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2022—2023学年度下学期八年级数学教学案 第1 周 第1节
课题 第1课时 二次根式的概念
教学目标 知识与技能：理解二次根式的概念, 掌握二次根式有意义的条件, 会利用二次根式的非负性解决相关问题..过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 理解二次根式的概念
难点 掌握二次根式有意义的条件, 会利用二次根式的非负性解决相关问题.
教具 多媒体、教学案
教与学的过程教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
复习引入问题1 什么叫做平方根 问题2 什么叫做算术平方根 问题3 什么数有算术平方根 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为 二次根式的概念及有意义的条件上面问题中，得到的结果分别是： 问题1 这些式子分别表示什么意义？问题2 这些式子有什么共同特征？归纳总结: 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 例2: 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 归纳要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 归纳:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳总结: (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如 有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0；(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0.练一练1.下列各式： 一定是二次根式的个数有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.二次根式的双重非负性问题1:当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？问题2:二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么 归纳总结: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 例3:若 ，求a -b+c的值.归纳:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4:已知y= ,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且 ，求此三角形的周长．归纳: 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.练一练:已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．当堂练习 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）2.式子 有意义的条件是（ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤23.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值为______．4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值. 能力提升：7.先阅读，后回答问题：当x为何值时， 有意义？解：由题意得x(x-1)≥0由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0即当x≥1 或x≤0时， 有意义. 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？
课后小结
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16.1 二次根式的概念
人教版八年级下册
复习引入
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
问题3 什么数有算术平方根
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图 的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图 的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
图
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
_____．
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ，
， ．
二次根式的概念及有意义的条件
一
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
归纳总结
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
典例精析
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
归纳
解：(1)∵无论x为何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0.
归纳总结
1.下列各式： .
一定是二次根式的个数有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，
则x的取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
练一练
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此
＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时，
≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么
二次根式的双重非负性
二
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例3 若 ，求a -b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
典例精析
例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
练一练
当堂练习
2.式子 有意义的条件是（ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值为______．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
6.若x，y是实数，且y＜ ,求
的值.
解：根据题意得，
∴x=1.
∵y ＜ ,
∴y＜ ，
∴ .
7.先阅读，后回答问题：
当x为何值时， 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
能力提升：
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，
有意义？
解：由题意得
则
解得x≥2或x＜ ，
即当x≥2或x＜ 时， 有意义．
课堂小结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且
≥0
谢谢
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