5.5三角恒等变换 课时训练五（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5 三角恒等变换课时训练五
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．已知则（ ）
A． B． C． D．
2．已知在区间上的最大值是，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，．若在区间内有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
7．已知函数.若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，，则（ ）
A．
B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为
D．为图象的一条对称轴
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递减
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是
B．是偶函数
C．在上递增
D．是图象的一条对称轴
12．下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．当时，函数取得最小值，则________．
14．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
15．函数的最大值为__________.
16．设当时，函数取得最大值，则______.
四、解答题
17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
18．已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
19．已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
20．已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
参考答案：
1．B
【解析】先根据已知求出，再化简代入得解.
【详解】由得，
故.
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法有：“三看三变”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三变”指的是变角、变名、变式.要根据已知条件，灵活选择方法求解.
2．D
【分析】利用在区间上的最大值，结合的单调性求得的最小值.
【详解】
.
由于，即的值域为，
，
即在处取得最小值，
而的最小正周期为，其一半为，则，
所以在上递增，且在处取得最大值，
故的最小值为.
故选：D
3．D
【分析】应用降幂、辅助角公式得，由正弦型函数的性质及在有零点可得，，即可求参数范围.
【详解】，
令，可得且，则，，
又，在有零点，则，，即，，
所以时；时；时；时；…
综上，.
故选：D
4．A
【分析】利用两角和的正弦公式、降幂公式，辅助角公式，化简可得，令，即可求得对称中心，对k赋值，即可求得答案.
【详解】函数
=
令，解得，即对称中心为.
令，可得一个对称中心为，
无论k取任何整数，，故BCD错误.
故选：A
5．A
【分析】根据已知及所求，先利用二倍角公式及三角函数的基本关系得到，然后利用角的拆分以及两角差的正弦公式即可得解.
【详解】解：由已知可得，
，，，.
故选：A.
6．D
【解析】利用三角函数恒等变换化简的解析式为，再判断周期和奇偶即可得到答案.
【详解】
.
周期，
，为偶函数.
故选：
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换和周期及奇偶，化简函数是解题的关键，属于中档题.
7．C
【分析】先对函数化简变形，然后由在上有解，可知，所以只要求出在上即可
【详解】
，
由，得，
所以，
所以，即，
由在上有解，可知，
所以，得，
氢实数m的取值范围是，
故选：C
8．B
【分析】通过降幂公式以及辅助角公式将化为，通过平移规律可得的解析式，再根据正弦函数的性质可得结果.
【详解】因为
将函数的图象向左平移个单位长度后得函数，
令，得，令，得，
所以图象的一个对称中心为，
故选：B.
9．AC
【分析】将 的解析式化为，然后逐一判断即可.
【详解】
所以，故A正确
令可得，满足的有，故B错误
的最小正周期为，故C正确
当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误
故选：AC
10．BCD
【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.
【详解】，故最小正周期为，A错误；
，点是一个对称中心，B正确；
向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；
，单调递减，D正确.
故选：BCD.
11．ABC
【分析】首先利用三角函数的恒等变换得到，再根据余弦函数的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】
.
对选项A，，故A正确.
对选项B，，，
所以是偶函数，故B正确.
对选项C，，，由余弦函数的单调性可知C正确.
对选项D，或，故D错误.
故选：ABC
【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性，奇偶性，周期性和对称性，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.
12．ABD
【分析】A逆用差角正弦公式求值；B诱导公式、倍角正弦公式化简求值；C和角正切公式化简求值；D倍角余弦公式化简.
【详解】A：，正确；
B：，正确；
C：，错误；
D：，正确.
故选：ABD
13．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】由函数，其中，且为锐角，
当时，函数取得最小值，所以，即，
所以，
令，即，
故
.
【点睛】本题主要考查了辅助角公式，以及两角差的余弦公式公式的化简、求值问题，其中解答中熟练使用辅助角公式，求得的值，以及准确使用两角差的余弦公式运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
14．（均可）
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
15．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【详解】解：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函数的最大值为：．
故答案为．
【点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．
16．；
【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
17．（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
18．（I）2；（II）的最小正周期是，.
【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，
＝﹣cos2xsin2x，
＝﹣2，
则f（）＝﹣2sin（）＝2，
（Ⅱ）因为．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得
，
解得，
所以，的单调递增区间是．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.
（1）
解：因为，，
又，所以，
所以.
（2）
解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
20．（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.