数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的几何意义 课件（共23张ppt）

(共23张PPT)
5.1.2 导数的几何意义
1．了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义．
2．了解导函数的概念，会求导函数．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、难点)
平均变化率
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为
平均变化率的几何意义
设函数 的图象如图，点 ，点 则 在 上的平均变化率为
结合直线斜率的定义可知：函数在点P0到点P1之间的平均变化率即为割线P0P1的斜率.
导数的几何意义
我们知道，导数 表示函数 在 处的瞬时变化率，反映了函数 在 附近的变化情况. 那么，导数 的几何意义是什么呢？
观察下图，当点 P 沿着曲线 趋近于点 P0 时，割
线 P0 P 的变化趋势是什么？
我们发现，当点 P 沿着曲线无限接近点 P 时，即Δx→0时，割线 P0 P趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为点 P0处的切线.
容易知道，割线 P0 P 的斜率是
当点 P 无限趋近于点 P0 时，k 无限趋近于切线 P0T 的斜率. 因此，函数
在 处的导数就是切线 P0T 的斜率k，即
1.函数 在 处的导数的几何意义，就是曲线 在点
处的切线的斜率．也即，曲线 在点 处
的切线的斜率是 ．
2.曲线 在点 处的切线方程是:
例1．函数 在 处的导数 的几何意义是( )
A．在点 x0 处的斜率
B．在点 处切线与 x 轴所夹锐角的正切值
C．曲线 在点 处切线的斜率
D．点 与点(0，0)连线的斜率
C
导数的几何意义
1.下列命题正确的是( )
A.若 ，则函数 在 处无切线
B.函数 的切线与函数的图象可以有两个公共点
C.函数 在 处的导数
D.曲线 在 处的切线方程为 ，则
B
求曲线的切线
例2．(1)已知曲线 ，求曲线在 处的切线方程；
(2)已知曲线 ，求曲线在 处的切线方程.
解：(1)因为
所以切线方程为
化简得
(2)因为
所以切线方程为
化简得
2．(1)已知曲线 ，求曲线在点 处的切线方程；
(2)已知曲线 ，求曲线过点 的切线方程.
解：(1)因为
所以切线方程为
化简得
解：(2)设切点坐标为 ，因为切点在曲线 上，则 ，
又因为过点 的切线斜率为
因为切线过 和 两点，所以
即 ，解得 或
①当 时，切点为 ，切线为 ；
②当 时，切点为 ，切线为 .
求曲线上的点 P 处的切线与求过点 P 的切线有区别：
(1)在点 P 处的切线，点 P 必为切点；
(2)求过点 P 的切线，点 P 未必是切点，
应注意概念不同，其求法也有所不同．
导函数的定义
从求函数 在 处导数的过程可以看到，当 时， 是一个确定的数．这样，当 x 变化时， 就是 x 的一个函数，我们称它为 的导函数(简称导数)． 的导函数有时也记作y'，即
函数在某点处的导数与导函数的区别：
(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数；
(2)函数 在 x0 处的导数就是导函数 在 处的函数值．
例3．(1)求函数 的导函数；
(2)求函数 的导函数.
解：(1)
(2)
1．已知曲线 上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16 C．8 D．2
C
解：曲线在点A 处切线的斜率就是函数 在 处的导数，
因为
故选C.
2．曲线 在点(-2，-1)处的切线方程为____________.
解：因为
所以切线方程为
化简得
3．设曲线 在点(1，a)处的切线与直线 平行，则 a 等于( )
A.1 B. C. D.
A
解：因为
又切线的斜率为 2，
所以 ，故 .
4.在曲线 上过哪一点的切线．
(1)垂直于直线 ；
(2)与 x 轴成135°的倾斜角．
　
求切点坐标可以按以下步骤进行：
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
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