5.5三角恒等变换 课时训练一-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

人教A版（2019）必修第一册第五章5.5 三角恒等变换课时训练一
学校:___________姓名：___________
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若角，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知角的终边过点，则（ ）
A． B．0 C． D．
4．的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．求值：（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．若，则
D．若，，则的值为
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的值域为
C．在上单调递减 D．的图象关于直线不对称
12．已知 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，，则__________．
14．函数的最大值为_________.
15．已知，则__________.
16．求值：______．
四、解答题
17．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
18．已知，且是第四象限角.
（1）求和的值；
（2）求的值；
19．已知，
（1）求的值；
（2）求函数的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
2．A
【分析】先求出，，再利用和差角公式求出
【详解】，均为锐角，，，
，，
．
故选：A．
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如等．
3．B
【分析】根据三角函数定义求出sinα和cosα，利用余弦的和角公式即可求.
【详解】由题可知，
∴.
故选：B.
4．B
【分析】直接利用两角和的余弦公式即可得出答案.
【详解】解：
.
故选：B.
5．D
【分析】利用两角差的正弦和余弦公式可求得的值，利用二倍角公式可得出，在所得代数式上除以，在所得分式的分子和分母中同时除以，代入的值计算即可得解.
【详解】，即，
整理得，，
因此，.
故选：D.
【点睛】易错点点睛：已知，求关于、的齐次式的值，应注意以下两点：
（1）一定是关于、的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；
（2）因为，所以可除以，这样可将被求式化为关于的表达式，然后代入的值，从而完成被求式的求值.
6．A
【分析】用诱导公式及两角和的余弦公式求解.
【详解】
故选：A.
7．B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
8．B
【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A= ，
由正弦定理可得，
∵a=2，c=，
∴sinC== ，
∵a＞c，
∴C=，
故选B．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
9．BD
【分析】逆用差角的正弦公式求出，再用诱导公式变形并借助和角的正弦公式计算即得.
【详解】依题意，原等式变为：，即，
显然是第三象限角或第四象限角，，即或，
于是得，当时，，
当时，，
所以的可能值为或.
故选：BD
10．BD
【分析】先求出，再对四个选项一一验证：
对于A：计算再计算，进行验证；
对于B：直接求出在的值域即可；
对于C：直接求出，进行验证；
对于D：先求出和再求即可.
【详解】∵对称中心与对称轴的最小距离为，∴，即.
而,∴.
又因为为对称轴，且∴，解得：.
所以
对于A：，而
，所以，故A错误；
对于B：当时，，所以，故B正确；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：当，时，
∴
又因为，∴，∴，
所以
，故D正确.
故选：BD.
【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题.
11．ABD
【分析】利用偶函数的定义及正弦函数、余弦函数的奇偶性判定选项A正确；先利用绝对值的代数意义将的解析式化为分段函数，再利用两角和的正弦、余弦公式化简，进而利用三角函数的性质判定选项B正确；利用两角和的正弦公式、三角函数的单调性判定选项C错误；利用对称的性质判定选项D正确.
【详解】对于A：因为的定义域为R，
且，
所以函数是偶函数，
即选项A正确；
对于B：由题意，得，
即，
当时，，
则，即；
当时，，
则，即；
综上所述，的值域为，
即选项B正确；
对于C：当时，，
且，令，得，
令，得，
即在上单调递增，在上单调递减，
即选项C错误；
对于D： ，，
即的图象不关于直线对称，
即选项D正确.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】A、B．利用两角和的正弦公式将条件展开，然后两边同除得到所满足的等式，结合基本不等式确定出和的取值范围；
C．根据两角和的正弦和余弦公式化简C选项，从而可计算出的值并进行判断；
D．根据两角和的正切公式以及的取值范围化简并计算出的取值范围.
【详解】由得，
同除得(*)，
所以，
即，∴，取等号时，故A，B正确；
，显然不成立，故C错误；
，
由知，，∴，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对条件等式的化简，通过等式两边同除得到所满足的关系，根据基本不等式求解，的取值范围，根据的公式结合的关系求解的取值范围.
13．
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得，．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得，则．
又或，所以．
［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式
由，可得，则或．
若，代入得，即．
若，代入得，与题设矛盾．
综上所述，．
［方法四］：平方关系＋诱导公式
由，得．
又，，即，则．从而．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则或．
若，则，即．
当k为偶数时，，由，得，又，所以．
当k为奇数时，，得，这与已知矛盾．
若，则．则，得，这与已知矛盾．
综上所述，．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；
方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
14．1
【详解】由题意知：=
==
==，即，因为，所以的最大值为1.
考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.
15．
【解析】根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.
【详解】由可得，
则，因此，
从而有，
即.
故答案为：.
16．
【解析】利用诱导公式及两角差的正弦公式化简计算即可.
【详解】,
故答案为：.
17．（1）；（2）
【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
18．（1），；（2）.
【解析】（1）根据象限和公式求出的正弦，再用倍角公式计算即可
（2）求出角正切值，再展开，代入计算即可.
【详解】解：（1），由得，
，
又是第四象限角，
，
，
，
.
（2）由（1）可知，
，
.
19．(1)1;（2）的最大值为.
【详解】（1）由
得，
于是=.
（2）因为
所以
的最大值为.