第六章 平面向量及其应用 复习与测试（含解析）

必修第二册 第六章 平面向量及其应用 复习与测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
3．已知正方形的边长为，则＝（ ）
A．2 B．6 C．4 D．
4．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．在中，内角所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝(　　)
A．5 B．10 C． D．5
8．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
9．如果平面向量，，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．，的夹角为180°
D．向量在方向上的投影为
10．已知，，且 的夹角为，如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．(多选)下列说法错误的有（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．相等向量的起点相同
C．若，则一定有直线ABCD
D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80°
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
14．在中，角A，，所对的边分别为，，，下列叙述正确的是( )
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰三角形
三、填空题
15．点，，，点的坐标为______．
16．已知向量，，则与的夹角为______.
17．在中，，且角所对的边满足，则实数x的取值范围是____．
18．已知O是内部一点，且满足，又，则的面积为______.
四、解答题
19．在平行四边形ABCD中，，，
（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（c﹣a）（c+a）+abcosC＝S.
（1）求角A的大小；
（2）若4cosB cosC＝1，且a＝2，求S的值.
21．已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，.
（1）若，求的值；
（2）当取得最大值时，求A的值.
参考答案：
1．B
【分析】先求出，然后用夹角公式求解.
【详解】由，得，
所以，所以，
又，所以.
故选：B.
2．C
【分析】根据数量积的定义即可求解.
【详解】设向量，的夹角为，则由图可得在方向上的投影为，
所以.
故选：C.
3．B
【分析】先求出，再利用向量的平行四边形法则得到，再利用向量的模求解即可.
【详解】由正方形的边长为，
可得正方形的对角线长，
利用向量的平行四边形法则可得：
，
则.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则以及求向量的模.属于容易题.
4．C
【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标.
【详解】由题设，.
故选：C.
5．C
【分析】结合向量运算以及平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识，确定正确答案.
【详解】由，可得四边形ABCD是平行四边形．
由，，
所以，所以四边形ABCD为菱形．
故选：C
6．D
【分析】利用正弦定理化边为角，求得角，再利用正弦定理求得角，即可得出答案.
【详解】解：因为，由正弦定理得，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴.
故选：D.
7．D
【详解】由正弦定理得 ，∴b＝·10＝5
故答案为D
8．D
【分析】由向量的运算可得，四边形为平行四边形；利用，说明四边形对角线互相垂直，然后得到结果．
【详解】解：由,得可知，四边形为平行四边形；
又由可知，四边形对角线互相垂直，
故四边形为菱形．
故选：D．
9．D
【分析】直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论．
【详解】解：因为，，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C正确；
对于D，在方向上的投影为：，，故D错误.
故选：D.
10．A
【分析】求得，根据可得，展开化简，可得答案.
【详解】由题意可得，
由 ，可得，
即，
即，即，
故选：A
11．ABCD
【分析】根据单调向量、相等向量的性质可判断A，B；根据共线向量的性质可判断C，D.
【详解】对于A，共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；
对于B，相等向量的起点和终点都可能不相同，故B错误；
对于C，直线AB与CD可能重合，故C错误；
对于D，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线．
故选：ABCD
12．BC
【分析】结合选项逐个求解，可进行判断.
【详解】对于A，因为，所以，只有一解；
对于B，因为，且，所以有两解；
对于C，因为，且，所以有两解；
对于D，因为，但，所以有一解；
故选：BC.
13．ABC
【分析】根据余弦定理，根据三角形的性质进行求解判断即可.
【详解】由，及，
得.若满足要求的△ABC有且只有1个，则或，
即或，解得或.
故选：ABC
14．AC
【分析】利用正弦定理变化角和三角恒等变换即可判断三角形的形状．
【详解】对于A，若，则根据正弦定理得：
，
∵sinA+sinB≠0，∴sinA=sinB，则a=b，即△ABC为等腰三角形，故A正确；
对于B，若，则根据正弦定理得：
，
∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0，2π)且2A+2B∈(0，2π)，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若，则根据正弦定理得：
，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴A=B，即△ABC为等腰三角形，故C正确；
对于D，若，则根据正弦定理得：
，
则由B选项可知，此时△ABC为等腰或直角三角形，故D错误．
故选：AC．
15．
【分析】设,由已知条件，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】由已知得，设,由已知得,
,
故答案为：(.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属基础题.关键掌握向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.
16．##
【分析】根据向量坐标分别计算数量积与模长，再结合夹角公式求解.
【详解】向量，，，，，
，
又
，
故答案为：.
17．
【分析】在直角三角形中,利用,将化成,再变成 后,根据三角函数的性质可得.
【详解】在中, ,所以,
所以由,可得,
又,所以,
因为 所以,所以,
所以
=,
因为,所以,
所以,
所以.
所以实数x的取值范围是.
【点睛】本题考查了正弦定理,两角和与差的正弦公式,利用正玄定理将已知条件中的边化成角,然后利用正弦函数的性质来解是解题一般思路,属中档题.
18．
【分析】由，可知O为的重心，则，再由平面向量数量积的运算结合三角形面积公式求解即可.
【详解】由及得
，
所以，
所以.
又，且O在内，
所以O为的重心，
所以.
故答案为：
19．（1），（2）.
【分析】（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；
（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】（1），
；
（2）.
20．（1）;（2）
【分析】（1）边化角即可；（2）通过角得关系求出，进一步即可获解
【详解】（1）
所以，即
，
（2）
△ABC为等边三角形
所以
21．（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理求出，再利用两角和差的正弦公式求，求得；
（2）将化简，并用正弦定理将用解的三角函数式表示，再分析其求最值时的值.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
∴，∵，∴，
∴.
（2）
当且仅当，即时取到最大值.
【点睛】本题考查了两角和差的正弦公式，正弦定理，平面向量数量积的定义，三角函数的最值，这是一道考查了多个基本知识的综合题，属于中档题.