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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第1 周 第1节
课题 26.1.1 反比例函数
教学目标 知识与技能： 理解并掌握反比例函数的概念，从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能确定反比例函数的解析式。过程与方法： 情感态度与价值观：
重点 理解并掌握反比例函数的概念
难点 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能确定反比例函数的解析式
教具 多媒体、教学案
教与学的过程教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定时，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗，相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗 当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？反比例函数的概念 合作探究下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化；(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化.问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？都具有 的形式，其中 是常数．一般地，形如 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 思考：反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？想一想：反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？练一练下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 例1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值.方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.练一练1. 当m= 时， 是反比例函数.2. 已知函数 是反比例函数，则k 必须满足 .确定反比例函数的解析式例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当x=2时，y=6.写出 y 关于 x 的函数解析式；(2) 当 x=4 时，求 y 的值.方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式.练一练已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值．建立简单的反比例函数模型例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.例4 如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.当堂练习 1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是( )A. B. C. D.2. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x 和 y 成反比例函数关系的有( ) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 yA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 填空(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 .(2) 若 是反比例函数，则m的取值范围是 .(3) 若 是反比例函数，则m的取值范围是 . 4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4.(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；(2) 当 y=6 时，求 x 的值.5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )．(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？ 能力提升： 6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例， y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：(1) y 关于 x 的关系式；(2) 当 x = 时，y 的值.
课后小结
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26.1.1反比例函数
人教版九年级下册
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
学习目标
生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定时，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗，相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗
当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？
反比例函数的概念
一
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
合作探究
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化.
观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
问题：
都具有 的形式，其中 是常数．
分式
分子
(k为常数，k ≠ 0) 的函数，
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
一般地，形如
反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
思考：
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一
个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？
想一想：
反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0)
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
练一练
是，
解：因为 是反比例函数，
例1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值.
典例精析
解得 m =－2.
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
所以
2m2 + 3m－3=－1，
2m2 + m－1≠0.
2. 已知函数 是反比例
函数，则k 必须满足 .
1. 当m= 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠－1
±1
练一练
确定反比例函数的解析式
二
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当x=2时，y=6.(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以
设 .把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出
常数 k 的值.
解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有
解得 k =12.
因此
(2) 当 x=4 时，求 y 的值.
解：把 x=4 代入 ，得
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式.
已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
练一练
(2) 当 x = 7 时，
所以有 ，解得 k =16，因此 .
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ，
建立简单的反比例函数模型
三
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，
解得 k =4000.
因此
所以
例4 如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
B
C
D
解:因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半，
所以
所以变量 y与 x 之间的关系式为 ，
它是反比例函数.
A. B.
C. D.
1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是( )
A
当堂练习
2. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x 和 y 成反比例函数关系的有( )
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 y
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
3. 填空
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 .
(2) 若 是反比例函数，则m的取值范围是 .
(3) 若 是反比例函数，则m的取值范围是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ －2
m = －1
4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解：(1) 设 . 因为当 x = 3时，y =－4，
解得 k =－12.
因此，y 关于 x 的函数解析式为
所以有
(2) 把 y=6 代入 ，得
解得 x =－2.
5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )．
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
解： (t>0)．
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？
125－40＝85 ( m/min )．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
解：当 t＝25 时， ；
当 t＝8 时， .
能力提升：
6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，
y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：
(1) y 关于 x 的关系式；
解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)，
则 .
∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，
－3=－k1+k2 ，
∴k1=1，k2=－2.
∴
∴
(2) 当 x = 时，y 的值.
解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y =
课堂小结
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数：定义/三种表达方式
反比例函数
谢谢
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