5.5三角恒等变换 课时训练三（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5 三角恒等变换课时训练三
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．函数 (x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
3．化简=（ ）
A．1 B． C． D．2
4．已知在的最大值是1，则m的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
6．已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知在区间上的最大值是，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3 B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称 D．在上单调递增
10．在中，如下判断正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形 B．若，则
C．若为锐角三角形，则 D．若，则
11．已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数在上为增函数，则（ ）
A．实数a的取值范围为 B．实数a的取值范围为
C．点为曲线的对称中心 D．直线为曲线的对称轴
三、填空题
13．已知都是锐角，，则___________.
14．已知，则的值为______．
15．若，则___________.
16．________．
四、解答题
17．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
19．已知函数．
（Ⅰ）求的单调递增区间和最值；
（Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】利用二倍角公式即得.
【详解】由二倍角公式可得，.
故选：A.
2．A
【分析】利用三角恒等变换化简，再求最小正周期和振幅即可.
【详解】 (x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以振幅为1，最小正周期为T＝＝＝π，
故选：A．
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及其性质的求解，属综合基础题.
3．C
【分析】利用三角恒等变换化简即得.
【详解】
.
故选：C.
4．A
【解析】利用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式，化简可得，根据所给范围，求得的范围，结合正弦型函数的图象与性质，即可求得答案.
【详解】
=，
因为，
所以，
因为在的最大值是1，
所以，解得，
所以m的最小值为.
故选：A
5．D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
6．C
【分析】先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.
【详解】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为的形式.
7．D
【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.
【详解】，因为，所以，因为，所以.
正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，
所以，所以的取值范围是.
故选：D
8．D
【分析】利用在区间上的最大值，结合的单调性求得的最小值.
【详解】
.
由于，即的值域为，
，
即在处取得最小值，
而的最小正周期为，其一半为，则，
所以在上递增，且在处取得最大值，
故的最小值为.
故选：D
9．BC
【分析】化简得出，即可根据正弦函数的性质分别判断.
【详解】，
则的最大值为，故A错误；
，则的图像关于直线对称，故B正确；
，则的图像关于点对称，故C正确；
当时，，则可得时，函数单调递增；当时，函数单调递减，故D错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】选项A. 由题意可得或，从而可判断；选项B. 若,则，由正弦定理可判断；选项C. 若为锐角三角形，则，即所以，由 正弦函数的单调性可判断；选项D. 在中,若，由正弦定理可得，从而可判断.
【详解】选项A. 在中, 若,则或
所以或，所以为等腰或直角三角形. 故A 不正确.
选项B. 在中, 若,则，
由正弦定理可得,即，故B正确.
选项C. 若为锐角三角形，则
所以，所以 ,故C正确.
选项D. 在中,若，由正弦定理可得，
即，所以，故D正确.
故选：BCD
11．BC
【解析】先根据，判断角的范围，再根据求；
根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求.
【详解】①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，
所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，
解得，
所以
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值，确定，且，进一步确定，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.
12．ACD
【解析】化简函数，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数
，
令，可得，所以，所以A正确，B不正确；
令，可得，
所以点为曲线的对称中心，所以C正确；
令，可得，所以为曲线的对称轴，所以D正确.
故选：ACD
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
13．##
【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.
【详解】、为锐角，
，
，
由于为锐角，
故答案为：
14．
【解析】由诱导公式可得，，
且，代入可得到答案.
【详解】因为，，
所以，，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用，转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
15．
【分析】由题意可得，令，则，，化简即得解.
【详解】由题意可得，
令，则，，
所以原式，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
16．
【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.
【详解】因为，
，
，
所以．
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数在区间，上的值域；
（Ⅱ）先求出，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得面积的最大值．
【详解】解：（Ⅰ）
，
由，有，所以
函数的值域为．
（Ⅱ）由，有，
为锐角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
当，即为正三角形时，的面积有最大值．
19．（Ⅰ）单调递增区间为，，最大值为，最小值为；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令可求单调递增区间，易得最大值和最小值；
（Ⅱ）题目等价于，与有且仅有2个不同的交点，根据函数单调性即可得出.
【详解】（Ⅰ）
，
令，，解得，，
故的单调递增区间为，，
易得的最大值为，最小值为；
（Ⅱ）函数在有且仅有两个零点，
函数，与有且仅有2个不同的交点，
由（1）可知当时，在单调递增，在单调递减，
又，所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，然后利用正弦函数的性质求解.