专题37 机械能守恒定律
一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh。h为物体相对于参考面的高度，有正、负之分。
(2)重力势能的特点：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
二、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。【特别提醒】对同一弹簧，形变量相同，弹性势能相同。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大。即W＝－ΔEp。
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
【特别提醒】机械能中的势能包括重力势能和弹性势能。
2．表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
3．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程，小球机械能减少。
4．机械能是否守恒的三种判断方法
定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
5．机械能守恒的三种表达式对比
守恒角度 转化角度 转移角度
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB减
物理意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项 必须选好零势能面，且初、末状态用同一零势能面计算势能 分清重力势能的增加量和减少量，不用选零势能面 解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
6．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
【特别提醒】
(1)应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒式列方程较简便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。
7.
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
8.连接体模型
（1）速度相等的连接体模型
[题型技法]
常见情景
两点提醒 (1)如图所示的两物体组成的系统，在释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等的时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。 (2)判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能就守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。
（2）角速度相等的连接体模型
[解题技法]
常见 情景
三大 特点 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
（3）沿轻杆或轻绳方向分速度大小相等的连接体模型
常见
特点 如图所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子方向和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中沿绳子方向的分速度vx与A的速度大小相等。 沿轻杆或轻绳方向分速度大小相等。
9. 用机械能守恒定律解决非质点问题
(1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。
(2)物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
最新高考题精选
1. （2022·全国理综乙卷·16）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A. 它滑过的弧长
B. 它下降的高度
C. 它到P点的距离
D. 它与P点的连线扫过的面积
【参考答案】C
【名师解析】
设小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑到Q，如图所示
设圆环下降的高度为，圆环的半径为，它到P点的距离为，根据机械能守恒定律得
由几何关系可得，
联立可得
由可得，即小环的速率正比于它到P点的距离L，故C正确，ABD错误。
2．（2021高考河北物理）一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（ ）
A． B． C． D.
【参考答案】A
【名师解析】小球从Q点下落，机械能守恒，mg（R+πR/2）=mv2，解得v=，选项A正确。
【名师点评】本题考查机械能守恒定律，情景新，属于基础知识考查。
3. (2019·全国卷Ⅱ)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
【参考答案】AD
【名师解析】 由于Ep＝mgh，所以Ep与h成正比，斜率k＝mg，由题给图像得k＝20 N，因此m＝2 kg，A对。当h＝0时，Ep＝0，E总＝Ek＝mv02，因此v0＝10 m/s，B错。由题给图像知h＝2 m时，E总＝90 J，Ep＝40 J，由E总＝Ek＋Ep得Ek＝50 J，C错。h＝4 m时，E总＝Ep＝80 J，即此时Ek＝0，即上升4 m距离，动能减少100 J，D对。
最新模拟题精选
1.（2022·安徽滁州市定远县冲刺模拟|过山车）小珂在游乐场游玩时，发现过山车有圆形轨道也有水滴形轨道，想到了教材必修2上有如下表述：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般的曲线运动.尽管这时曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分（注解：该一小段圆周的半径为该点的曲率半径）.这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了（如图甲所示），小珂设计了如图乙所示过山车模型，质量为m的小球在A点静止释放沿倾斜轨道下滑，经水平轨道进入半径的圆形轨道（恰能做完整的圆周运动），再经水平轨道进入“水滴”形曲线轨道，E点的曲率半径为，并且在“水滴”形轨道上运动时，向心加速度大小为一定值，F与D等高.忽略所有轨道摩擦力，轨道连接处都平滑连接，水滴形轨道左右对称.（）
（1）求小球释放点A距离水平面的高度H.
（2）设小球在圆形轨道上运动时，离水平面的高度为h，求向心加速度a与h的函数关系.
（3）设小球在“水滴”形轨道上运动时，求轨道曲率半径r与h的函数关系（h为小球离水平面的高度）.
【名师解析】（1）小球在最高点D时，由牛顿第二定律有
对小球由A到D，由机械能守恒定律有
联立解得.
（2）由机械能守恒定律有
小球以速度v通过曲率半径为R1时的向心加速度为
解得（）.
（3）对小球由A到E点，由机械能守恒定律有
小球以速度v通过曲率半径为R2的E点时的向心加速度
解得
由题意知小球在“水滴”形轨道上运动时，向心加速度大小相等，均为a=2g
小球从A运动到高度为h的过程，由机械能守恒定律有
小球以速度v通过曲率半径为r时的向心加速度（）
解得.
2.（2022·湖南长沙长郡中学5月模拟）如图所示，一长为L的轻杆下端固定一质量为m的小球，上端连在光滑水平轴O上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动.当小球在最低点时给它一个水平初速度，小球刚好能做完整的圆周运动.不计空气阻力，重力加速度为g.则下列判断正确的是
A. 除最高点外，小球做完整圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
B. 小球的初速度大小为
C. 杆的力为0时，小球的速度大小为
D. 杆的力为0时，小球的速度大小为
【参考答案】AC
【名师解析】小球做变速圆周运动，除最高点外，仅在最低点合力指向圆心，A正确；小球恰能做完整的圆周运动，最高点速度为0，对小球从最低点运动到最高点的过程， 由机械能守恒定律有，解得小球在最低点速度为，B错误；设杆的力为0时，杆与竖直方向的夹角为，杆的速度为，将小球所受重力沿杆和垂直杆方向进行分解，如图.重力沿轻杆方向的分力提供小球做圆周运动的向心力，沿运动方向的分力使小球沿圆周切线方向做加速运动.则有，小球从最高点运动到轻杆与竖直方向夹角为θ的过程，由机械能守恒定律有，联立解得，C正确，D错误.
3.（2022·江苏四市二模）如图所示，竖直平面内固定着半径为r的光滑圆形轨道，质量都为m的两小球，某时刻恰好位于轨道的最高点和最低点，速度分别为，，以圆环最低点为重力势能零点，则两小球在运动过程中
A. 可能会在某一位置中发生碰撞
B. 可能同时位于水平直径的两端
C. 两小球距离最近时总动能最小
D. 系统重力势能的最大值为
【参考答案】C
【名师解析】设恰好位于轨道最高点的小球运动到轨道最低点的速度是v1’，对恰好位于轨道最高点的小球运动到轨道最低点的过程，根据机械能守恒定律有，
解得.由此可知，两小球做的是相同的圆周运动，其周期相同.所以不会在某一位置中发生碰撞，选项A错误。依题意分析知，位于最高点的小球运动到水平直径右端的平均速率小于位于最低点的小球运动到水平直径左端的平均速率，根据可知两小球运动的路程相同，所用时间不同，即位于最低点的小球先到达水平直径左端，两小球不可能同时位于水平直径的两端，选项B错误。对两小球的运动过程，由机械能守恒定律，可得，总动能，易知，总动能与两球的竖直高度差有关，当两球的竖直高度差最小时，即两球距离最近时，总动能具有最小值，选项C正确。综上所述，两球动能最小时，系统具有最大的重力势能，其位置均高于水平直径，即，系统重力势能，选项D错误.
【关键点拨】位于最低点的小球先到达水平直径左端后继续向上运动，当两小球同时运动到同一位置时，此时两小球距离最近，竖直高度差最小，位置如图所示。
4.（2022·江西上饶六校第二次联考）如图所示，细绳AB和BC连接着一质量为m的物体P，其中绳子的A端固定，C端通过小光滑定滑轮连接着一质量也为 m的物体Q（P、Q均可视为质点）.开始时，用手托住物体P，使物体P与A、C两点等高在一条水平直线上，且绳子处于拉直的状态，把手放开， P下落到图示位置时，夹角如图所示.已知AB=L，重力加速度为g，细绳均不可伸长.则由开始下落到图示位置的过程中说法正确的是
A. 物体Q与物体P的速度大小始终相等
B. 释放瞬间P的加速度等于g
C. 图示位置时，Q的速度大小为
D. 图示位置时，Q受到的绳子拉力大小为
【参考答案】BD
【名师解析】根据题述，把手放开， P下落到图示位置，画出P、Q运动示意图，如图所示，
释放P后，P绕A点做圆周运动，P的速度沿圆周的切线方向，当绳BC与水平方向夹角为30°时，绳BC与绳AB垂直，P的速度方向沿CB的延长线，此时物体Q与物体P的速度大小相等，之前的过程中，速度大小不相等，故A错误；如图中虚线所示，释放瞬间，P所受合力为重力，则加速度等于g，故B正确；如图中虚线所示，AC=2L，P处于AC的中点，BC=L，当下降到图示位置时，BC=，Q上升的高度，P下降的高度为，由于P的速度方向在CB的延长线上，故此时P、Q速度大小相等，根据系统机械能守恒得，解得，故C错误；设绳BC上张力大小为T，Q的加速度大小为a，P沿CB方向的加速度大小也为a，根据牛顿第二定律得
，，联立得，故D正确.
【关键点拨】P沿CB方向的加速度大小为a，此为切向加速度，沿AB方向还有法向加速度，大小为an=.
5.（2022·河南漯河5月模拟）图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球；B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是
A．摆动过程中A球机械能守恒
B．B球向左摆动所能达到的最大高度应高于A球开始运动的高度
C．A球到达最低点时速度为
D．A球到达最低点时，杆对A做功为
【参考答案】BD
【名师解析】A、B组成的系统机械能守恒，摆动过程中轻杆对A球做功，因此A球的机械能不守恒，A错误；由几何关系可知，摆动过程中A、B球的速度大小相等，A球到达最低点时，A、B球的速度大小均为，根据机械能守恒可得，解得，C错误；A球到达最低点时，B球向左摆动到A球开始运动的高度，此时A、B球的速度大小不为零，因此系统将继续摆动，最终B球向左摆动所能达到的最大高度高于A球开始运动的高度，B正确；
A球到达最低点的过程中，杆对A做功为，根据动能定理得，解得，A球到达最低点时，杆对A做功为，D正确。此题正确选项为BD。
【易错警示】轻杆连接的两物体，在运动过程中，轻杆的作用力一般与运动方向不垂直，两个物体组成的系统机械能守恒，而单个物体的机械能一般不守恒。
【方法归纳】可以画出图，便于理解。A、B组成的系统向左、右摆动，在左、右两侧能够上升的最大高度相同。
6..（2022·吉林东北师大附中5月模拟）如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为0.3m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一水平光滑直杆。质量为2kg的小球a套在半圆环上，质量为1kg的小球b套在直杆上，两者之间用长为L=0.4m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处静止释放，让其沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，g取10m/s2，则以下说法中正确的是
A．小球a滑到与圆心O等高的P点时，a、b两球的速度大小相等
B．小球a滑到与圆心O等高的P点时，a的速度大小为m/s
C．小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）过程中，a、b两球组成的系统机械能守恒
D．小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）的过程中，杆对小球b做的功为
试卷第7页，共7页
【参考答案】BCD
【名师解析】当a滑到与O同高度P点时，a的速度v沿圆环切向向下，a沿杆方向速度为零，所以b的速度为零，故A错误；由机械能守恒定律可得，解得m/s，故B正确；小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）过程中，a、b两球组成的系统除了两球的机械能在变化，系统没有其他形式能量在变化，所以系统机械能守恒。故C正确；杆与圆相切时，如图所示。 a的速度沿杆方向，设此时b的速度为，根据杆不可伸长和缩短，有，
由几何关系可得，在图中，球a下降的高度，a、b系统机械能守恒，则有，对b，由动能定理得J，故D正确。此题正确选项为BCD。
【温馨提示】轻杆或轻绳连接的两小球，沿轻杆或轻绳方向的分速度相等。
7.（2022·河北石家庄三模）轮轴机械是中国古代制陶的主要工具.如图所示，轮轴可绕共同轴线O自由转动，其轮半径，轴半径，用轻质绳缠绕在轮和轴上，分别在绳的下端吊起质量为2kg、1kg的物块P和Q，将两物块由静止释放，释放后两物块均做初速度为0的匀加速直线运动，不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，重力加速度g取.在P从静止下降的过程中，下列说法正确的是
A P、Q速度大小始终相等
B. Q上升的距离为
C. P下降时Q的速度大小为
D. P下降时的速度大小为
【参考答案】BD
【名师解析】由题意知，轮半径，轴半径，根据线速度与角速度关系可知，故A项错误；在P从静止下降过程中，由题意有，解得，故B项正确；不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，系统机械能守恒，根据机械能守恒得，解得，，所以C项错误，D项正确.
8（2022·福建泉州5月质检）如图，两个质量均为m的小球a、b通过轻质铰链用轻杆连接，a套在固定的竖直杆上，b放在水平地面上.一轻质弹簧水平放置，左端固定在杆上，右端与b相连.当弹簧处于原长状态时，将a由静止释放，已知a下降高度为h时的速度大小为v，此时杆与水平面夹角为.弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A. 释放a的瞬间，a的加速度大小为g
B. 释放a的瞬间，地面对b的支持力大小为2mg
C. a的速度大小为v时，b的速度大小为
D. a的速度大小为v时，弹簧的弹性势能为
【参考答案】C
【名师解析】释放a的瞬间，a开始向下做加速运动，对a进行受力分析，竖直方向上受重力和轻杆沿竖直方向的分力，即此时a的加速度不为g，A错误；把a、b作为整体，竖直方向有,则有,即释放a的瞬间，地面对b的支持力小于2mg，B错误；当a的速度大小为v时， a沿轻杆方向的分速度为，则此时b的速度大小为，C正确；整个系统机械能守恒，则有，则此时弹簧的弹性势能，D错误.答案：C
【方法点拨】 轻弹簧模型的“三点”注意事项
（1）含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体或弹簧机械能都不守恒。
（2）弹簧弹力做功与路径无关，取决于初、末状态弹簧形变量的大小。
（3）由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体速度相等；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小（为零）。
9（2022·安徽三模）假设火星极地处表面的重力加速度为g0，火星赤道处表面的重力加速度为g1，火星的半径为R.已知物体在火星的引力场中引力势能是，G为引力常量，M为火星的质量，m为物体的质量，r为两者质心的距离.某同学有一个大胆的想法，在火星赤道平面沿着火星半径挖深度为的深井，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列结论正确的是
A. 火星的第一宇宙速度
B. 火星的第二宇宙速度
C. 火星深井底部的重力加速度为
D. 火星的自转周期
【参考答案】A
【名师解析】物体在火星附近绕火星做匀速圆周运动的速度，叫作火星的第一宇宙速度，在火星两极重力与万有引力相等，则有，可得火星第一宇宙速度，故A正确；火星的第二宇宙速度是物体挣脱火星引力束缚的最小速度，要挣脱火星的引力束缚，由机械能守恒定律有EpR＋EkR = Ek∞＋Ep∞，即，当Ek∞取零时，对应速度有最小值，可以计算得出火星的第二宇宙速度，代入，可得，故B错误；在赤道上，万有引力等于重力与向心力之和，可得，在火星赤道平面沿着火星半径挖深度为的深井处，外壳的万有引力合力为零，内部质量M’=M/8，根据万有引力等于重力与向心力之和，可得，显然g′≠g1，故C错误；在火星赤道表面有，解得火星的自转周期，故D错误.
【易错警示】只有不考虑星球自转时才有：火星赤道上深度为的深井底部的重力加速度为赤道表面重力加速度的1/2。
10.（2022·山东重点高中质检）如图所示，质量为的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量为的物体乙用轻绳跨过光滑的定滑轮与甲连接，开始用手托住乙，轻绳刚好伸直，滑轮左侧绳竖直，右侧绳与水平方向夹角为，某时刻由静止释放乙（足够高），经过一段时间小球运动到点，两点的连线水平，，且小球在、两点处时弹簧的弹力大小相等.已知重力加速度为，，.则
A．弹簧的劲度系数为
B．小球位于点时的速度大小为
C．物体乙重力的瞬时功率一直增大
D．小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小
【参考答案】ABD
【名师解析】P、两点处弹簧弹力的大小相等，则由胡克定律可知弹簧在点的压缩量等于在点的伸长量，由几何关系知，则小球位于点时弹簧的压缩量为，对点的小球由力的平衡条件可知，解得， 选项A正确；当小球运动到点时，设小球甲的速度为，此时小球甲的速度与绳子OQ垂直，所以物体乙的速度为零，又小球、物体和弹簧组成的系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得，解得，选项B正确；由于小球在、两点处时弹簧的弹力大小相等，即小球在、两点处时弹簧的弹性势能相等，则小球由到的过程，弹簧的弹性势能先减小后增大，由能量守恒定律可知，小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小，选项D正确；由于小球在和点处，物体乙的速度都为零，在其他过程中，物体乙的速度不是零，则可知物体乙重力的瞬时功率先增大后减小，选项C错误.
11.（2022·山东名校联盟5月模拟）如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径的光滑半球体上方.给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为.已知，以OC所在平面为参考平面，取.则下列说法中正确的是
A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒
B．铁链在初始位置时其重心高度
C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m
D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为
【参考答案】C
【名师解析】铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链受到上边拉链的拉力，该拉力做负功，故机械能不守恒，故A错误；根据几何关系可知，铁链长度为，铁链全部贴在球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在的角平分线上，
故铁链在初始位置时其重心与圆心连线长度等于端点B滑至C处时其重心与圆心连线长度，均设为h0，根据机械能守恒有，代入数据解得，故B错误；铁链的端点A滑至C点时，其重心在参考平面下方处，则铁链的端点A滑至C点时其重心下降，故C正确；铁链的端点A滑至C处过程，根据机械能守恒有，解得，故D错误.答案：C
【易错警示】铁链重心不在AB连线上，也不在AB之间的铁链上。
【方法点拨】 用机械能守恒定律解决非质点问题
绳索、链条、液柱等物体在运动过程中往往会发生形变，其重心相对物体的位置也发生变化，因此这类物体不能再视为质点，但只有重力做功时，物体整体的机械能守恒.一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的各个规则部分的重心位置，根据初、末状态物体整体的重力势能的变化列式求解.
12. （2022·福建厦门5月模拟）固定在竖直面内的光滑圆管POQ，PO段长度为L，与水平方向的夹角为30°，在O处有插销，OQ段水平且足够长。管内PO段装满了质量均为m的小球，小球的半径远小于L，其编号如图所示。拔掉插销，1号球在下滑过程中
A．机械能不守恒
B．做匀加速运动
C．对2号球做的功为
D．经过O点时速度
【参考答案】AC
【名师解析】设一共有个小球，运动过程中，有个小球在光滑圆管PO内，对个小球整体分析，根据牛顿第二定律有，解得，
对小球1分析，假设小球2对小球1有向上的支持力，根据牛顿第二定律有，解得，则随着的减小，小球2对小球1有向上的支持力，对小球1做负功，小球1的机械能不守恒，小球1的加速度在减小，故小球1做加速度减小的加速运动，故B错误，A正确；考虑整体小球的重心在管PO的中心，设所有小球在OQ段的速度为，根据机械能守恒定律可得，解得，故D错误；对1号球分析，从开始到1号球达到水平管道的过程中，2号球对1号球做的功为W，根据动能定理可得，解得，由于小球的半径远小于L，则1号球对2号球做的功等于2号球对1号球做的功为，故C正确。
【关键点拨】对于细管中的多个小球可以视为链条类，可以分别对整体受力分析和隔离一部分受力分析。若整体小球排列在一直线上，则重心在直线的中心；若整体小球不是排列在一直线上，则重心就不在线上。
13．有一条长为L＝2 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A.2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
【参考答案】B
【名师解析】设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sin θ－×2mg×＋0＝－mgL(1＋sin θ)，链条全部滑出后，动能为Ek′＝×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg，由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL(1＋sin θ)＝mv2－mgL，解得v＝＝× m/s＝ m/s，故B正确，A、C、D错误。
14. (2021·浙江温州模拟)如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是( )
A．N个小球在运动过程中始终不会散开
B．第1个小球从A到B过程中机械能守恒
C．第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
D．第1个小球到达最低点的速度v<
【参考答案】AD
【名师解析】在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；第一个小球在下落过程中受到挤压，所以有外力对小球做功，小球的机械能不守恒，故B错误；由于小球在下落过程中速度发生变化，相互间的挤压力变化，所以第N个小球不可能做匀加速运动，故C错误；当重心下降时，根据机械能守恒定律得：mv2＝mg·，解得：v＝；同样对整体在AB段时，重心低于，所以第1个小球到达最低点的速度v<，故D正确。
15．(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
【参考答案】ACD
【名师解析】把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降，重力所做正功：WG＝ρgS·＝ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确。专题37 机械能守恒定律
一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh。h为物体相对于参考面的高度，有正、负之分。
(2)重力势能的特点：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
二、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。【特别提醒】对同一弹簧，形变量相同，弹性势能相同。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大。即W＝－ΔEp。
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
【特别提醒】机械能中的势能包括重力势能和弹性势能。
2．表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
3．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程，小球机械能减少。
4．机械能是否守恒的三种判断方法
定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
5．机械能守恒的三种表达式对比
守恒角度 转化角度 转移角度
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB减
物理意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项 必须选好零势能面，且初、末状态用同一零势能面计算势能 分清重力势能的增加量和减少量，不用选零势能面 解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
6．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
【特别提醒】
(1)应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒式列方程较简便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。
7.
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
8.连接体模型
（1）速度相等的连接体模型
[题型技法]
常见情景
两点提醒 (1)如图所示的两物体组成的系统，在释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等的时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。 (2)判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能就守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。
（2）角速度相等的连接体模型
[解题技法]
常见 情景
三大 特点 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
（3）沿轻杆或轻绳方向分速度大小相等的连接体模型
常见
特点 如图所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子方向和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中沿绳子方向的分速度vx与A的速度大小相等。 沿轻杆或轻绳方向分速度大小相等。
9. 用机械能守恒定律解决非质点问题
(1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。
(2)物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
最新高考题精选
1. （2022·全国理综乙卷·16）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A. 它滑过的弧长
B. 它下降的高度
C. 它到P点的距离
D. 它与P点的连线扫过的面积
2．（2021高考河北物理）一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（ ）
A． B． C． D.
3. (2019·全国卷Ⅱ)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
最新模拟题精选
1.（2022·安徽滁州市定远县冲刺模拟|）小珂在游乐场游玩时，发现过山车有圆形轨道也有水滴形轨道，想到了教材必修2上有如下表述：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般的曲线运动.尽管这时曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分（注解：该一小段圆周的半径为该点的曲率半径）.这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了（如图甲所示），小珂设计了如图乙所示过山车模型，质量为m的小球在A点静止释放沿倾斜轨道下滑，经水平轨道进入半径的圆形轨道（恰能做完整的圆周运动），再经水平轨道进入“水滴”形曲线轨道，E点的曲率半径为，并且在“水滴”形轨道上运动时，向心加速度大小为一定值，F与D等高.忽略所有轨道摩擦力，轨道连接处都平滑连接，水滴形轨道左右对称.（）
（1）求小球释放点A距离水平面的高度H.
（2）设小球在圆形轨道上运动时，离水平面的高度为h，求向心加速度a与h的函数关系.
（3）设小球在“水滴”形轨道上运动时，求轨道曲率半径r与h的函数关系（h为小球离水平面的高度）.
2.（2022·湖南长沙长郡中学5月模拟）如图所示，一长为L的轻杆下端固定一质量为m的小球，上端连在光滑水平轴O上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动.当小球在最低点时给它一个水平初速度，小球刚好能做完整的圆周运动.不计空气阻力，重力加速度为g.则下列判断正确的是
A. 除最高点外，小球做完整圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
B. 小球的初速度大小为
C. 杆的力为0时，小球的速度大小为
D. 杆的力为0时，小球的速度大小为
3.（2022·江苏四市二模）如图所示，竖直平面内固定着半径为r的光滑圆形轨道，质量都为m的两小球，某时刻恰好位于轨道的最高点和最低点，速度分别为，，以圆环最低点为重力势能零点，则两小球在运动过程中
A. 可能会在某一位置中发生碰撞
B. 可能同时位于水平直径的两端
C. 两小球距离最近时总动能最小
D. 系统重力势能的最大值为
4.（2022·江西上饶六校第二次联考）如图所示，细绳AB和BC连接着一质量为m的物体P，其中绳子的A端固定，C端通过小光滑定滑轮连接着一质量也为 m的物体Q（P、Q均可视为质点）.开始时，用手托住物体P，使物体P与A、C两点等高在一条水平直线上，且绳子处于拉直的状态，把手放开， P下落到图示位置时，夹角如图所示.已知AB=L，重力加速度为g，细绳均不可伸长.则由开始下落到图示位置的过程中说法正确的是
A. 物体Q与物体P的速度大小始终相等
B. 释放瞬间P的加速度等于g
C. 图示位置时，Q的速度大小为
D. 图示位置时，Q受到的绳子拉力大小为
5.（2022·河南漯河5月模拟）图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球；B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是
A．摆动过程中A球机械能守恒
B．B球向左摆动所能达到的最大高度应高于A球开始运动的高度
C．A球到达最低点时速度为
D．A球到达最低点时，杆对A做功为
6.（2022·吉林东北师大附中5月模拟）如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为0.3m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一水平光滑直杆。质量为2kg的小球a套在半圆环上，质量为1kg的小球b套在直杆上，两者之间用长为L=0.4m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处静止释放，让其沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，g取10m/s2，则以下说法中正确的是
A．小球a滑到与圆心O等高的P点时，a、b两球的速度大小相等
B．小球a滑到与圆心O等高的P点时，a的速度大小为m/s
C．小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）过程中，a、b两球组成的系统机械能守恒
D．小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点（图中未画出）的过程中，杆对小球b做的功为
7.（2022·河北石家庄三模）轮轴机械是中国古代制陶的主要工具.如图所示，轮轴可绕共同轴线O自由转动，其轮半径，轴半径，用轻质绳缠绕在轮和轴上，分别在绳的下端吊起质量为2kg、1kg的物块P和Q，将两物块由静止释放，释放后两物块均做初速度为0的匀加速直线运动，不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，重力加速度g取.在P从静止下降的过程中，下列说法正确的是
A P、Q速度大小始终相等
B. Q上升的距离为
C. P下降时Q的速度大小为
D. P下降时的速度大小为
8（2022·福建泉州5月质检）如图，两个质量均为m的小球a、b通过轻质铰链用轻杆连接，a套在固定的竖直杆上，b放在水平地面上.一轻质弹簧水平放置，左端固定在杆上，右端与b相连.当弹簧处于原长状态时，将a由静止释放，已知a下降高度为h时的速度大小为v，此时杆与水平面夹角为.弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A. 释放a的瞬间，a的加速度大小为g
B. 释放a的瞬间，地面对b的支持力大小为2mg
C. a的速度大小为v时，b的速度大小为
D. a的速度大小为v时，弹簧的弹性势能为
9（2022·安徽三模）假设火星极地处表面的重力加速度为g0，火星赤道处表面的重力加速度为g1，火星的半径为R.已知物体在火星的引力场中引力势能是，G为引力常量，M为火星的质量，m为物体的质量，r为两者质心的距离.某同学有一个大胆的想法，在火星赤道平面沿着火星半径挖深度为的深井，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列结论正确的是
A. 火星的第一宇宙速度
B. 火星的第二宇宙速度
C. 火星深井底部的重力加速度为
D. 火星的自转周期
10.（2022·山东重点高中质检）如图所示，质量为的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量为的物体乙用轻绳跨过光滑的定滑轮与甲连接，开始用手托住乙，轻绳刚好伸直，滑轮左侧绳竖直，右侧绳与水平方向夹角为，某时刻由静止释放乙（足够高），经过一段时间小球运动到点，两点的连线水平，，且小球在、两点处时弹簧的弹力大小相等.已知重力加速度为，，.则
A．弹簧的劲度系数为
B．小球位于点时的速度大小为
C．物体乙重力的瞬时功率一直增大
D．小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小
11.（2022·山东名校联盟5月模拟）如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径的光滑半球体上方.给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B滑至C处时其速度大小为.已知，以OC所在平面为参考平面，取.则下列说法中正确的是
A．铁链下滑过程中靠近B端的一小段铁链机械能守恒
B．铁链在初始位置时其重心高度
C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降2.8m
D．铁链的端点A滑至C处时速度大小为
12. （2022·福建厦门5月模拟）固定在竖直面内的光滑圆管POQ，PO段长度为L，与水平方向的夹角为30°，在O处有插销，OQ段水平且足够长。管内PO段装满了质量均为m的小球，小球的半径远小于L，其编号如图所示。拔掉插销，1号球在下滑过程中
A．机械能不守恒
B．做匀加速运动
C．对2号球做的功为
D．经过O点时速度
13．有一条长为L＝2 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A.2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
14. (2021·浙江温州模拟)如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是( )
A．N个小球在运动过程中始终不会散开
B．第1个小球从A到B过程中机械能守恒
C．第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
D．第1个小球到达最低点的速度v<
15．(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
