(共30张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
人教版八年级下册
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
情景引入
思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗
大禹治水
相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
勾股定理的逆定理
一
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌ △ A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长
a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
归纳总结
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15，b=8，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2) a=13，b=14，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
归纳
【变式题2】(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c= ，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
(2) 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) =0.
∴ a=3, b=4, c=5，
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，
并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
练一练
1.下列线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
3.若△ABC的三边a、b、c满足
(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
等腰三角形或直角三角形
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角
三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，
称为勾股数.
勾股数
二
概念学习
常见勾股数：
3，4，5； 6，8，10；
5，12，13； 10，24，26
7，24，25；
8，15，17；
9，40，41；等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
练一练
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题，分别为：
互逆命题与互逆定理
三
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1 两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2 两个命题的条件和结论有何联系？
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
归纳总结
说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
对应角相等的三角形全等 .
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立
不成立
不成立
成立
练一练
当堂练习
1.下列各组数是勾股数的是( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
B
A
3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC的形状是 ________________．
等腰直角三角形
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;
12
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为____________________________________．
有两个角相等的三角形是等腰三角形
6.已知△ABC，AB=n -1，BC=2n
AC=n +1(n为大于1的正整数).试问△ABC是
直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角
是直角？请说明理由.
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10， AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.
∴ △ ABC是直角三角形且∠B是直角.
∴ △ ADC是直角三角形且∠ D是直角，
∴ ∴S 四边形 ABCD=
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
谢谢
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2022—2023学年度下学期八年级数学教学案 第2 周 第5节
课题 17.2 第1课时 勾股定理的逆定理
教学目标 知识与技能：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.过程与方法： 情感态度与价值观：
重点
难点
教具 多媒体、教学案
教与学的过程教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
情景引入同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗 打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.勾股定理的逆定理下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题:分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？5,12,13满足52+122=132,7,24,25满足72+242=252, a2+b2=c2 8,15,17满足82+152=172.问题3:古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？问题4:据此你有什么猜想呢 证一证: 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形．归纳总结勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.该定理的主要作用是创设垂直关系。例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1) a=15，b=8，c=17; (2) a=13，b=14，c=15. 归纳：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方即可.【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状. 归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.【变式题2】(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c= ，试说明△ABC是直角三角形. (2) 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.例2：如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，且CE＝ CB E为BC上一点，试判断AF与EF的位置关系， 并说明理由．练一练1.下列线段中，能构成直角三角形的是（ ）A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（ ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足 (a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是____________勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数.3，4，5；（6，8，10）； 5，12，13； （10，24，26）；7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.练一练下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132互逆命题与互逆定理 前面我们学习了两个命题，分别为：命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.问题1 ：两个命题的条件和结论分别是什么？问题2 ：两个命题的条件和结论有何联系？归纳总结题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.练一练：说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 当堂练习 1.下列各组数是勾股数的是( )A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形； ②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°； ③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC的形状是 _____．5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm; (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为____________________________________．6.已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.
课后小结
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