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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第1 周 第2节
课题 26.1.2 第1课时 反比例函数的图象和性质
教学目标 知识与技能：会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质 。能够初步应用反比例函数的图象和性质解题。过程与方法： 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程。情感态度与价值观：
重点 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质
难点 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题
教具 多媒体、教学案
教与学的过程教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
7 月 30 日，2017 游泳世锦赛在匈牙利布达佩斯的多瑙河体育中心落下帷幕. 在 8 天的争夺中，中国代表团不断创造佳绩，以 12 金 12 银 6 铜的成绩排名奖牌榜第二. 孙杨在此次世锦赛中收获了个人世锦赛首枚200 米自由泳金牌.回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200米自由泳比赛中，孙杨游泳所用的时间 t(s) 和游泳速度 v(m/s) 之间的数量关系吗？试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？ 反比例函数的图象和性质合作探究例1 画反比例函数 与 的图象.提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. （展示课件）解：列表如下：归纳：反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 1.由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与 x 轴、y 轴都不相交；2.在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.练一练1. 反比例函数 的图象大致是( ) 例2 反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞x2，则 y1与y2的大小关系为 ( )A. y1 > y2 ； B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 提示：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系. 观察与思考当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？ 归纳：反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： 1.由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交； 2.在每个象限内，y随x的增大而增大.一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性练一练点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2(填“>”“<”或“=”).例3 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.练一练已知反比例函数 ,在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( )A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2. 在同一直角坐标系中， 函数 y = 2x 与 的图象大致是( )3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；(3) 双曲线位于二、四象限.其中正确的是 (填序号). 5. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，图象上有两点 A (x1，y1)， B (x2，y2)， 且 x1 > x2 > 0，则y1－y2 0. 6. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值.能力提升： 7. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
课后小结
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26.1.2反比例函数的图象和性质
人教版九年级下册
学习目标
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的
图象特征和性质的过程 (重点、难点)
2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质. (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、
难点)
7 月 30 日，2017 游泳世锦赛在匈牙利布达佩斯的多瑙河体育中心落下帷幕. 在 8 天的争夺中，中国代表团不断创造佳绩，以 12 金 12 银 6 铜的成绩排名奖牌榜第二. 孙杨在此次世锦赛中收获了个人世锦赛首枚200 米自由泳金牌.
回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200米自由泳比赛中，孙杨游泳所用的时间 t(s) 和游泳速度 v(m/s) 之间的数量关系吗？
试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？
反比例函数的图象和性质
例1 画反比例函数 与 的图象.
合作探究
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
…
…
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
－12
12
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线顺次连接各点， 即可得
的图象．
x 增大
O
－2
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
观察这两个函
数图象，回答问题：
思考：
(1) 每个函数图象分
别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，
随着x的增大，y 如何
变化？你能由它们的
解析式说明理由吗？
y
减
小
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
O
x
y
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
归纳：
1. 反比例函数 的图象大致是( )
C
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
练一练
例2 反比例函数 的图象上有两点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞x2，则 y1与y2的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.
y
x
O
观察与思考
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数
的图象，有哪些共同特征？
y
x
O
y
x
O
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).
<
练一练
例3 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得 a=－3.
练一练
已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．解得 m=3.
当堂练习
1. 反比例函数 的图象在 ( )
第一、二象限
第一、三象限
第二、三象限
第二、四象限
B
2. 在同一直角坐标系中，
函数 y = 2x 与 的图象大致是( )
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
A.
B.
C.
D.
B
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三 象限内，则m的取值范围是________.
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
m ＞ 2
5. 已知反比例函数 的图象过点
(－2，－3)，图象上有两点 A (x1，y1)，
B (x2，y2)， 且 x1 > x2 > 0，则y1－y2 0.
＜
6. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第一、第三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，
解得 m=2.
能力提升：
7. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而
减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
反比例函数 (k≠0)
k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大
课堂小结
谢谢
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