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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第1 周 第3节
课题 26.1.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的的综合运用
教学目标 知识与技能：理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。过程与方法：情感态度与价值观：
重点 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，灵活运用于坐标系中图形的面积计算
难点 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
用待定系数法求反比例函数的解析式已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．(1) 求这个函数的表达式；(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 反比例函数解析式中 k 的几何意义合作探究1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格： 2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：由前面的探究过程，可以猜想：若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是：S矩形 AOBP=|k|归纳：对于反比例函数 ，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k| . 推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是：S△QAO=S△QBO= .做一做如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则( )A. SA >SB>SC B. SA0) 图像上 的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2， 则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.练一练如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1，△BOD的面积S2、 △POE 的面积S3 的大小关系为 .例5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图 象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数(x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则S平行四边形ABCD =___.方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.练一练如图，函数 y＝－x 与函数 的图象 相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8反比例函数与一次函数的综合合作探究在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？例6 函数 y=kx－k 与 的图象大致是( )练一练在同一直角坐标系中，函数 与y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是( )例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.练一练如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1＞y2时，x 的取值范围是 。练一练反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ． 例9 已知 A(－4， )，B(－1，2)是反比例函数 图象与一次函数 y= kx+b与的两个交点，求一次函数解析式及 m 的值. 当堂练习 1. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，△ABP 的面积为 2，则 k 的值为( ) A.4 B. 2 C. －2 D.不确定2. 反比例函数 的图象与一次函数y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析式是_______．3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞ 的解集是___________．4. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点A(1，2)，B(m，-4)两点， (1) 求直线与双曲线的解析式；(2) 求不等式 ax + b＞ 的解集. 5. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标；(2) 求△AOB的面积.
课后小结
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26.1.2反比例函数的图象和性质的综合运用
人教版九年级下册
学习目标
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活
运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重
点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想
方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运
用能力. (重点、难点)
已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
用待定系数法求反比例函数的解析式
一
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例
函数的解析式 ，因为点 B 的
坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：函数的解析式
∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
反比例函数解析式中 k 的几何意义
三
1.在反比例函数 的图象上分别取
点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积
分别为S1，S2的矩形，
填写下页表格：
合作探究
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系
P (－1，4)
Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是
S矩形 AOBP=|k|.
点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
对于反比例函数 ，
|k|
归纳：
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别
为SA ，SB，SC，则( )
y
x
O
A
B
C
C
做一做
例3 如图所示，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数
的图象上，∴ xA·yA＝k，
∴ S△AOC＝ ·k＝2，
∴ k＝4，
∴反比例函数的表达式为
如图，过反比例函数 图象上的一点 P，
作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，
则 k = .
－12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.
y
x
O
P
A
练一练
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
例4 如图，P，C是函数 (x>0) 图像上
的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，
则 S1 与 S2 的大小关系
是 S1 S2；△POE 的
面积 S3 和 S2 的大小关
系是S2 S3.
2
＞
＝
如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、
△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
练一练
F
S1
S2
S3
y
D
B
A
C
x
例5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图
象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数
(x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则
S平行四边形ABCD =___.
3
2
5
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
如图，函数 y＝－x 与函数 的图象
相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
练一练
4
4
反比例函数与一次函数的综合
二
在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
合作探究
①
x
y
O
x
y
O
②
k2 <0
b <0
k1 <0
k2 <0
b >0
③
x
y
O
k1 >0
④
x
y
O
例6 函数 y=kx－k 与 的图象大致是( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
x
提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
在同一直角坐标系中，函数 与
y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
练一练
例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为
.
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.
练一练
如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，
当y1＞y2时，
x 的取值范围是
．
－1
2
y
x
0
A
B
－1< x <0 或 x >2
例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.
解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为
y=k1x 和 .
所以 ， .
解得 ， .
P
则这两个函数的解析式分别为 和
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
想一想：
反比例函数 的图象与正比例函数
y = 3x 的图象的交点坐标为 ．
(2，6)，(－2，－6)
解析：联立两个函数解析式，解方程即可.
练一练
当堂练习
4
B. 2
C. －2
D.不确定
1. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，△ABP 的面积为 2，则 k 的值为( )
O
B
A
P
x
y
A
2. 反比例函数 的图象与一次函数
y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则
反比例函数的解析式是_______．
3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞ 的解集是___________．
1＜x＜5
O
B
A
x
y
1
5
x
y
O
B
A
4. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点A(1，2)，B(m，-4)两点，
(1) 求直线与双曲线的解析式；
所以一次函数的解析式为 y = 4x－2.
把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a =4，b =－2.
解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中，
得 k = 2，故其解析式为 .
当y =－4时，m= .
(2) 求不等式 ax + b＞ 的解集.
x
y
O
B
A
解：根据图象可知，若 ax + b＞ ，
则 x＞1或 ＜x＜0.
5. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
(2) 求△AOB的面积.
解：
y=－x + 2 ，
解得
x = 4，
y =－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x = －2，
y = 4.
O
A
y
B
x
M
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂小结
面积问题
面积不变性
与一次函数的综合
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
反比例函数图象和性质的综合运用
谢谢
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