3.2.2 双曲线的简单几何性质 综合提高卷（含答案）

3.2.2双曲线的简单几何性质综合提高卷
一、单选题
1．与椭圆有相同焦点的曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点为 B．渐近线方程为
C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为
3．设抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知、分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为、，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆的位置关系为
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况均有可能
5．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线M：1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，1] D．（1，1]
8．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点P为双曲线上一点，，为双曲线的两个焦点，下列结论正确的是（ ）
A．a的取值范围是
B．该双曲线的焦点坐标为，
C．当时，该双曲线的渐近线方程为．
D．当时，若时，则或13
10．已知的内角所对边的长分别为，已知为的外心，，的面积满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为
12．已知O为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，过点的直线交双曲线C的左支于M，N两点，P为双曲线C右支上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．直线被C的两条渐近线所截线段的长度等于C的焦点到渐近线的距离
B．关于C的渐近线的对称点落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上
C．以MN为直径的圆过点B
D．
三、填空题
13．求双曲线被直线截得的弦长______________．
14．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为___________.
15．已知函数，且，，设值改变时点的轨迹为，若点，为曲线上的两点，为坐标原点，则面积的最大值为__.
16．已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________.
四、解答题
17．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴，短轴长为2，离心率为；
(2)短轴一端点P与两焦点，连线所构成的三角形为等边三角形．
18．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：；
(3)求的面积．
19．已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值．
20．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率，焦距为4.
（1）求双曲线的方程；
（2）设是双曲线上任意一点，且在第一象限，直线与的倾斜角分别为，，求的值.
21．已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当时，求的面积；
(3)求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值．
22．已知双曲线的左右焦点分别为，，P是直线上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，斜率为的直线与双曲线交于C，D两点．
(1)求的值；
(2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点P，满足，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。
参考答案
1--8DCCBA BDB
9．AC 10．AD 11．ACD 12．BCD
13．
14．
15．
16．
17．(1)设椭圆方程为，
则，，则，解得:，
则该椭圆的方程为．
(2)
设椭圆方程为，
由题得：，，则，
则该椭圆的方程为．
18．（1）
设双曲线方程为，
∵，
，又，
∴，双曲线方程为．
∵双曲线过点，
∴，即，
∴双曲线方程为；
（2）
由（1）可知，在双曲线中，
∴，
∴，又，
∴，
又∵点在双曲线上，
∴，．
∴，
∴；
（3）
由上知，，
∴的面积为．
19．（1）由题意可知在双曲线C中，，，，
解得
所以双曲线C的方程为；
（2）证法一：由题可知，
设直线，，，
由，得，
则，，
∴，，
；
当直线的斜率不存在时，，此时.
综上，为定值．
证法二：设直线PQ方程为，，，
联立得整理得，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
则解得，
，，，
由双曲线方程可得，，，，
∵，∴，，
．
证法三：设直线PQ方程为，，，
联立得整理得，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
则解得，
∴，，由双曲线方程可得，，
则，
所以，，
，
∴为定值．
20．
（1）由，得，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的方程为，
所以左顶点，右焦点.
设，则.
当时，，此时，，，
所以；
当，，.
因为，
所以，
又由点在第一象限，易知，，
所以.
综上，的值为.
21．（1）因为，所以，即，因为离心率为，所以，设，则，，又，即，解得或（舍去），所以，，，所以椭圆的标准方程为
（2）由得
，
所以直线与椭圆无交点，故的面积不存在．
（3）由题意知，直线l的方程为，设，，
则，整理得，
则，
因为直线和椭圆有两个交点，所以，则，
设，因为，T，M在同一条直线上，则，
因为，T，N在同一条直线上，则，
由于，所以，
则交点T恒在一条直线上，故交点T的纵坐标为定值.
22．（1）由已知，，设，，
∴，，；
（2）设，（），∴，
∴直线的方程是，设，，
代入双曲线方程得，
即，
，，
，
同理的方程为，设，，
仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：
，
，，
∴
．
由得，
整理得，∵，∴，
∴存在或满足题意．