17.1勾股定理 课件
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课件49张PPT。第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理(一）? 星期日老师带领初二全体学生去白佛山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:白佛山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米, ,请问缆车路线AB长应为多少？问题情境（一）、课前准备（2分钟）1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）1）两锐角之间的关系： ；2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系：
看一看 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么？你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，其他的直角三角形中也有这个性质吗？一般的直角三角形三边关系（二）总结规律，大胆才猜想（5分钟）acbSA+SB=SC如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c.猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股弦∵ ∠C＝90°
∴ a2 + b2 = c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.
图1-1图1-2（三）勾股定理的证明 ∵ ab×4+(b-a)2=c2 ∴a2+b2 =c22ab+（b2-2ab+a2）=c2【证法1】（赵爽证明）S=1/2ab×4+ c2=1/2ab ×4+ a2+b2
a2+b2 =c2【证法2】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2 【 证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 美国总统证法：∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b)
=1/2ab×2+1/2 c2∴a2+b2 =c2分析：已知△ABC中，，
????????????????????????????????????????AC=900米，BC=1200米，
????? ??? 求斜边AB的长.?例：星期日老师带领初二全体学生去白佛山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:白佛山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米,,请问缆车路线AB长应为多少?
? ??????????????????? ?????????????????????????????????????????三、应用定理 巩固新知
四、随堂练习1、如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
(2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系： ；
(3)三边之间的关系： 五.课堂检测
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
4、.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32本节课你学到了什么?感悟与反思勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2（三）随堂练习
1、在Rt△ABC中， ，
1）如果a=3，b=4，则c=________；
2）如果a=6，b=8，则c=________；
3）如果a=5，b=12，则c=________；
4) 如果a=15，b=20，则c=________.5101325 2、下列说法正确的是（ ）
A.若a、b、c是△ABC的三边，则:
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边， ， 则
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则D3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4、如图,三个正方形中,S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。C169在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c
?（1）?????? 已知a=1，b=2，求c
?（2）?????? 已知a=10，c=15，求b小试牛刀例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上，
BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端
B的距离.CAB做一做： P62540026xP的面积 =______________X=_________225BACAB=__________AC=__________BC=__________251520求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做X=15Y=5Z=7比一比看谁算得又快又准！求下列直角三角形中未知边的长x:可用勾股定理建立方程.勾股定理运用二:8x171620x125x做一做X=15X=12X=13
1、直角?ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____
2、直角?ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b= ( ).
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4，求b和c.
13b=8 c=1024比一比课堂反馈１、本节课我们经历了怎样的过程？ 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探
索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程. ２、本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还
知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、
验证数学结论的数形结合思想.３、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学
的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化
辉煌历史的教育.小结 分层测试:A组:
1、在 中， ，
AB=7, AC=3,求BC的长.
B组:
2、如图，在矩形ABCD中，
DE⊥AC于E，设AE=8，
且AD=10, EC = 4, 求DE
和AB的长作业必做题：课本28页第1、2题. 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、 交流.
祝同学们学习进步！勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．结论变形c2 = a2 + b2（1）求出下列直角三角形中未知的边．练 习回答：①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．1 m2 m在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？AB＜BC＜AC（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？1 m2 m∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通过．∴ 只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？（3）小明有一根70cm长的木棒，现有一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm的木箱，这个木箱能够容下小明的这根木棒吗？请你说明理由（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出A、B两点间的距离吗？ （结果保留整数）（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB． （3）如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为 ． （3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？在直角三角形中，若两条直角边长为n2?1和2n，
（1）求斜边长。
（2）象n2?1、2n、n2+1（n≥2，且n为正整数）这样的数我们称之为勾股数。你能举出一组勾股数吗？ 已知：如图，△ABC中，AC = 4，∠B = 45o，∠A = 60o，根据题设可知什么？练习：已知：如图，∠B =∠D = 90o，∠A = 60o，AB = 4，CD = 2．求：四边形ABCD的面积． 从知识、方法及数学思想三个方面谈谈这节课你有什么收获？ 1 ．一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．2．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
17.1 勾股定理(一）? 星期日老师带领初二全体学生去白佛山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:白佛山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米, ,请问缆车路线AB长应为多少？问题情境（一）、课前准备（2分钟）1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）1）两锐角之间的关系： ；2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系：
看一看 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么？你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，其他的直角三角形中也有这个性质吗？一般的直角三角形三边关系（二）总结规律，大胆才猜想（5分钟）acbSA+SB=SC如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c.猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股弦∵ ∠C＝90°
∴ a2 + b2 = c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.
图1-1图1-2（三）勾股定理的证明 ∵ ab×4+(b-a)2=c2 ∴a2+b2 =c22ab+（b2-2ab+a2）=c2【证法1】（赵爽证明）S=1/2ab×4+ c2=1/2ab ×4+ a2+b2
a2+b2 =c2【证法2】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2 【 证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 美国总统证法：∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b)
=1/2ab×2+1/2 c2∴a2+b2 =c2分析：已知△ABC中，，
????????????????????????????????????????AC=900米，BC=1200米，
????? ??? 求斜边AB的长.?例：星期日老师带领初二全体学生去白佛山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:白佛山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米,,请问缆车路线AB长应为多少?
? ??????????????????? ?????????????????????????????????????????三、应用定理 巩固新知
四、随堂练习1、如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
(2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系： ；
(3)三边之间的关系： 五.课堂检测
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
4、.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32本节课你学到了什么?感悟与反思勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2（三）随堂练习
1、在Rt△ABC中， ，
1）如果a=3，b=4，则c=________；
2）如果a=6，b=8，则c=________；
3）如果a=5，b=12，则c=________；
4) 如果a=15，b=20，则c=________.5101325 2、下列说法正确的是（ ）
A.若a、b、c是△ABC的三边，则:
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边， ， 则
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则D3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4、如图,三个正方形中,S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。C169在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c
?（1）?????? 已知a=1，b=2，求c
?（2）?????? 已知a=10，c=15，求b小试牛刀例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上，
BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端
B的距离.CAB做一做： P62540026xP的面积 =______________X=_________225BACAB=__________AC=__________BC=__________251520求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做X=15Y=5Z=7比一比看谁算得又快又准！求下列直角三角形中未知边的长x:可用勾股定理建立方程.勾股定理运用二:8x171620x125x做一做X=15X=12X=13
1、直角?ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____
2、直角?ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b= ( ).
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4，求b和c.
13b=8 c=1024比一比课堂反馈１、本节课我们经历了怎样的过程？ 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探
索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程. ２、本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还
知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、
验证数学结论的数形结合思想.３、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学
的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化
辉煌历史的教育.小结 分层测试:A组:
1、在 中， ，
AB=7, AC=3,求BC的长.
B组:
2、如图，在矩形ABCD中，
DE⊥AC于E，设AE=8，
且AD=10, EC = 4, 求DE
和AB的长作业必做题：课本28页第1、2题. 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、 交流.
祝同学们学习进步！勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．结论变形c2 = a2 + b2（1）求出下列直角三角形中未知的边．练 习回答：①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．1 m2 m在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？AB＜BC＜AC（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？1 m2 m∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通过．∴ 只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？（3）小明有一根70cm长的木棒，现有一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm的木箱，这个木箱能够容下小明的这根木棒吗？请你说明理由（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出A、B两点间的距离吗？ （结果保留整数）（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB． （3）如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为 ． （3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？在直角三角形中，若两条直角边长为n2?1和2n，
（1）求斜边长。
（2）象n2?1、2n、n2+1（n≥2，且n为正整数）这样的数我们称之为勾股数。你能举出一组勾股数吗？ 已知：如图，△ABC中，AC = 4，∠B = 45o，∠A = 60o，根据题设可知什么？练习：已知：如图，∠B =∠D = 90o，∠A = 60o，AB = 4，CD = 2．求：四边形ABCD的面积． 从知识、方法及数学思想三个方面谈谈这节课你有什么收获？ 1 ．一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．2．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？