5.4.2正弦函数、余弦的性质课时训练二-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.4.2正弦函数、余弦的性质课时训练二
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的部分图象形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，给出以下四个命题；
①的最小正周期为；②在上的值域为；
③的图象关于点中心对称；④的图象关于直线对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最小正周期是（ ）．
A． B． C． D．
7．使函数取得最大值的自变量的集合为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．图象的一个对称中心为
C．的单调递减区间为
D．的图象与函数的图象重合
10．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．的值域为
C．为周期函数，且最小正周期
D．与的图像恰有一个公共点
11．设函数（），则下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称
12．己知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的值域为 B．的最小正周期为
C．在上单调递增 D．的对称轴为
三、填空题
13．已知函数的单调增区间为__________．
14．若函数存在最大值和最小值，记，侧____________．
15．函数的最小正周期为________.
16．已知函数,若函数的图象关于点中心对称,且关于直线轴对称,则的最小值为______．
四、解答题
17．已知函数的图象经过点．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数n的值，并求的值．
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若任意的，恒有，求m的范围.
19．已知函数，.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
20．已知函数（其中）的图像与轴交于，两点，，两点间的最短距离为，且直线是函数图像的一条对称轴．
(1)求和的值．
(2)若，求的最值．
(3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据奇函数的定义判断各选项是否为奇函数，再判断各函数的单调性即可.
【详解】对于A选项，因为时，，时，，所以函数不是奇函数，A错误；
对于B选项，因为时，，时，，所以函数不是奇函数，B错误；
对于C选项，记，则，所以函数为奇函数，
但时，，时，，所以函数在上不单调递增，C错误；
对于D选项，设，则，所以函数为奇函数，
又函数在上都为增函数，所以函数在上为增函数，D正确；
故选：D．
2．A
【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.
【详解】根据题意可知，定义域为，
而，
所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD；
根据图象可利用可排除B.
故选：A
3．B
【分析】根据题意，利用周期公式、正弦函数的图象与性质进行判定.
【详解】对于①：因为，所以周期为，即①正确；
对于②：因为，所以，
所以，，
则的值域为，即②错误；
对于③：因为，
所以的图象不关于点中心对称，即③错误；
对于④：因为为的最大值，
所以的图象关于直线对称，即④正确；
所以正确命题为①④，共2个正确命题.
故选：B.
4．B
【分析】根据对数函数，指数函数，余弦函数的性质，求出的范围，即可比较出大小.
【详解】因为，所以．
故选：B
5．C
【分析】利用周期排除A， B，再利用复合函数单调性在C ，D中可得到正确答案.
【详解】对选项A， B其周期为，选项C ，D其周期为，故排除选项A， B；
对于C：在上为单调递减，则在上为单调递增，故C正确；
对于D：在上为单调递增，则在上为单调递减，故D错误.
故选：C
6．D
【分析】用周期公式计算.
【详解】由题意， ；
故选：D.
7．D
【分析】根据正弦函数的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以时，函数取得最大值，
由，可得，
解得，
所以的取值集合为
故选:D.
8．A
【分析】结合函数的奇偶性排除，再由特殊值排除B，再根据函数值的正负排除D.
【详解】因为，，
所以函数是偶函数，图像关于轴对称，故错误，
因为当时，，先由正数变为负数，故选项错误;.
图像关于轴对称且当时，，故正确
故选：
9．ABC
【分析】根据三角函数平移变换可得，由周期公式求出周期即可判断A；利用代入检验法即可判断B；根据余弦型函数单调区间的求法即可判断C；利用诱导公式化简，即可判断D．
【详解】，
由题意知：；
对于A，的最小正周期，故A正确；
对于B，当时，，此时，则是图象的一个对称中心，故B正确；
对于C，令，解得：，的单调递减区间为，故C正确；
对于D，，则的图象与的图象不重合，故D错误.
故选：ABC.
10．BCD
【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.
【详解】对于A，由于，
所以，所以不是偶函数，故A错；
对于B，由于为整数，的值有三种情况，所以的值域为故B正确；
对于C，由于，所以，故C正确；
对于D，由B得，令，得或，而不是公共点的横坐标. 令，得或，而，所以是两个函数图像的一个公共点. 令，得或，而，所以不是两个函数图像的一个公共点.
综上所述，两个函数图像有一个公共点，故D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】根据正弦型函数的周期公式、对称性、最值逐一判断即可.
【详解】∵，∴，又，∴，∴；
对于A，的最小正周期，A正确；
对于B，因为，所以的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当时，，则当，即时，，C错误；
对于D，当时，，此时，∴的图象关于点对称，D正确.
故选：ABD
12．BC
【分析】作出函数的图象，结合函数图像逐一判断即可.
【详解】解：如图，作出函数的图象，
由图可知函数的值域为，故A错误；
函数的最小正周期为，故B正确；
函数在上单调递增，故C正确；
函数的对称轴为或，故D错误.
故选：BC.
13．
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】解：令，
由，可得，
所以，
解得，
所以函数的定义域为，
由余弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，
又因为在定义域上为单调递增函数，
由复合函数的单调性可知：
函数的单调增区间为.
故答案为：
14．16
【分析】设，证明为奇函数，利用奇函数的性质得出答案.
【详解】，令
则，即为奇函数，由此
故
故答案为：16.
15．
【分析】利用图像及三角函数最小正周期的知识求解即可.
【详解】的图像如图所示，
由图像可知的最小正周期为，
故答案为：
16．3
【分析】图象关于点中心对称,且关于直线轴对称,即与之间相差,列出等式,根据范围求解即可.
【详解】解:由题知的图象关于点中心对称,
且关于直线轴对称,
则与之间的距离为,
即,,
即,,
因为,
所以当时,的最小值为3.
故答案为:3
17．(1)最大值为，最小值为；
(2)，.
【分析】（1）将代入，求出函数的解析式，根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；
（2）由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n的值和的值.
【详解】（1）将代入，
得，即，
解得，，因为，所以，
所以，
当时，，
所以，所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
（2）因为，所以，
即，，
由余弦函数性质可知，在上有5个解，
所以，即，，，，
累加可得，.
18．(1)，对称中心
(2)
【分析】（1）直接根据周期公式求最小正周期，通过可求得对称中心；
（2）先根据正弦函数的性质求出的值域，再将恒成立问题转化最值问题来求解m的范围.
【详解】（1）,
则，
令，得，即对称中心为
故函数的最小正周期为，对称中心为；
（2）当时，，
，
，
又由得，
根据已知任意的，恒有，
则，解得
即m的范围为.
19．(1)，（）
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；
（2）令，，结合正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）函数，，
所以函数的最小正周期，
因为的单调递增区间为，，
令，，解得：，，
所以函数的单调递增区间为（）.
（2）当时，，
令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，，
所以，
综上：在区间上的最大值为，最小值为.
20．(1)，
(2)最大值为1，最小值为
(3)或．
【分析】（1）根据三角函数的性质即可求解和的值；（2）讨论函数在给定区间的单调性，进而可求最值；（3）根据函数在恰好为一个周期，所以要使得函数只有一个零点，则或,即可求解.
【详解】（1）由题知，两点间的最短距离为，所以，，
所以，
直线是函数图像的一条对称轴，
所以，
，又因为，所以
（2）由（1）知，
因为，所以，
令，则，
函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以，即时，函数
有最大值，最大值为．
当，即，函数
有最小值，最小值为．
综上，的最小值为，最大值为
（3）因为函数在内有且只有一个零点，
所以在范围只有一个实根，
即函数在的图像在与直线只有一个交点，
因为恰为函数的一个周期，
所以要使函数在的图像在与直线只有一个交点，
则或，
所以或．