据整数是奇（偶）进行分类说明；
（2）根据集合A的元素的性质，在偶数中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由这些数的特征进行归纳得出结论．
解答：解：（1）∵1=12﹣02；3=22﹣12；5=32﹣22；4=22﹣02；
∴1，3，4，5∈A，且2，6?A；（5分）
设2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m2﹣n2成立．（m﹣n）（m+n）=2
当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与2不是4倍数矛盾．
当m，n同分别为奇，偶数时，m﹣n，m+n均为奇数
（m﹣n）（m+n）为奇数，与2是偶数矛盾．∴2?A同理6?A（8分）
（2）4=22﹣02；8=32﹣12；12=42﹣22；
2，6，10，14，?A，结论：是4的倍数的数属于A．（12分）
点评：本题考查了元素与集合的关系，只要根据集合元素满足的性质进行判断，利用归纳推理思想方法进行归纳出集合元素的性质的结论，考查了分析和解决问题的能力．
28、已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．
1）若A是空集，求a的取值范围；
2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：（1）A为空集，表示方程ax2﹣3x+2=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．
（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．
解答：解：1）若A是空集，
则方程ax2﹣3x+2=0无解
此时△=9﹣8a＜0
即a＞
2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2=0有且只有一个实根
当a=0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时△=9﹣8a=0，解得：a=
∴a=0或a=
3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得
满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2﹣3x+2=0根的情况，是解答本题的关键．
29、设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？
30、若集合A={x|x2+ax+b=x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：根据集合中有一个元素a可知a是方程x2+ax+b=x的根，建立等式关系，然后再根据“仅有”，利用判别式建立等式关系，解之即可．
解答：解：∵集合A={x|x2+ax+b=x}中，仅有一个元素a，
∴a2+a2+b=a且△=（a﹣1）2﹣4b=0
解得a=，b=．
故a、b的值分别为，
点评：本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及一元二次方程只有一根的充要条件的考查，属于基础题之列．
