5.5三角恒等变换 课时训练七（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5 三角恒等变换课时训练七
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．2
2．若，则 等于（ ）
A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α
3．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．已知函数，，若函数在区间内没有零点，则的取值范围（ ）
A．， B．，
C．， D．
5．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
6．已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在，上的最大值为2，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
二、多选题
9．若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
10．已知函数，则 （ ）
A．在上有两个零点
B．在上单调递增
C．在的最大值是1
D．的图像可由向右移动得到
11．已知函数，下面结论正确的是（ ）
A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则
B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在上恰有6个零点，则的取值范围是
D．若，则在上单调递增
12．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3 B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
三、填空题
13．若，则__________，_________．
14．函数在区间上的最大值为______
15．已知sin，则___________.
16．已知，则________．
四、解答题
17．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)已知在时，求方程的所有根的和.
18．设函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式．
19．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
参考答案：
1．C
【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
【详解】解：由题得.
故选：C
2．D
【分析】利用降次公式化简求得表达式，求得正确答案.
【详解】依题意，
.
故选：D
3．D
【分析】先由得，再通过降幂公式化简得，代入即可求解.
【详解】由，得，即，，所以，.
故选：D．
4．B
【分析】化简解析式，根据在区间内没有零点列不等式并进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】函数，
，
，
函数在区间内没有零点，，
，
左端点，，
右端点，，
所以或，
即或，
所以.
故选：B
5．C
【解析】计算出，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值，即可得出合适的选项.
【详解】因为是顶角为的等腰三角形，所以，，
则，，
而，所以，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.
6．A
【解析】由题求出，，再求得解.
【详解】∵，，是第四象限角，
∴，，
则，
故选：A.
【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
7．B
【分析】先对函数化简变形得，然后由，，得，，再由其最大值为2，所以可得，从而可求出的范围，进而可求出的最小值
【详解】解：函数，
因为，，所以，，
因为函数的最大值为2，所以，，且，
解得，，且，
所以的最小值为，
故选：B.
8．A
【分析】利用降幂公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.
【详解】，
故f(x)的最小正周期为π，为偶函数.
故选：A.
9．AC
【分析】整理换元之后，原问题转化为在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点. 作出简图，数形结合可得结果.
【详解】整理可得，
令，因为，则.
所以在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.
由图可知，或，解得或.
故选：AC.
10．AB
【分析】利用降幂公式、二倍角公式，辅助角公式化简整理，可得，根据余弦型函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
，
A选项，令，
所以在上有两个零点.故A正确；
B选项，令，
所以的单调递增区间，
令k=0，可得一个递增区间为，且，所以B正确；
C选项，因为，所以，
所以当，即时，，所以C错误；
D选项，向右移动，则，所以D错误.
故选：AB
【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换公式、余弦型函数的性质，并灵活应用，综合性较强，属中档题.
11．BCD
【分析】A选项由即可求出；B选项先平移得到，由即可求解；C选项求出整体的范围，再由6个零点得到不等式求解；D选项求出整体的范围，再由单调递增得到不等式求解.
【详解】，
对于A，，∴，，错误；
对于B，平移后关于原点对称，则，在时，，正确；
对于C，，，，正确；
对于D，，，，∵，∴，正确.
故选：BCD.
12．BC
【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解.
【详解】
所以的最大值为，故选项A不正确；
的最小正周期为，故选项B正确；
因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故选项C正确；
令，解得：，
所以在区间和单调递减，在上单调递增，故选项D不正确，
故选：BC.
13．
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
14．3
【分析】先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简为，然后求出的范围，最后求出函数的最大值.
【详解】由题意，,而，则，所以函数的最大值为.
故答案为：3.
15．
【分析】“给值求值”问题，找角与角之间的关系
【详解】
所以
所以
故答案为：
16．##
【分析】先利用诱导公式对变形，再以二倍角公式进行代换求值即可解决.
【详解】
故答案为：
17．(1)， ，
(2)
【分析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；
（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.
（1）
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，又，，
故的解析式为，
令，得
函数的递减区间为，.
（2）
，，，
方程可化为，
解得或，即或
当时，或或
解得或或
当时，，所以
综上知，在时，方程的所有根的和为
18．（I）；（II）
【详解】
（I）函数的最小正周期
（2）当时，
当时，
当时，
得：函数在上的解析式为
19．（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【详解】（1）依题意，
所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.