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2022—2023学年度下学期八年级数学教学案 第2 周 第4节
课题 17.1 第3课时 利用勾股定理作图或计算
教学目标 知识与技能：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题
难点 灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题
教具 多媒体、教学案
教与学的过程教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
复习引入勾股定理与数轴问题1 :你能在数轴上表示出 的点吗？ 呢？用同样的方法作 呢？问题2:长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？思考:根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？步骤：1.在数轴上找到点A,使OA=3;2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点.类比迁移:“数学海螺” 例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.练一练1.如图，点A表示的实数是（ ）2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）3.你能在数轴上画出表示 的点吗？勾股定理与网格画一画:在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB．例2 :在如图所示的5×5的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．例3:如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？例4:如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.归纳: 此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的边长分别为勾股定理与图形的计算例5:如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. 【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.归纳总结折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.例6 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．当堂练习 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ） A.5 B.6 C.7 D.25 小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后过点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．5.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.能力提升：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）求△ABC的面积；（2）若△ABC三边的长分别为(a＞0)， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
课后小结
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17.1利用勾股定理作图或计算
人教版八年级下册
欣赏下面海螺的图片：
情景引入
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，
如第七届国际数学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的呢？
问题1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？
3
-2.5
问题2 求下列三角形的各边长.
1
2
1
2
3
？
？
？
1
复习引入
-1 0 1 2 3
问题1 你能在数轴上表示出 的点吗？
呢？
用同样的方法作 呢？
勾股定理与数轴
一
提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
√
√
问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
0
1
2
3
4
步骤：
l
A
B
C
1.在数轴上找到点A,使OA=3;
2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点.
O
也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.
“数学海螺”
类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.
1
1
类比迁移
例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为 ，
即－1到A的距离是 ，
∴点A所表示的数为 .
易错点：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
典例精析
1.如图，点A表示的实数是（ ）
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
C
D
练一练
0
1
2
3
4
l
A
B
C
3.你能在数轴上画出表示 的点吗？
勾股定理与网格
二
画一画 在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB．
B
B
B
例2 在如图所示的5×5的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC的周长为
勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
归纳
例3 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？
解：如图所示，有8条.
一个点一个点的找，不要漏解.
例4 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
D
此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
归纳
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的边长分别为
A
B
C
练一练
解：如图所示.
例5 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
D
A
B
C
E
F
解：在Rt△ABF中,由勾股定理得 BF2=AF2－AB2=102－82=36，
∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理
得 x2+ 42=(8－x)2，
解得 x=3.
即EC的长为3cm.
勾股定理与图形的计算
三
要用到方程思想
【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.
解：连接BM，MB′.设AM＝x，
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
∵MB＝MB′，
∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.
即AM＝2.
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知数或含x的代数式表示出其他线段长；
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
归纳总结
例6 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．
解：如图，延长AD、BC交于E．
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠E=90°－60°=30°，
在Rt△ABE和Rt△CDE中，
∵AB=2，CD=1，
∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，
由勾股定理得
E
D
C
B
A
补形法求面积
当堂练习
1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.25
A
2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
B
3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上
的高为_______.
解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∵∠ADC=150°,
∴∠CDB=150°－60°=90°，
∴△BCD是直角三角形.
又∵四边形的周长为32cm，
∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).
设CD=x，则BC=16-x，
由勾股定理得82+x2=(16-x)2
解得x=6cm.∴S△BCD= ×6×8=24(cm)2.
4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.
解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8-x，
在Rt△AFD′中，(8-x)2=x2+42，
解得x=3.
∴AF=AB-FB=8-3=5，
∴S△AFC= AF BC=10．
6.问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）求△ABC的面积；
图
能力提升：
（2）若△ABC三边的长分别为(a＞0)，
请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
解：如图,
思维拓展：
∴△ABC即为所求，
图②
课堂小结
利用勾股定理
作图或计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算
通常与网格求线段长或面积结合起来
通常用到方程思想
谢谢
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