数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2导数与极值 课件（共15张ppt）

(共15张PPT)
5.3.2导数的极值
1.探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值.（重点）
2.利用导数信息判断函数极值的情况.（难点）
学习目标
复习回顾
01
1.导数判断函数单调性
2.已知函数单调性与导数
检验取等
是否成立
知识生成
02
a
t
h
o
最高点
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
将最高点附近放大
tt>a
当t=a时，运动员距水面高度最大，
h(t)在此点的导数是多少呢？
单调递增
h′(t)>0
单调递减
h′(t)<0
单调递增
h′(t)>0
单调递减
h′(t)<0
h′(a)＝0
2.跳水运动员在最高处附近的情况：
t=a
tt>a
a
t
h
o
最高点
导数的符号有什么变化规律？
在t=a附近，h(t)先增后减，h ′(t)先正后负，h ′(t)连续变化，于是h(a)最大时，有h ′(a)=0．
对于一般函数是否也有同样的性质呢？
建构概念
03
函数的极值与导数
函数极值的定义：
如果对 附近的所有的点,都有 则 是函数 的一个极小值, 称为极小值点
一般地，设函数 在点 及附近有定义，
如果对 附近的所有的点,都有 则 是函数 的
一个极大值, 称为极大值点
认真观察右图：
① c是极值点吗？
②图中有哪些极值点和极值？
③极大值一定比极小值大吗？
④极大值一定是函数的最大值吗？
1
1.5
2
2.3
3
3.5
结论：
①极值点可以有多个，极大值与极小值之间没有必然的大小关系；
②极值描述的是函数在一个适当区间内的局部性质，不是整体性质，即极值不一定是最值.
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系
o
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f (x)
f(x)
o
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f (x)
f(x)
增
f (x) >0
f (x) =0
f (x) <0
极大值
减
f (x) <0
f (x) =0
增
减
极小值
f (x) >0
请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
左正右负为极大，右正左负为极小
例1下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？若是，请说明理由;若不是，你能举一反例吗？
典例研习
04
例2 求函数f(x)=x3-12x+12的极值.
解： =3x2-12=3(x-2)(x+2)
令 =0
得x=2,或x=-2
下面分两种情况讨论：
当 >0即x>2,或x<-2时;
当 <0即-2x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
+ 0 - 0 +
f(x) 单调递增↗ 28 单调递减↘ -4 单调递增↗
当x变化时， , f(x)的变化情况如下表；
因此，
当x=-2时，f(x)有极大值，
并且极大值为f(-2)=28
当x=2时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(2)=-4
解得
即
归纳小结
一般地,求函数的极值的方法是:
解方程 =0.当 =0时.
①如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极小值.
即“峰顶”
即“谷底”