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2022—2023学年度下学期八年级数学教学案 第2 周 第1节
课题 16.3 第2课时 二次根式的混合运算
教学目标 知识与技能： 掌握二次根式的混合运算的运算法则, 会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 掌握二次根式的混合运算的运算法则
难点 会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算
教具 多媒体、教学案
教与学的过程教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
复习引入问题1 :单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么 问题2 :多项式与单项式的除法法则是什么 二次根式的混合运算及应用二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例1 计算：【变式题】计算：例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？练一练计算：利用乘法公式进行二次根式的运算问题1 :整式乘法运算中的乘法公式有哪些 问题2 :整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗 例3 计算：归纳:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.【变式题】计算：练一练计算：求代数式的值例3 已知 试求x2+2xy+y2的值. 【变式题】 已知 ，求x3y+xy3.归纳: 用整体代入法求代数式值的方法：一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成含x+y,xy,x-y, 等式子，再代入求值.拓展探究例4:计算: 归纳: 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.【变式题】 已知 求 .归纳: 解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.练一练已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值. 当堂练习 1.下列计算中正确的是（ ）2.计算：3.设 则a b (填“>”“ < ”或 “= ”）. 4.计算：5.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.6.(1) 已知 ，求 的值；(2)已知 ， 求 的值.能力提升：7.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：方法二：(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：
课后小结
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16.3 二次根式的混合计算
人教版八年级下册
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么
m(a+b+c)=ma+mb+mc；
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
复习引入
(ma+mb+mc)÷m=a+b+c
分配律
单×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
二次根式的混合运算及应用
一
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
例1 计算：
解：
二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
归纳
解：
此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
解：(1)原式
(2)原式
【变式题】计算：
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
归纳
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
典例精析
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为
计算：
练一练
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
利用乘法公式进行二次根式的运算
二
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗
整式的乘法公式就是多项式×多项式
前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟
例3 计算：
解：
典例精析
进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
归纳
【变式题】计算：
计算：
练一练
求代数式的值
三
例3 已知
试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 代入上式得
原式=
【变式题】 已知 ，求x3y+xy3.
解:∵ ，
∴
∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
用整体代入法求代数式值的方法：一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成含x+y,xy,x-y, 等式子，再代入求值.
归纳
在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:
拓展探究
思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？
例4 计算:
解:
分母形如 的式子，分子、分母同乘以
的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
归纳
【变式题】 已知 ,
求 .
解:∵
解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.
归纳
已知 的整数部分是a,小数部分是b,
求a2-b2的值.
解：
练一练
当堂练习
1.下列计算中正确的是（ ）
B
2.计算：
5
3.设 则a b
(填“>”“ < ”或 “= ”）.
=
4.计算：
解：
解：原式
5.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.
解：由题意得
即剩余部分的面积是
6.(1) 已知 ，求 的值；
解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)
解：
(2)已知 ，
求 的值.
7.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
能力提升：
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
解：(1)
课堂小结
二次根式混合运算
乘法公式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
谢谢
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