【优质】2 圆的一般方程课堂练习
一．单项选择
1．方程所表示的曲线是（ ）
A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分
2．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
4．椭圆的一个焦点是，那么（ ）
A． B．-1 C．1 D．
5．椭圆的两焦点分别为F1，F2，以椭圆短轴的两顶点为焦点，长为虚轴长的双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．椭圆上有一点，，分别为椭圆的左．右焦点，椭圆内一点在线段的延长线上，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
8．已知椭圆的焦点在轴上，若其离心率为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的左．右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左，右焦点是是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
12．已知F1，F2分别为椭圆的y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标可以是（ ）
A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）
13．在椭圆内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
14．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
15．椭圆与抛物线在第一象限相交于点为椭圆的左．右焦点.若,则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
16．已知．是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知 ，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点），则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】方程两边平方后可整理出椭圆的方程，由于的值只能取非负数，推断出方程表示的曲线为一个椭圆的一部分．
【详解】
解：两边平方，可变为，
即，
表示的曲线为椭圆的一部分；
故选：．
【点睛】
本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意的范围，注意数形结合的思想．
2．【答案】B
【解析】根据题意得以及,消去,结合离心率的定义可得答案.
【详解】
依题意可知,即,
又,
所以该椭圆的离心率.
故选:B
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率,关键是由得到,属于基础题.
3．【答案】C
【解析】设，由余弦定理求得，从而，，从而求得直线的方程，联立直线与圆的方程求得点的坐标，利用焦半径公式即可求出离心率．
【详解】
解：由题意，，
由题意有，则，
设，由余弦定理得，
∴，则，
∴直线的方程为，
又圆的标准方程为，
联立解得，或，
∴，
由焦半径公式得，
化简得，方程两边同时除以得，
解得，或（舍去），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质，考查焦半径公式，考查余弦定理解三角形，考查计算能力与推理能力，属于难题．
4．【答案】C
【解析】先将椭圆方程，化为椭圆标准方程，再根据即可解出k值.
【详解】
由，得，则有.
故选：C.
【点睛】
考查椭圆的标准方程以及焦点公式.椭圆标准方程 焦点，,则有.题目较为简单.
5．【答案】B
【解析】根据椭圆方程可得双曲线的焦点位置以及半焦距,虚半轴长,再根据可得双曲线的长半轴长,从而可写出双曲线方程.
【详解】
由椭圆方程可得双曲线的两焦点为,虚轴长为,
所以双曲线的虚半轴长为,长半轴长为,
所以双曲线方程为,即.
故选:B
【点睛】
本题考查了椭圆和双曲线的几何性质,注意区别椭圆和双曲线中的关系,本题属于基础题.
6．【答案】D
【解析】要求出离心率的取值范围，得列出不等关系，解出e的取值范围；首先满足QF1⊥QP，点Q在椭圆的内部，故点Q轨迹在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部，圆半径c＜椭圆短半轴b，由a2﹣c2＝b2，可解得e的一个范围；其次由sin∠F1QF2，可求得cos∠F1QF2.在△PF1F2中，而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝2a是定值，由基本不等式可得PF1|？|PF2|；由余弦定理得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1QF2，结合不等关系即可解出e的取值范围．
【详解】
解：∵QF1⊥QP，
∴点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，
∵点Q在椭圆的内部，∴以F1F2为直径的圆在椭圆内，∴c＜b；
∴c2＜a2﹣c2，∴，故0＜e
∵sin∠F1PQ，∴cos∠F1PQ；
设|PF1|＝m，则|PF2|＝n，
而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理得
4c2．
∴4c2＝（m+n）2﹣2mn﹣2mn？；
即4c2＝4a2mn；∴mn；
由基本不等式得：mna2，
当且仅当m＝n时取等号；
由题意知：QF1⊥QP，∴m≠n，∴mna2，
∴a2∴a2＜26c2；
故，∴e
综上可得：e．
故选：D．
【点睛】
本题考查了椭圆的性质．圆的性质，余弦定理．基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
7．【答案】C
【解析】根据焦点在轴上的椭圆方程的特点可得不等式，解不等式求得结果.
【详解】
表示焦点在轴上的椭圆 ，解得：
故选：
【点睛】
本题考查根据方程表示椭圆及椭圆焦点位置求解参数范围的问题，属于基础题.
8．【答案】B
【解析】椭圆的焦点在轴上，可知，，利用公式求出，代入离心率公式即可求出的值.
【详解】
解：椭圆的焦点在轴上，则，又离心率为，即，解得：.
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆求离心率，利用是常用的方法，属于基础题.
9．【答案】D
【解析】由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|？|PF2|=a2，可得|PF1|=|PF2|=a，即P为椭圆的短轴的端点，由条件可得b=c，计算即可得到椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，
又|PF1|？|PF2|=a2，
可得|PF1|=|PF2|=a，即P为椭圆的短轴的端点，
|OP|=b，且|OP|=|F1F2|=c，
即有c=b=，
即为a=c，e==．
故选C．
【点睛】
求解离心率的常用方法
10．【答案】A
【解析】由结合椭圆离心率的定义可得，可求得，而，从而可求得离心率的取值范围．
【详解】
解：依题意，得，
，又，
，不等号两端同除以得，
，
，解得，
又，
．
即
故选：
【点睛】
本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得，利用解决问题是关键，也是难点，属于中档题．
11．【答案】BCD
【解析】由椭圆的定义和题设条件， 求得，再在中，结合三角形的性质，得到，求得离心率的范围，即可求解.
【详解】
由椭圆的定义，可得，又由， 解得，
又由在中，，可得，所以，
即椭圆的离心率的取值范围是.
故选：．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
12．【答案】C
【解析】由椭圆方程可知，，，，设，，根据，可得，分别代入椭圆方程即可得出．
【详解】
由y2＝1知，
，，，，
设，，
，
，，
，．
解得，．
．
故选：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质．向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．【答案】C
【解析】设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有，，两式相减,又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此，即，所求直线的斜率是，
弦所在的直线方程是y－1＝ (x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
14．【答案】D
【解析】分析：由题意将所求解的最值问题结合椭圆的定义通过焦点转化为三点共线的问题，然后数形结合求解|PA|＋|PB|的最大值即可.
详解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为和，
连接，根据椭圆的定义，得，可得，
因此.
当且仅当点P在延长线上时，等号成立.
综上所述，可得的最大值为5.
本题选择D选项.
点睛：椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
15．【答案】D
【解析】先利用椭圆方程得出焦点坐标，再利用抛物线的定义求出点的坐标，然后利用椭圆的定义求出，从而得出离心率.
【详解】
解：因为
所以
所以，
因为，
根据抛物线的定义可得：点到的距离为2，
故得到点的横坐标为1，
代入抛物线方程，且点在第一象限，
所以点的坐标为，
故，
即，解得，
所以椭圆的离心率为，
故选:D.
【点睛】
求解离心率问题就是要解出a与c的值或构造出a与c的等式（不等式），构造a与c的等式（不等式）可以从定义．曲线方程．同一量的二次计算等角度构造.
16．【答案】C
【解析】设椭圆的半长轴．半短轴．半焦距分别为。因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆。与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C。
【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系。由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆。再由点M在椭圆的内部，可得，因为 。所以由得，由关系求离心率的范围。
17．【答案】B
【解析】求轨迹方程可设动点，，再利用求出关于的坐标关系式，再将坐标表达式代入椭圆方程即可。
【详解】
设动点，，因为，故 ，化简得，又在椭圆上，故，化简得，故选B。
【点睛】
求轨迹方程可直接设所求点坐标为，再根据题目所给信息，用含有的表达式表达已知方程上的动点，再带入满足的方程化简即可。
18．【答案】B
【解析】根据平行线分线段成比例列方程，化简后求得离心率.
【详解】
由于轴，所以轴，根据平行线分线段成比例可知，两式相乘得，即，化简得.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查平行线分线段成比例，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.【优质】2 圆的一般方程课时练习
一．单项选择
1．已知△ABC的顶点B．C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
试卷第12页，总12页
2．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是椭圆与轴的交点，点是椭圆上异于的任一点，直线分别于轴交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是线段的中点，若（O为坐标原点），则的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．在中，点，，且，边上的中线长之和等于39，则的重心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知E．F分别为椭圆的左．右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
9．椭圆的左右焦点是，，点在椭圆上，若，则面积（ ）
A． B． C． D．2
10．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的焦点为，设两曲线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
11．已知是椭圆上一定点，是椭圆两个焦点，若，，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．中心在原点，焦距为2，离心率为的椭圆标准方程为（ ）
A．或 B．
C． D．
13．已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点N为圆上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．36
14．如图，设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆于C点，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
15．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆的左顶点和左焦点分别为和,,直线交椭圆于两点(在第一象限),若线段的中点在直线上,则该椭圆的方程为( )
A． B．
C． D．
17．已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点），则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18．设椭圆的离心率为，右焦点为 ，方程的两个实根分别为 和 ，则点 （ ）
A．必在圆外 B．必在圆上
C．必在圆内 D．以上三种情形都有可能
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.
【详解】
设另一焦点为，由题在BC边上，
所以的周长
故选：C
【点睛】
此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.
2．【答案】A
【解析】 关于直线的对称点为，连接交直线于点，则椭圆的长轴长的最小值为，所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.
考点：1．椭圆的离心率；2．点关于直线的对称.
3．【答案】B
【解析】求轨迹方程可设动点，，再利用求出关于的坐标关系式，再将坐标表达式代入椭圆方程即可。
【详解】
设动点，，因为，故 ，化简得，又在椭圆上，故，化简得，故选B。
【点睛】
求轨迹方程可直接设所求点坐标为，再根据题目所给信息，用含有的表达式表达已知方程上的动点，再带入满足的方程化简即可。
4．【答案】C
【解析】设，可用的坐标表示直线方程，求出的坐标后可求的值.
【详解】
由椭圆方程可得，设，故.
又，令，故，同理
又，
所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆中的定值问题，此类问题一般有两种解法：
（1）设出椭圆上的动点坐标，利用动点坐标表示目标代数式，再利用点在椭圆上满足的方程化简前者可得定值.
（2）联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点．定值．最值问题.
5．【答案】C
【解析】由题意知是的中位线，可知，再根据椭圆的定义可得的值.
【详解】
由题意知是的中位线，
，
又，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.
6．【答案】B
【解析】由重心性质可确定，满足椭圆的定义，由此可确定的值，利用求得，从而得到椭圆方程；由三角形特点知，三点不共线，则需从椭圆中去除的点.
【详解】
设重心为，则
为的重心 三点不共线
点轨迹为不包含与轴交点的椭圆，且，
点轨迹方程为：
故选：
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到根据椭圆定义求解椭圆方程；易错点是忽略三角形的特点，轨迹中未去除不符合题意的特殊点.
7．【答案】C
【解析】设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可。
【详解】
设弦两端点为，则
①-②得 即直线为
化简得
故选C
【点睛】
本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题。
8．【答案】D
【解析】利用椭圆的定义即可得到结果．
【详解】
椭圆，
可得，
三角形的周长，，
所以：周长，
由椭圆的第一定义，，
所以，周长．
故选：D．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．
9．【答案】B
【解析】利用椭圆的定义．余弦定理．三角形的面积公式 求解出的面积.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
又因为.
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆的焦点三角形面积的求解，难度一般.对于的椭圆，两个焦点为，其上有一点(不与共线)，且，则.
10．【答案】A
【解析】设，由，，可得，由椭圆．抛物线焦半径公式可得，整理可得答案.
【详解】
由题意可知，则抛物线的方程为，
设不妨设在第一象限，且有数量积的投影可知，则，
由椭圆的焦半径公式可知，
由抛物线的定义，
则，
所以，即，
解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆．抛物线的性质，运用焦半径公式计算使得解题过程简化，属于中档题.
11．【答案】B
【解析】在中，，，，根据余弦定理，，所以，，根据椭圆定义，则离心率，故选择B.
点睛：椭圆几何性质内容丰富，往往是命题的热点，而离心率又是几何性质中的核心，因此离心率问题一直成为考查的重点.求离心率的值及离心率的取值范围常用的方法有（1）求的值，由直接求；（2）列出含有的方程或不等式，借助于，消去，然后转化为关于的方程或不等式求解.应用平面几何知识是解决这类问题的关键.
12．【答案】A
【解析】根据焦距可知，由离心率可知，即可求出，结合椭圆的焦点位置可求出椭圆的方程.
【详解】
由题意焦距为2，离心率为，
可得，，
所以，
椭圆焦点可能在轴上，也可能在轴上，
所以椭圆方程为或.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于容易题.
13．【答案】A
【解析】先计算，计算得到答案.
【详解】
椭圆焦点坐标为，
，当共线和共线时等号成立
故选：
【点睛】
本题考查了椭圆距离的最值问题，将距离转化为到圆心的距离是解题的关键.
14．【答案】C
【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，可得△OFA∽△AFB，且，即可得出e．
【详解】
如图，设中点为，连接，则为的中位线，于是，且，即，可得．
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质．三角形中位线定理．相似三角形的性质，考查了数形结合方法．推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】D
【解析】利用为等腰直角三角形可得的方程，消去后可得，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，注意取舍.
【详解】
不妨设椭圆的标准方程为，
半焦距为，左右焦点为，在第一象限，则.
在椭圆方程中，令，则，解得，故.
为直角三角形且，故即，
故，解得.
故选：D.
【点睛】
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围．几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
16．【答案】C
【解析】根据画出椭圆图像, 设点,则,的中点为,根据中点坐标公式可得:,三点共线,可得:,结合已知条件,即可求得答案.
【详解】
根据画出椭圆图像,如图:
设点,则,的中点为,
根据中点坐标公式可得:
有题意可知,
又 三点共线,可得:
可得:
解得: ,故——①
,可得: ——②
由①②可得:,
根据椭圆性质:,可得
该椭圆的方程为: .
故选:C.
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程,解题关键是根据题意画出其图像和掌握椭圆的基本知识,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
17．【答案】B
【解析】根据平行线分线段成比例列方程，化简后求得离心率.
【详解】
由于轴，所以轴，根据平行线分线段成比例可知，两式相乘得，即，化简得.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查平行线分线段成比例，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
18．【答案】C
【解析】∵，∴，
∵ 和是方程的两个实根，
∴由韦达定理：，，
∴，
∴点必在圆内，故选C.【精选】2 圆的一般方程-2课时练习
一．单项选择
1．已知为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，且焦距为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点．；．分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点在椭圆上，，，且四边形的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．方程表示焦点在x轴上的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
8．已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于( )
A． B． C． D．
9．已知椭圆:,其焦点坐标为( )
A． B． C． D．
10．圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底而相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点，若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线，是以为一个焦点的椭圆，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为
A． B．
C．或 D．以上答案都不对
12．已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．已知两点，且是与的等差中项.则动点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
14．已知椭圆的左右焦点,,点在椭圆上,是椭圆上的动点,则的最大值为( )
A． B． C． D．
15．已知椭圆E：(a＞b＞0)，直线x＝与椭圆E交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），则椭圆E的离心率是（ ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，若点为曲线上一点，且，，则的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
17．设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．“”是“椭圆的焦距为4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】由题可得，设，由两点间距离公式结合可得解.
【详解】
为椭圆上的两个动点，为其左焦点.
，则有.
.
设，则.
.
由，得.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题.
2．【答案】A
【解析】由方程表示焦点在轴上的椭圆得，再根据焦距为得，解方程即可得的值．
【详解】
解：∵方程表示焦点在轴上的椭圆，
∴，
∴，
又椭圆的焦距为，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】设，分别为椭圆的左右焦点，可得，结合，及，可判断出等腰三角形中，然后求出点的坐标，进而可求出的面积.
【详解】
设，，则，，
椭圆：的，，.
设，分别为椭圆的左右焦点，
由于为上一点且在第一象限，可得，，
因为，所以，，
为等腰三角形，只能，则，
由勾股定理得，又，联立并消去得，且，解得，则.
则的面积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的性质，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
4．【答案】B
【解析】利用双曲线的定义可得：，利用椭圆的定义可得，可得周长，进而可得结果.
【详解】
由双曲线和椭圆的定义可得：，，
∴周长，
因此周长的最小值为，其中A，B，M三点共线时取等号，
故选：B．
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质．三角形三边大小关系．数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．【答案】A
【解析】由角的关系可求得和的值，然后设，可得，，联立可求得的关系，将点的坐标代入椭圆方程，可求得的关系，结合四边形的面积为，可得，进而可求得的值.
【详解】
由，可得.
又，所以.
不妨设，则，即，，即.
则
将代入椭圆方程可得，即.
又四边形的面积为，即，
联立，解得，.故椭圆的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换．椭圆的方程和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.
6．【答案】A
【解析】先求出“方程表示焦点在x轴上”对应的的取值范围，再根据必要不充分条件与集合之间的包含关系即可求解．
【详解】
方程表示焦点在x轴上，所以，解得，
所以是的必要不充分条件．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，解题关键是将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，属于基础题．
7．【答案】C
【解析】根据椭圆的定义求解即可.
【详解】
设点P到另一个焦点的距离为
由椭圆的定义可得：，解得
故选：C
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题.
8．【答案】D
【解析】由直线斜率得直线倾斜角，从而的三个内角都能求出，可确定是正三角形，于是有，把点坐标代入椭圆方程，变形整理可解得．
【详解】
如图，由题意得，又，∴，，
于是是正三角形，∴，
点在椭圆上，∴，整理得，即，
（舍去），．
故选：D.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率，解题关键是列出关于的一个等式，本题关键是由直线的倾斜角求出的三个内角，可确定是正三角形，这样把点坐标用表示后，代入椭圆方程即得．
9．【答案】B
【解析】因为椭圆:,化简为:,可得,即可求得答案.
【详解】
椭圆:,化简为:
根据:
可得:,故
的焦点为: .
故选:B.
【点睛】
本题考查了求椭圆焦点坐标,解题关键是掌握椭圆方程定义和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
10．【答案】B
【解析】考虑与底面趋于平行和与底面的夹角最大两种情况，即可确定离心率的取值范围.
【详解】
当与底面趋于平行时，几乎成为一个圆，
因此离心率可以充分接近0.
当与底面的夹角最大时，的离心率达到最大，下面求解这一最大值．
如图，为长轴，为焦点时，最大．，易知，所以，．则离心率的取值范围是．
故选：B
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线与空间几何的综合应用问题，难度稍大.
11．【答案】C
【解析】利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在轴还是在轴上，所以分情况讨论．
【详解】
解：设焦点在轴上，椭圆的标准方程为
焦点坐标为，，顶点坐标为，；
椭圆的，，关系：；
直线恒过定点和
直线必经过椭圆的焦点，和顶点
带入直线方程：
解得：，，
焦点在轴上，椭圆的标准方程为；
当设焦点在轴，椭圆的标准方程为
焦点坐标为，，顶点坐标为，；
椭圆的，，关系：
直线恒过定点和
直线必经过椭圆的焦点，和顶点
带入直线方程
解得：，，
焦点在轴上，椭圆的标准方程为．
故选：．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在轴还是在轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】根据曲线是焦点在x轴上的椭圆列不等式组即可求出实数m的取值范围.
【详解】
解：因为曲线是焦点在x轴上的椭圆，
则，解得，
故选：D.
【点睛】
本题考查焦点在x轴上的椭圆的方程特征，是基础题.
13．【答案】B
【解析】根据是与的等差中项，得到，即，得到点在以，为焦点的椭圆上，已知，的值，求出的值，写出椭圆的方程．
【详解】
解：．，
，
是与的等差中项，
，
即，
点在以，为焦点的椭圆上，
，
，，
椭圆的方程是：．
故选：．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相关点法可以应用．
14．【答案】B
【解析】根据可得，再利用椭圆上的已知点Q可得与的关系式，再根据解出然后利用参数方程设出点P，求出最大值即可.
【详解】
由题意得，
因为点在椭圆上，
所以，联立，可解得，
所以椭圆方程为，
由题意得，
因为P是椭圆上的动点，设，
由椭圆的参数方程可得（为参数），
所以，
又因为
则，
，
所以
，其中，
所以当时，取得最大值为，
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质以及参数方程的应用，属中档难度题目.
15．【答案】D
【解析】将直线x＝代入椭圆方程，可以得到A，B两点的坐标，OA⊥OB并且直线x＝垂直于x轴，可知在三角形中，斜边的高等于斜边长度的二分之一，再结合可得离心率e。
【详解】
将代入得，又因为OA⊥OB有.故离心率.
故选：D.
【点睛】
本题考查了椭圆离心率的定义，属于容易题。
16．【答案】C
【解析】以为邻边作平行四边形,根据向量数量积定义可得.作,由结合三角函数定义可表示出的坐标,代入椭圆方程化简即可求得的离心率.
【详解】
根据题意, 椭圆的左顶点为,右焦点为,若点为曲线上一点,可得几何关系如下图所示:
以为邻边作平行四边形,作
则
因为,
即,由平面向量数量积的定义可知
所以四边形为菱形
则
又因为,
则
在和中,由三角函数定义可得
则,所以
同理,
所以M点的坐标为
将M点的坐标代入椭圆方程可得
而
代入化简可得
即
故选:C
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的综合应用,平面向量数量积运算,三角函数定义及椭圆离心率的求法,计算量较大,综合性强,属于难题.
17．【答案】D
【解析】∵与函数的图象相交于两点，两点关于原点对称，设 则 即
设 则，可得：
∵直线 的斜率 的取值范围
得 ∴直线的斜率取值范围是。
故选：D．
18．【答案】A
【解析】由椭圆的焦距为4，分类讨论求得或时，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆可化为，
当时，，解得，
当时，，解得，
即当或时，椭圆的焦距为4，
所以“”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质，以及充分条件．必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质，结合充分条件．必要条件的判定求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.【优选】2 圆的一般方程课时练习
一．单项选择
1．椭圆的焦点为，，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
2．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 ( )
A． B．（y≠0）
C． D．（y≠0）
3．已知椭圆的左．右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左．右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆：的焦距为2，且短轴长为6，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点为．，为椭圆上一点，已知，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点是椭圆上的一点，，是焦点，若取最大时，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆过点，其离心率的取值范围是，则椭圆短轴长的最大值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
8．已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知椭圆的左．右焦点分别为，，过的直线交于，两点．若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
10．已知直线经过椭圆（）的右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，与轴的交点为，是椭圆的左焦点，且，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．（x≠0） B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）
13．如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离（ ）
A．6 B．10 C．12 D．14
14．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 || PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
15．椭圆上一点与椭圆的两个焦点．的连线互相垂直，则的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．28
16．椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为.
B．椭圆上存在点，使得.
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为.
17．已知是的一个内角，且，则方程表示（ ）
A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆
18．已知分别是椭圆()的左顶点和上顶点，线段的垂直平分线过下顶点.若椭圆的焦距为2，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】根据，，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，列方程求解椭圆方程基本量，，即可.
【详解】
由题意设椭圆的方程：，
连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，
由得，
又，
设，则，，
又，
解得，
又由，
，
解得，，，
则椭圆的方程为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，属于一般题.
在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.
2．【答案】D
【解析】
所以定点的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即 ，选D.
3．【答案】A
【解析】设内切圆的半径为，根据题意化简得到，代入数据计算得到答案.
【详解】
设内切圆的半径为
则，，·
∵，∴
整理得.∵为椭圆上的点，∴，解得.
故选：
【点睛】
本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到是解得的关键.
4．【答案】B
【解析】依题意可得，，根据即可求出椭圆的标准方程.
【详解】
解：依题意可得，，则，，所以，所以C的方程为.
故选：
【点睛】
本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力，属于基础题.
5．【答案】A
【解析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．
【详解】
由椭圆定义知，又，所以，从而得，所以的面积为，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．
6．【答案】B
【解析】∵椭圆方程为
因此，椭圆的焦点坐标为 ．
根据椭圆的性质可知当点与短轴端点重合时，取最大值，则此时的面积
故选B
7．【答案】C
【解析】先根据点在椭圆上得到，再利用及消元法可解得，从而得到短轴长的最大值.
【详解】
因为点在椭圆上，所以，所以.
设椭圆的半焦距为，因为，所以，故，
所以，解得，故短轴长的最大值为.
故选：C.
【点睛】
本题以椭圆基本量为载体，考查多变量等式和不等式条件下变量的最值的计算，注意多变量问题处理的基本策略是消元法，此类问题多为中档题.
8．【答案】B
【解析】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B.
9．【答案】D
【解析】利用椭圆的定义以及余弦定理，列出方程，转化求解椭圆的离心率即可．
【详解】
椭圆的左．右焦点分别为，，
过的直线交于，两点．
，，，，
，
可得，
化简可得，
由可得，
解得，（舍去）
故选．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化与化归思想以及运算求解能力，注意椭圆离心率的范围是．
10．【答案】D
【解析】由直线过椭圆的右焦点，求出，再由直线与椭圆在第一象限的交点为，与轴交于点，推导出，由此能求出椭圆的方程．
【详解】
直线与轴和轴的交点分别为，，所以，
又，所以，从而，所以椭圆方程为，
故选：D．
【点睛】
本题考查椭圆的定义及椭圆的简单性质，属于基础题.
11．【答案】A
【解析】设另一个焦点为,由以及中位线求得,由椭圆定义可知,所以,在△中由余弦定理求得的正弦与余弦值,再求得正切值即可求得斜率.
【详解】
如图所示:
由得,
设椭圆的右焦点为,连接,所以线段的中点在以原点为圆心,2为半径的圆上,连接,可得,
所以,
所以.
所以,
所以,
所以直线的斜率是.
故选:A
【点睛】
本题考查了利用椭圆的定义和三角形中位线求焦半径,考查了利用余弦定理求得直线的倾斜角的余弦值,利用同角公式求正弦值和正切值,根据斜率的定义求斜率,属于基础题.
12．【答案】B
【解析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【详解】
解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
13．【答案】D
【解析】由椭圆知椭圆长轴长为设椭圆另一个焦点为，根据椭圆定义得：故选D
14．【答案】D
【解析】由题意可得，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
【详解】
由题意得：，设椭圆方程为，
双曲线方程为，
又∵.
∴，∴，
则
，当且仅当，
即时等号成立.
则的最小值为8.
故答案为：8.
【点睛】
考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将化为为解题关键，注意取等号.
15．【答案】C
【解析】椭圆1的焦点坐标为．。由椭圆的定义得，所以，
因为 ，所以，
所以，
所以。选C。
点睛：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理．余弦定理．，得到的关系．
(2)对的处理方法：①定义式的平方，即；②余弦定理，即；③面积公式，即。
其中。
16．【答案】ABD
【解析】根据椭圆的定义，可判断A；根据数量积运算，以及椭圆的性质，可判断B；根据离心率的定义，可判断出C；根据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可判断D.
【详解】
对于选项A，因为分别为椭圆的左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，由椭圆定义可得：，
因此的周长为，故A正确；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
则点坐标满足，且
又，，所以，，
因此，
由，可得：，故B正确；
对于选项C，因为，，所以，即，
所以离心率为，故C错；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得：点到圆的圆心的距离为：，
因为，所以.故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查椭圆相关命题真假的判定，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
17．【答案】C
【解析】先由题意，根据同角三角函数基本关系，判断，，再由，得到，将方程化为，即可得出结果.
【详解】
因为是的一个内角，且，
又，所以，即，
即，所以，，
又，所以，因此，
因为方程可化为，
所以，该方程表示焦点在y轴上的椭圆.
故选：C
【点睛】
本题主要考查判断方程所表示的曲线，熟记椭圆的标准方程，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.
18．【答案】D
【解析】利用的中垂线经过下顶点可得的关系，再利用焦距长可得的值，从而得到长轴长.
【详解】
由题设得，下顶点的坐标为，
故中点的坐标为，因为的中垂线经过下顶点，
所以即.
又半焦距，故，故即长轴长为.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆基本量的计算，注意，此类问题属于基础题.【特供】2 圆的一般方程课时练习
一．单项选择
1．如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离（ ）
A．6 B．10 C．12 D．14
2．设分别为椭圆的左．右焦点，为直线上一点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左．右焦点分别为，直线过点且与椭圆交于两点，且，若，则直线的斜率为( )
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知F1，F2分别是椭圆的左．右焦点，椭圆C上不存在点P使，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知．是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
8．过椭圆1的焦点，且倾斜角为135°的直线与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长为（ ）
A． B． C． D．
9．在椭圆内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
10．椭圆上有一点，，分别为椭圆的左．右焦点，椭圆内一点在线段的延长线上，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知F1，F2分别为椭圆的y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标可以是（ ）
A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）
12．椭圆中以为弦的中点的弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．椭圆的焦点为．，为椭圆上一点，已知，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知椭圆：的焦距为2，且短轴长为6，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知分别是椭圆的左．右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
16．椭圆的一个焦点是，那么（ ）
A． B．-1 C．1 D．
17．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
18．椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为.
B．椭圆上存在点，使得.
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为.
参考答案与试题解析
1．【答案】D
【解析】由椭圆知椭圆长轴长为设椭圆另一个焦点为，根据椭圆定义得：故选D
2．【答案】B
【解析】设的坐标为()，利用直线．的倾斜角的关系和两角和的正切公式可得的等量关系，再利用基本不等式可求满足的不等式，从而求得离心率的范围.
【详解】
设的坐标为，根据椭圆的对称性，不妨设，
设椭圆的半焦距为，则，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，因为，
所以，故，
由基本不等式有，
故，故，
所以椭圆的离心率的取值范围为.
故选：B.
【点睛】
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围．几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
3．【答案】B
【解析】设,利用点差法可得: ,再根据△为等腰三角形,可得,联立两个方程可解得,即得直线的斜率.
【详解】
如图:
设，则，两式相减可得，则；因为，所以△为等腰三角形,故 ，解得，故直线的斜率为
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程以及直线的斜率,属中档题.
4．【答案】D
【解析】分析：由题意将所求解的最值问题结合椭圆的定义通过焦点转化为三点共线的问题，然后数形结合求解|PA|＋|PB|的最大值即可.
详解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为和，
连接，根据椭圆的定义，得，可得，
因此.
当且仅当点P在延长线上时，等号成立.
综上所述，可得的最大值为5.
本题选择D选项.
点睛：椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
5．【答案】D
【解析】根据题意得到恒成立，得到计算得到答案.
【详解】
椭圆C上不存在点P使，即恒成立
当在短轴顶点时最大，即，即
故选：
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，确定角度最大的点是解题的关键.
6．【答案】C
【解析】设椭圆的半长轴．半短轴．半焦距分别为。因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆。与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C。
【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系。由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆。再由点M在椭圆的内部，可得，因为 。所以由得，由关系求离心率的范围。
7．【答案】D
【解析】画出图形的轴截面图，则为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴，
利用直角三角形的边角关系计算可得.
【详解】
解：画出图形的轴截面如图所示，则为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；
依题意，，，
则
在中有
即椭圆中，，
，
故选：
【点睛】
本题考查了圆柱的性质．椭圆的离心率．直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力．推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】求出直线方程，并与椭圆方程联立，求出坐标,利用两点间距离公式计算即得结论．
【详解】
椭圆1的焦点为（±2，0），
过椭圆1的焦点，且倾斜角为135°的直线交椭圆于两点
不妨设直线过右焦点，则.
联立 ，得，
解得：,
则
故选：A
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有，，两式相减,又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此，即，所求直线的斜率是，
弦所在的直线方程是y－1＝ (x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
10．【答案】D
【解析】要求出离心率的取值范围，得列出不等关系，解出e的取值范围；首先满足QF1⊥QP，点Q在椭圆的内部，故点Q轨迹在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部，圆半径c＜椭圆短半轴b，由a2﹣c2＝b2，可解得e的一个范围；其次由sin∠F1QF2，可求得cos∠F1QF2.在△PF1F2中，而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝2a是定值，由基本不等式可得PF1|？|PF2|；由余弦定理得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1QF2，结合不等关系即可解出e的取值范围．
【详解】
解：∵QF1⊥QP，
∴点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，
∵点Q在椭圆的内部，∴以F1F2为直径的圆在椭圆内，∴c＜b；
∴c2＜a2﹣c2，∴，故0＜e
∵sin∠F1PQ，∴cos∠F1PQ；
设|PF1|＝m，则|PF2|＝n，
而|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a，
在△PF1F2中，由余弦定理得
4c2．
∴4c2＝（m+n）2﹣2mn﹣2mn？；
即4c2＝4a2mn；∴mn；
由基本不等式得：mna2，
当且仅当m＝n时取等号；
由题意知：QF1⊥QP，∴m≠n，∴mna2，
∴a2∴a2＜26c2；
故，∴e
综上可得：e．
故选：D．
【点睛】
本题考查了椭圆的性质．圆的性质，余弦定理．基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
11．【答案】C
【解析】由椭圆方程可知，，，，设，，根据，可得，分别代入椭圆方程即可得出．
【详解】
由y2＝1知，
，，，，
设，，
，
，，
，．
解得，．
．
故选：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质．向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】先设弦的两端点为，，由题意得到，，两式作差，求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.
【详解】
设以为弦的中点的弦的两端点为，，
所以，
又因为弦为椭圆中的弦，
所以，两式作差得，
整理得：，
即，
因此所求直线方程为：，即，
【点睛】
本题主要考查椭圆的中点弦所在直线方程的问题，熟记点差法，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.
13．【答案】A
【解析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．
【详解】
由椭圆定义知，又，所以，从而得，所以的面积为，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．
14．【答案】B
【解析】依题意可得，，根据即可求出椭圆的标准方程.
【详解】
解：依题意可得，，则，，所以，所以C的方程为.
故选：
【点睛】
本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力，属于基础题.
15．【答案】B
【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，
∴，
∴，∴
∴。
由，
∴，即椭圆离心率的取值范围为。选B。
点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求出a，b，c的值，由直接求．
(2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
16．【答案】C
【解析】先将椭圆方程，化为椭圆标准方程，再根据即可解出k值.
【详解】
由，得，则有.
故选：C.
【点睛】
考查椭圆的标准方程以及焦点公式.椭圆标准方程 焦点，,则有.题目较为简单.
17．【答案】C
【解析】设，由余弦定理求得，从而，，从而求得直线的方程，联立直线与圆的方程求得点的坐标，利用焦半径公式即可求出离心率．
【详解】
解：由题意，，
由题意有，则，
设，由余弦定理得，
∴，则，
∴直线的方程为，
又圆的标准方程为，
联立解得，或，
∴，
由焦半径公式得，
化简得，方程两边同时除以得，
解得，或（舍去），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质，考查焦半径公式，考查余弦定理解三角形，考查计算能力与推理能力，属于难题．
18．【答案】ABD
【解析】根据椭圆的定义，可判断A；根据数量积运算，以及椭圆的性质，可判断B；根据离心率的定义，可判断出C；根据点与圆位置关系，以及椭圆的性质，可判断D.
【详解】
对于选项A，因为分别为椭圆的左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，由椭圆定义可得：，
因此的周长为，故A正确；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
则点坐标满足，且
又，，所以，，
因此，
由，可得：，故B正确；
对于选项C，因为，，所以，即，
所以离心率为，故C错；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得：点到圆的圆心的距离为：，
因为，所以.故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查椭圆相关命题真假的判定，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.【名师】2 圆的一般方程-1课时练习
一．单项选择
1．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的左，右焦点分别为，，直线过点交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆C的中心为原点，焦点，在y轴上，离心率为，过点的直线交椭圆C于M，N两点，且的周长为8，则椭圆C的焦距为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②若球心距，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①② D．①②③
5．已知a＞0，椭圆x2+a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
6．若点（m，n）在椭圆9x2+y2＝9上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为椭圆的两个焦点，P（不在x轴上）为椭圆上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．方程为和的两条曲线在同一坐标系中可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，为椭圆的左．右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为.过的直线交于，两点，且的周长为，那么椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．设分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．设F1，F2分别是椭圆C：的左．右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
14．点在椭圆：上，的右焦点为，点在圆：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．离心率
C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切
16．设椭圆的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．
17．若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点．的连线互相垂直，则的面积为( )
A．36 B．16 C．20 D．24
18．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为( )
A．e1C．e1参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】根据可知，转化成关于，，的关系式，再根据，和的关系进而求得和的关系，则椭圆的离心率可得．
【详解】
据题意，，，，
，即，即.
又，，同除得，即（舍）或.故选A.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程和简单性质．直角三角形的判定等知识，是中档题．
2．【答案】A
【解析】在中，利用椭圆定义及已知，结合余弦定理可得，再利用定义可得，从而得到e.
【详解】
由①
得：代入，，
整理得：，
代入①式得：，
不妨设：，，，，
则，
故点为椭圆顶点，.
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率的求法，考查了椭圆定义的应用及焦点三角形的周长，涉及到余弦定理的应用，属于中档题.
3．【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知,的周长为,可求出,再结合离心率为,可求出,进而可求出椭圆C的焦距.
【详解】
由题可知,椭圆的焦点在轴上,
,,
则的周长为,即,
又离心率,所以,
故椭圆C的焦距为.
故选:C.
【点睛】
本题考查了椭圆定义的应用,考查椭圆焦距的求法,考查学生的计算能力,属于基础题.
4．【答案】C
【解析】设圆柱的底面半径为，根据题意分别求得，，，结合椭圆的结合性质，即可求解.
【详解】
由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，
设圆柱的底面半径为，根据题意可得椭圆的短轴长为，即，
长轴长为，即，
在直角中，可得，即，
又由，
即，所以，
又因为椭圆中，所以，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；
由，可得，又由球的半径为，即，
在直角中，，
由①可知，即，所以，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；
由①可得，，所以椭圆的离心率为，
所以当当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
5．【答案】C
【解析】先把椭圆方程化为标准方程，然后根据题意列出方程组，解出即可．
【详解】
解：可变为，，
由题意得，解得，或解得，
故或
故选：．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题，注意题意的长轴的数轴．
6．【答案】D
【解析】根据的几何意义为点到的斜率,再画图分析最小值时的情况求解即可.
【详解】
由题,椭圆,的几何意义为点到的斜率,故最小值为过的直线与椭圆相切且斜率为负数时.设,故
,故,
解得.故的最小值为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了的几何意义以及直线与椭圆相切利用联立方程后的二次方程判别式为0的方法等,属于中等题型.
7．【答案】A
【解析】首先根据椭圆定义可知，根据余弦定理，
再根据，根据这三个式子的变形得到和，最后求离心率.
【详解】
由椭圆的定义，得，平方得①.
由，②，是锐角，
由余弦定理得③，
-③得 ④
由②④，得，
是锐角，
，
即且
.
由②③可知 ⑤
由①⑤可得 ，
，，即，.
则椭圆离心率的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于的不等式关系.
8．【答案】B
【解析】根据题意，分别讨论和两种情况，即可得到方程所表示的圆锥曲线.
【详解】
因为方程可化为；
若，则方程表示开口向下的抛物线，表示椭圆；
若，则方程表示开口向上的抛物线，表示双曲线；
由题意，只有B能符合要求.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查方程所表示的圆锥曲线的判定，熟记圆锥曲线的标准方程即可，属于常考题型.
9．【答案】C
【解析】依题意可得关于的三角不等式，根据正弦函数的性质解答.
【详解】
解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆
所以即，由正弦函数的性质可得，
又为锐角
即
故选：
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质，以及正弦函数的性质，属于基础题.
10．【答案】C
【解析】首先延长，交于点，连接，根据题意得到
.得的取值范围是：.
【详解】
延长，交于点，连接，
因为点是内切圆的圆心，
所以平分.
因为，所以为的中点.
又因为为的中点，
所以
.
所以的取值范围是：.
故选：C
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，同时考查了三角形内切圆的性质，属于难题.
11．【答案】A
【解析】根据题意，的周长为，即，结合椭圆的定义，有，即可得的值；又由椭圆的离心率，可得的值，进而可得的值；由椭圆的焦点在轴上，可得椭圆的方程．
【详解】
根据题意，的周长为，即，
根据椭圆的性质，有，即，
椭圆的离心率为，即，则，
所以，故，则，
则椭圆的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题.
12．【答案】A
【解析】根据椭圆性质与焦点三角形的离心率公式求解即可.
【详解】
由题,设线段的中点在轴上,且原点为的中点,故为边边的中线.故,故轴.又,
故离心率.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率问题,需要根据题意找到焦点三角形三边的关系进行求解,属于中等题型.
13．【答案】C
【解析】因为△F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|＝|F1F2|，即4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝，故e＝.选C
14．【答案】D
【解析】先求出圆心为，半径为2，设椭圆的左焦点为，要求的最小值，即求的最小值，的最小值等于，即得解.
【详解】
由题得圆：，
所以圆心为，半径为2.
设椭圆的左焦点为，则，
故要求的最小值，即求的最小值，
圆的半径为2，
所以的最小值等于，
∴的最小值为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查椭圆和圆的几何性质，考查最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．【答案】AD
【解析】根据椭圆的定义判断A选项正确性，根据椭圆离心率判断B选项正确性，求得面积的最大值来判断C选项的正确性，求得圆心到直线的距离，与半径比较，由此判断D选项的正确性.
【详解】
对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.
对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.
对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.
对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.
综上所述，正确的为AD.
故选：AD
【点睛】
本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.
16．【答案】A
【解析】分析：根据向量共线定理及，，可推出，的值，再根据过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），可推出，两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线的方程，即可求得点的坐标，从而可得，，三者关系，进而可得椭圆的离心率.
详解：∵．．三点共线，
∴
又∵
∴或
∵
∴
∵过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限）
∴，
∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点
∴直线的方程为为
∴
∵
∴，即.
∴，即.
∴
∵
∴
故选A.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
17．【答案】B
【解析】设则,即,又,故选B.
18．【答案】C
【解析】先根据椭圆越扁离心率越大判断a1．a2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a3．a4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．
解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a1＜a2＜1
根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a3＜a4
∴可得到a1＜a2＜a3＜a4故选A．
考点：圆锥曲线的共同特征．【基础】2 圆的一般方程-2课时练习
一．单项选择
1．已知P为以F为左焦点的椭圆上一点，M为线段PF中点，若（其中O为坐标原点），则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
2．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（ ）
A． B． C． D．4
试卷第2页，总13页
3．已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．曲线与曲线的
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
5．椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
6．设P是椭圆C：上任意一点，F1，F2是椭圆C的左．右焦点，则（ ）
A．PF1＋PF2＝ B．﹣2＜PF1﹣PF2＜2
C．1≤PF1·PF2≤2 D．0≤≤1
7．黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法中正确的个数为（ ）
①椭圆是“黄金椭圆；
②若椭圆，的右焦点且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”；
③设椭圆，的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”；
④设椭圆，，的左右顶点分别A，B，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”；
A．1 B．2 C．3 D．4
8．椭圆方程为，则它的左焦点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
11．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A． B．
C． D．
12．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
13．已知椭圆和圆，是椭圆上一动点，过向圆作两条切线，切点为，若存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．椭圆上的一点到椭圆焦点的距离的乘积为，当取最大值时，点的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
15．椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆的一个焦点为,则的值为( )
A． B． C． D．
17．已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】根据三角形中位线性质可求得，利用椭圆定义可求得结果.
【详解】
设椭圆右焦点为
分别为中点
由椭圆定义可知：
故选：
【点睛】
本题考查椭圆焦半径的求解问题，关键是能够熟练应用椭圆的定义来进行求解.
2．【答案】C
【解析】由图形可得椭圆的值，由求得的值即可得到答案.
【详解】
因为椭圆的，所以，
因为，所以，则.
故选：C
【点睛】
本题考查椭圆的焦距，考查对椭圆方程的理解，属于基础题，求解时注意求的是焦距，而不是半焦距.
3．【答案】B
【解析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是，得到一个直角三角形，可得要求的结果．
【详解】
解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，
由图
，由是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，
过球心向地面做垂线，垂足是，
在构成的直角三角形中，，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量．
4．【答案】D
【解析】分别求出两椭圆的长轴长．短轴长．离心率．焦距，即可判断．
【详解】
解：曲线表示焦点在轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.
曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，
离心率为，焦距为8.
对照选项，则正确．
故选：．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】根据椭圆的标准方程求出的值，再利用之间的关系，求出，最后求出焦距即可.
【详解】
因为，，得，所以焦距为.
故选：C
【点睛】
本题考查了根据椭圆的标准方程求椭圆焦距问题，属于基础题.
6．【答案】ACD
【解析】根据椭圆定义和向量的数量积运算，逐一推导，将每个选项验证一下。
【详解】
椭圆长轴长为，根据椭圆定义，故选A； 设P是椭圆C的任意一点，则，所以，B错误；
,而，所以，C正确；,又根据椭圆性质有，所以，D正确。故选:ACD.
【点睛】
本题考查椭圆定义和向量的数量积运算，是一道不错的综合题。
7．【答案】C
【解析】分别根据椭圆离心率的公式算出四种说法中每个椭圆的离心率，然后根据黄金椭圆的定义进行判断即可.
【详解】
①，，故是“黄金椭圆”；
②即故，则或（舍），是“黄金椭圆”；
③由可知，化简可知，则或（舍），是“黄金椭圆”；
④若，，成等比数列，则，则，不是“黄金椭圆.
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率的计算公式，考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力.
8．【答案】C
【解析】椭圆的方程写为标准方程，求出a,b，然后由求出c，即可得解.
【详解】
椭圆方程为：，则，所以，
椭圆的左焦点坐标为.
故选：C
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及焦点坐标，属于基础题.
9．【答案】B
【解析】由椭圆方程可得焦点在轴上,利用求得焦点坐标即可
【详解】
由题,焦点在轴上,则,所以,
则焦点坐标为和,
故选:B
【点睛】
本题考查椭圆的焦点坐标,属于基础题
10．【答案】C
【解析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
【详解】
椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，
P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.
【详解】
圆的圆心为M(0,6)，半径为，
设，则， 即，
∴当 时，，故的最大值为.
故选C.
【点睛】
本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.
12．【答案】D
【解析】利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果．
【详解】
解：椭圆，焦点在轴上，可得，，所以，
所以椭圆的焦点坐标．
故选：D．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
13．【答案】C
【解析】将存在在点使，转化为的最小角小于等于.画出图象，解直角三角形求得的取值范围，进而求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】
若存在点使，经分析知只需的最小角小于等于，
即只需，此时点为椭圆长轴的端点，画出大致图象如图所示，
连接，则在中，
因为，
所以，即，
所以，所以，
即，解得
又，所以椭圆的离心率的取值范围为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查椭圆和圆的几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
14．【答案】BD
【解析】根据，当时最大，进而求出点的坐标.
【详解】
解：记椭圆的两个焦点分别为，
有，
则知，
当且仅当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值，
∴点的坐标为或，
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程的性质，灵活运用椭圆的定义是解这道题的关键.
15．【答案】B
【解析】根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理．离心率公式即可求解.
【详解】
不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,
在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即
椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
故选：B
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．
16．【答案】A
【解析】利用，求得的值.
【详解】
由于，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.
17．【答案】C
【解析】用表示出，解出不等式得出的范围.
【详解】
由椭圆定义可知：，，
则，
所以，
因为，即，
，即.
.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.
18．【答案】D
【解析】先确定周长最大时的取值，再求解三角形的面积.
【详解】
设椭圆右焦点为，的周长为，则.
因为，所以;
此时，故的面积是故选D.
【点睛】
本题主要考查利用椭圆的定义求解最值问题.利用定义式实现两个焦半径之间的相互转化是求解关键.
