5.5 三角恒等变换 课时训练二-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5 三角恒等变换课时训练二
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．设为第二象限角，若，则=（ ）
A． B．
C． D．2
3．若tan＝2，则tan α的值为（ ）
A． B．－
C． D．－
4．的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
7． （ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．是函数的一个周期
B．是函数的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上单调递增
11．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．函数是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程有且仅有一个实数根
三、填空题
13．函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
14．已知，且，则__．
15．已知，，则__________．
16．函数的最小值为___________.
四、解答题
17．已知函数
（1）求函数的单调减区间；
（2）求当时函数的最大值和最小值．
18．已知函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，若在上至少含有10个零点，求b的最小值．
19．已知函数的最小正周期为8．
(1)求的值及函数的单调减区间；
(2)若，且，求的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据角终边上有一点，得到，再根据为锐角，且，求得，再利用两角差的正切函数求解.
【详解】因为角终边上有一点，
所以，
又因为为锐角，且，
所以，
所以，
故选：C
2．B
【分析】结合平方关系解得，由商数关系求得，再由两角和的正切公式计算．
【详解】由得，，
是第二象限角，，，
所以由，解得：，
所以，
．
故选：B．
3．A
【分析】由两角和的正切公式变形已知式后可求得．
【详解】tan(α＋)＝＝2，
解得tan α＝.
故选：A．
4．B
【分析】将1变为，再利用正切的两角差的公式计算即可.
【详解】.
故选：B.
5．C
【分析】根据诱导公式、两角差的正切公式及特殊角的三角函数值计算可得答案.
【详解】
．
故选：C.
6．D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
7．C
【解析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．
【详解】解：
．
故选：．
8．D
【分析】利用两角和的正切恒等变换公式可求得=，对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.
【详解】因为，所以，解得=，
则，
故选：D.
9．BC
【分析】通过求，来判断出正确选项.
【详解】
，
所以，A错误.
，
所以，B正确.
.
所以，
由于，所以，
由于，所以，
所以由解得，
所以，C正确.
，所以D错误.
故选：BC
【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.
10．ABC
【分析】根据给定条件利用周期定义、对称性性质判断选项A，B；换元借助二次函数最值判断选项C；利用复合函数单调性判断选项D作答.
【详解】因，A正确；
因
，B正确；
令，有，则，，
因为在上单调递增，即函数的最大值为，最小值为， C正确；
函数由和复合而成，函数在上单调递增，
在上递增，在上递减，则函数在上不单调，D不正确.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
11．BC
【分析】运用二倍角公式，结合诱导公式和特殊角的三角函数值的求法即可得到答案.
【详解】选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，正确；
选项D，，错误.
故选：BC.
12．ABD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性定理分析判断D作答.
【详解】显然，，即函数是偶函数，
又，函数是周期函数，是它的一个周期，B正确；
当时，，的最小值为，最大值为，
即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集合是，
因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域为，A正确；
因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上，C不正确；
因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零点，
又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都无零点，
令，，显然在单调递减，
而，，于是得存在唯一，使得，
因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又定义域为，
所以方程有且仅有一个实数根，D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
13．.
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
14．
【分析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】解：因为，
整理可得，
解得，或2（舍去），
由于，
可得，，
所以，．
故答案为：．
15．##
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.
【详解】解：由，，得，
所以．
故答案为：
16．
【分析】化简函数解析式为，设，利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可求得的最小值.
【详解】，
设，可得，可得，
其中，，
因为，所以，，解得.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函数化为的形式求最值；
③利用和的关系转换成二次函数求最值．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）将化为，然后解出不等式即可；
（2）当时，，然后可求出答案.
【详解】（1）
令，可得
所以函数的单调减区间为
（2）当时，，
所以
即
18．（1）；（2）.
【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式将函数化简得，再由最小正周期为，可求得，从而可得函数的解析式，然后由可求出函数的增区间；
（2）由三角函数图像变换求出的解析式，令，求出其零点或，再由在上至少含有10个零点，可求出b的最小值
【详解】解：（1）
.
由最小正周期为，得，所以，
由，
整理得，
所以函数的单调递增区间是．
（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得到
的图像，所以．
令，得或，
所以在上恰好有两个零点，若在上至少有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，
所以b的最小值为.
19．(1)，[](k∈Z)；
(2)．
【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；
(2)由求出，在结合求出，最后利用正弦的和角公式求﹒
(1)
由已知可得，，
∵的最小正周期，∴，
∴，
由得，
∴f(x)的单调递减区间为[](k∈Z)；
(2)
∵，由(1)有，
即，
由，知；
∴，
故
﹒