5.5三角恒等变换 课时训练六（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5 三角恒等变换课时训练六
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．若，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
2．已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B． C．，0 D．
5．若，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，实数，满足，且的最小值为，由的图象向左平移个单位得到函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．锐角△中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的值域为
C．在上单调递减 D．的图象关于直线不对称
10．已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．若，，则
C．函数在区间上的最大值和最小值分别为1和
D．若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围为
12．已知，，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．计算：___________.
14．已知，是方程的两根，则_________.
15．已知函数，则它的单调递增区间是_________
16．___________.
四、解答题
17．已知，，求的值.
18．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的值域．
19．在中，．
（1）求；
（2）求边上的高．
参考答案：
1．D
【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求.
【详解】因为，，所以且，
解得，所以.
故选：D
2．A
【解析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解最值，注意等号成立的条件.
【详解】令，，，，
因为，所以，可得，
所以
所以，
当且仅当，，，
时取等号，
即当且仅当时，的最小值为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用三角换元，注意三角函数中的万能公式
，，换元后注意新元的取值范围.
3．A
【分析】先将两表达式结合诱导公式化简，再结合万能公式即可求解
【详解】，
故选：A
【点睛】本题考查诱导公式和万能公式的使用，属于基础题
4．D
【分析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得，再令，，可得，再根据二次函数的性质即可求出结果.
【详解】设，则，则
，
由，得，所以，
所以当，即时，；当，即时，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了二倍角公式、同角基本关系，以及换元法在求函数值域中的应用，属于中档题.
5．B
【分析】根据同角三角函数商数关系，半角公式化简得到，结合角的范围，求出，从而求出正切值.
【详解】因为，所以，
又因为，，
所以，即，
所以，
又因为，所以，．
故选：B．
6．C
【分析】利用半角公式，倍角公式，弦化切等进行化简求值.
【详解】
因为
所以分子分母同除以，可得：原式=
故选：C
7．A
【分析】由已知分析得到函数的最小正周期为，求出，通过平移得到，再求的值.
【详解】由题得，函数的最大值是2，最小值是-2.
因为，所以，
因为的最小值为，所以函数的最小正周期为，
所以.所以，
由的图象向左平移个单位得到函数
，
所以
.
故选：A
8．A
【分析】首先根据题意，结合余弦定理得到，利用正弦定理转化求得，根据角的范围，得到，根据三角形是锐角三角形，求得，结合条件，将式子化为，从而求得结果.
【详解】因为，所以，
由余弦定理得：，
所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，
即，
因为△是锐角三角形，所以，
所以，即，
所以，解得，
则，
因为，所以，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、余弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，正弦型函数在给定区间上的值域，属于中档题目.
9．ABD
【分析】利用偶函数的定义及正弦函数、余弦函数的奇偶性判定选项A正确；先利用绝对值的代数意义将的解析式化为分段函数，再利用两角和的正弦、余弦公式化简，进而利用三角函数的性质判定选项B正确；利用两角和的正弦公式、三角函数的单调性判定选项C错误；利用对称的性质判定选项D正确.
【详解】对于A：因为的定义域为R，
且，
所以函数是偶函数，
即选项A正确；
对于B：由题意，得，
即，
当时，，
则，即；
当时，，
则，即；
综上所述，的值域为，
即选项B正确；
对于C：当时，，
且，令，得，
令，得，
即在上单调递增，在上单调递减，
即选项C错误；
对于D： ，，
即的图象不关于直线对称，
即选项D正确.
故选：ABD.
10．CD
【分析】利用题中所给的角所属的象限，结合题中所给的三角函数值，利用平方关系求得角对应的正余弦值，将角进行配凑，利用余弦和角公式求得其结果.
【详解】因为为第一象限角，
所以，，
因为，所以，
所以是第二象限角，所以，
为第三象限角，
所以，，
因为，所以是第二象限角或第三象限角，
当是第二象限角时，，
此时
，
当是第三象限角时，，
此时
，
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角恒等变换的问题，正确解题的关键是在利用平方关系求角的正余弦值时，注意分析角终边的位置，注意符号的选取.
11．AB
【分析】先化简函数，对于A，求解正弦函数的单调递增区间即可；对于B，由可得，则即可求解；对于C，由，根据角取值范围即可求得最值；对于D，化为在上有唯一实根，设，画出函数的部分图像，根据图像求得结果．
【详解】．
对于A：令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，所以选项A正确；
对于B：因为，所以，
所以若，即，则，
则
，所以选项B正确；
对于C：，当时，，
所以，，所以选项C不正确；
对于D：在上有唯一零点
等价于
在上有唯一实根，由，得，令
设
依题意可知与的图像有唯一交点，
函数的图像如图，
由图可知实数应满足或，解得或，
故实数的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：AB．
【点睛】关键点点睛：对于D，转化为在上有唯一实根，设，画出函数的部分图像，根据图像求得结果．
12．AC
【分析】利用同角公式求出、，再用差角的余弦公式直接计算作答.
【详解】因，则，又，则，
，而，
与同号，即，则，
与异号，即，则，
所以的值可能为或.
故选：AC
13．##
【分析】先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故答案为：
14．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余弦、正弦和和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.
【详解】解：由已知得，，
.
故答案为：.
15．
【分析】先把函数化简变形成余弦型函数，利用余弦型函数的性质求出结果．
【详解】函数，
令，
整理得：，
所以函数的单调递增区间为：．
故答案为：．
16．##
【分析】利用诱导公式和和角的余弦公式求解.
【详解】解：原式=.
故答案为：
17．
【分析】把已知两方程平方相加化简即得解.
【详解】解：①，②，
①②得：，
即，
.
18．（1）；（2）．
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可化简，再利用正弦型函数的周期公式，即得解；
（2）由，可得，结合正弦函数的图象和性质，即得解
【详解】（1）由题意，
，
（2）∵
∴
∴
∴的值域为
19．（1）∠A=；（2）AC边上的高为．
【分析】（1）方法一：先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；
（2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求，即可解得边上的高．
【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理
在中,∵.由正弦定理得

［方法二］：余弦定理的应用
由余弦定理知．因为，代入上式可得或（舍）．所以，又，所以．
（2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义
在△ABC中，
∵=．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，
∴AC边上的高为．
［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义
如图1，由（1）得，则．
作，垂足为E，则，故边上的高为．
［方法三］:等面积法
由（1）得，易求．如图1，作，易得，即．所以根据等积法有，即，
所以边上的高为．
【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；
方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角；
（2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出；
方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出；
方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出．