5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切的公式 课时训练四（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切的公式课时训练四
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
2．设是方程的两个根，则的值为
A．-3 B．-1 C．1 D．3
3．已知且，则=（ ）
A． B．
C． D．或
4．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，则（ ）
A．7 B． C． D．
6．若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式的值小于的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列选项化简值为1的有（ ）
A． B．
C． D．
12．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，则__________．
14．当时，函数取得最大值，则__________.
15．已知，，则的最大值为________.
16．已知，则______．
四、解答题
17．已知，
（1）求的值；
（2）求函数的最大值．
18．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
19．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
参考答案：
1．D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
2．A
【详解】试题分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）= -3，故选A.
考点：两角和与差的正切函数公式
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．
3．C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
4．B
【分析】由题得，代入已知条件化简即得解.
【详解】由题得
所以,
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：解三角形时，遇到,要联想到和角的正切公式求解.
5．A
【分析】由同角三角函数的基本关系计算可得、，再根据两角差的正切公式计算可得.
【详解】因为，所以，又，
所以，则，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换，解题的关键是利用同角关系求出、，再利用凑角去求值，出考查运算求解能力，属于基础题.
6．D
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数间的关系对化简变形，用表示，从而可求出的值，再利用两角和的正切公式化简计算，然后将所求的值代入计算即可.
【详解】因为，
所以，
，
所以．
故选：D．
7．C
【解析】利用正切函数的两角和与差的恒等变换，结合二倍角公式求得结果.
【详解】因为.
故选：C．
8．B
【详解】试题分析：由图象知，所以有，再根据同角三角函数关系式，可求出，选B.
考点：1.两角差的正切公式；2.同角三角函数关系式.
9．ACD
【分析】根据诱导公式判断ABC，根据两角和的正切公式判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
10．ACD
【解析】计算出各选项中代数式的值，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】对于A，利用两角差的正弦公式的逆用及二倍角的正弦公式的逆用即可求解；
对于B，利用两角和的正切公式的逆用即可求解；
对于C，利用诱导公式及二倍角的正弦公式的逆用即可求解；
对于D，利用凑角即两角差的正切公式即可求解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B 正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD
13．
【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.
【详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开
因为，所以，解之得．
故答案为：．
［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式
．
故答案为：．
［方法三］：换元法＋两角和的正切公式
令，则，且．
．
故答案为：．
【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；
方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；
方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式．
14．
【分析】利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，
所以，
所以
又，
所以
故答案为：.
15．
【分析】依题意利用和差角公式将其变形为，整理可得，再利用基本不等式计算可得.
【详解】解：，，
，，，
，
即，
，即，
所以，
当且，即，等号成立，取得最大值．
故答案为：
16．或##或
【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求出的值.
【详解】因为，所以，所以或，
当时，，；
当时，，.
故答案为：或.
17．(1)1;（2）的最大值为.
【详解】（1）由
得，
于是=.
（2）因为
所以
的最大值为.
18．（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
19．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（1）类比等差数列求和的倒序相加法，将等比数列前n项积倒序相乘，可求，代入即可求解.
（2）由（1）知，利用两角差的正切公式，化简，，得
，再根据裂项相消法，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由题意，构成递增的等比数列，其中，则
①
②
①②，并利用等比数列性质，得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又
所以数列的前项和为
【点睛】（Ⅰ）类比等差数列，利用等比数列的相关性质，推导等比数列前项积公式，创新应用型题；（Ⅱ）由两角差的正切公式，推导连续两个自然数的正切之差，构造新型的裂项相消的式子，创新应用型题；本题属于难题.