5.5三角恒等变换课时训练四（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5 三角恒等变换课时训练四
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
6．将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则（ ）
A． B． C． D．
7．若△ABC中，，则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．在锐角中，若，则的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
二、多选题
9．tan（　　）
A． B． C． D．
10．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设非负实数满足则的（ ）
A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为
12．已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．利用特殊角的值求.
14．在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________．
15．的值等于_______________.
16．若，，且，，则的值是________.
四、解答题
17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
18．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．
19．利用公式求的值.
20．在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
参考答案：
1．A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
2．A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
3．C
【分析】先由已知求得，，再运用诱导公式和三角恒等变换化简代入计算可得选项.
【详解】因为角终边在直线上，所以，∴．
∴
．
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的类型的问题，关键在于角的终边得出角的三角函数值，并且根据三角函数的诱导公式和三角恒等变换化简代入求值.
4．C
【分析】由，易得，，从而可求出，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，即，
所以，
即，
所以，
所以或，
所以或，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，
所以.
故选：C.
5．A
【分析】首先利用同角基本关系式求和，再利用角的变换的值.
【详解】是锐角，，，
，，且，
，，
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查角的变换求三角函数值，本题的关键是角的变换，即变形，即求的值.
6．C
【分析】由三角函数的恒等变换化简方程，并求值，判断以，重复循环出现，且，，，计算可得所求和．
【详解】解：，即为，
即，
所以或，，
即或，，
而，
所以，
，
，
，
所以，，
，，
后面的值都是以，重复循环出现，且，，，
所以，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用反三角函数求得的值，从而得出循环，得出，，，从而求得结果.
7．A
【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】中，，
已知等式变形得：，即，
整理得：，即，
或（不合题意，舍去），
，
则此三角形形状为直角三角形．
故选：
【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
8．C
【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值.
【详解】由，得，
两边同时除以，得.
令，
∵是锐角三角形，
∴，∴.
又在三角形中有：
，
故当时，取得最小值
故选：C.
9．AC
【分析】结合同角平方关系及二倍角公式和同角商的关系，分别对四个选项进行化简判断即可.
【详解】因为tan，故A 正确；
，故B错误；
∵sin2α＝1﹣cos2α
∴tan，故C正确，D错误；
故选：AC.
10．ABD
【分析】对于A，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案；
对于B，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案；
对于C，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案；
对于D，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确；
故选：ABD.
11．AC
【分析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解出的最大值和最小值，注意取等号的条件.
【详解】令，，，
因为，所以，所以，
所以
，
所以，，
取最大值时或1，此时或，
取最小值时，此时.
故选：AC.
【点睛】本题考查用三角换元法求最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，难度较难.
(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；
(2)三角函数中的一组“万能公式”：，.
12．CD
【分析】利用题中所给的角所属的象限，结合题中所给的三角函数值，利用平方关系求得角对应的正余弦值，将角进行配凑，利用余弦和角公式求得其结果.
【详解】因为为第一象限角，
所以，，
因为，所以，
所以是第二象限角，所以，
为第三象限角，
所以，，
因为，所以是第二象限角或第三象限角，
当是第二象限角时，，
此时
，
当是第三象限角时，，
此时
，
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角恒等变换的问题，正确解题的关键是在利用平方关系求角的正余弦值时，注意分析角终边的位置，注意符号的选取.
13．
【分析】利用两角和的余弦公式直接求解.
【详解】
.
故答案为：.
14．
【分析】依题意可得与轴正向的夹角为且，则与轴正向的夹角为且，设点的坐标为，根据三角函数的定义及两角和的正（余）弦公式计算可得.
【详解】解：由条件可得与轴正向的夹角为且，故与轴正向的夹角为且．
设点的坐标为，
则，
，
∴点的坐标为．
故答案为：
15．
【分析】利用两角和的计算公式计算即可.
【详解】
故答案为：
16．
【分析】依题意,可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及角的范围即可求得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即所以.
因为，，所以，
因为，所以.
所以
.
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
17．（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
18．(1) ；(2)．
【分析】(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；
(2)利用正弦定理求出，再根据，可知，进而可根据同角三角函数关系，求出，再利用两角差的余弦公式可求得答案.
【详解】(1)由化简，
得，由正弦定理，得，
由余弦定理得，又，所以.
(2)因为，，所以由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
所以．
所以．
【点睛】易错点睛：本题在利用同角三角函数求时，需要注意利用大边对大角确定角的范围.
19．
【解析】将转化为，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
20．（1）；（2）
【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小；
（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，
∴，又，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.