【精品】2 导数的几何意义-1课堂练习
一．单项选择
1．已知曲线在处的切线方程为，则函数图象的对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与曲线相切，则的最大值是（ ）
A． B．e C． D．
3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是，那么速度为零的时刻是（ ）
A．1秒末 B．2秒末 C．3秒末 D．2秒末或3秒末
4．函数f(x)= x+ln x的图象在x=1处的切线方程为（ ）
A．2x+y-1=0 B．2x-y-1=0 C．x-y+1=0 D．x+y+1=0
5．某物体的运动方程为，则该物体在时间上的平均速度为（ ）
A． B．2 C． D．6
6．已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知的最小值为0，则正实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
8．函数过点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．函数在处的切线与直线平行，则的值为（ ）
A．8 B．-8 C．7 D．-7
10．已知曲线（e为自然对数的底数）的一条切线为，则（ ）
A． B． C． D．
11．曲线在处的切线方程为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
12．已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（ ）
A． B． C． D．
13．设曲线在处的切线斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
14．已知曲线的一条切线的斜率为7，则该切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．或1 B．或2 C．或 D．或1
16．已知函数的部分图像如图所示，为函数的导函数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
17．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
18．函数在处的切线与直线平行，则的值为（ ）
A．-4 B．-5 C．7 D．8
参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】分析：利用导数的几何意义求出的值，然后可得答案.
详解：因为，曲线在处的切线方程为，
所以，结合可得
所以，解得
所以图象的对称轴方程为
故选：A
【点睛】
本题考查的是导数的几何意义，属于基础题.
2．【答案】A
【解析】分析：设切点，对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，得到，令，则，设，，根据导数的方法求出的最大值即可.
详解：设切点，
由得，则曲线在点处的切线斜率为，
则该点处的切线方程为，即，
又该直线方程为，
所以，因此，
令，则，
设，
则，
由得；
由得；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，
即的最大值是.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查由曲线的切线求参数，考查导数的方法求函数的最值，属于常考题型.
3．【答案】D
【解析】分析：求出导数，然后解方程可得．
详解：∵，∴.
令，得，解得或.
故选：D.
4．【答案】B
【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.
详解：
故选：B
【点睛】
本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．【答案】A
【解析】分析：根据平均速度公式可得答案.
详解：平均速度为.
故选：A.
6．【答案】B
【解析】分析： 根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.
详解：由题设有，化简可得即，
整理得到，同理，不妨设，
令，
因为当时，均为增函数，故为增函数，
同理当时，故为增函数，
故分别为在．上的唯一解，
又，故，
故为在的解，故即.
所以，
故选：B.
【点睛】
用导数求切线方程常见类型：
(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；
(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.
7．【答案】C
【解析】分析：转化为的图象在函数的图象的上方相切，利用两个函数的图象以及导数的几何意义可求得结果.
详解：因为函数的最小值为0，
所以的图象在函数的图象的上方相切，
因为，所以的图象与轴的交点在轴负半轴上，
由图可知当正数最小时，直线 与在内的图象相切，
设切点为，因为，所以，即，
因为，所以，所以，
由得.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：转化为的图象在函数的图象的上方相切是解题关键.
8．【答案】D
【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义求切线斜率，最后根据点斜式得结果.
详解：设切点为
因为
因此切线方程为
故选：D
【点睛】
本题考查导数几何意义．求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【答案】A
【解析】分析：先求导，然后由函数在处的切线与直线平行，利用求解.
详解：因为函数，
所以，
所以，
因为切线与直线平行，
所以，
解得，
故选：A
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义的应用，属于基础题.
10．【答案】A
【解析】分析：
根据导数的几何意义求出切线斜率，利用切点在切线与曲线上即可列方程求解.
详解：设切点为，
，
，
又，
，
又，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，考查了运算能力，属于中档题.
11．【答案】C
【解析】分析：求出的导数，可得切线的斜率，再由切线方程，可得的方程，解方程即可得到的值．
详解：解：的导数为，
可得在处的切线斜率为，
由切线方程为，可得，
解得．
故选：．
12．【答案】D
【解析】分析：由导数的几何意义求出，由点在切线上，可求出，即可求解.
详解：因为的图象在点处的切线方程是，
由导数的几何意义可得：，
因为点在切线上，则，
所以，
故选：D
13．【答案】B
【解析】分析：由题得，再利用对数运算化简求值得解.
详解：由题得
所以，
．
故选：B
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于熟练准确地运用对数的运算法则.
14．【答案】B
【解析】分析：先设切点坐标为，根据切线斜率求得切点坐标，再求切线方程即可.
详解：解：设切点坐标为，
则，
故，解得（舍去），
故，
故所求切线方程为，即.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，是基础题.
15．【答案】D
【解析】分析：求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.
详解：直线的斜率为，
对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
16．【答案】A
【解析】分析：导数的绝对值越大图像上升的越快，结合图形即可得出答案.
详解：解：导数的几何意义就是在点处的切线斜率且导数的绝对值越大图像上升的越快，
所以结合图形可得.
故选：A.
17．【答案】D
【解析】分析：利用导数的几何意义可求得结果.
详解：设所求点为，
因为，所以，因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为，
即，所以，
则当时，；当时，，
所以所求点坐标为或．
故选：D
18．【答案】D
【解析】分析：首先求出函数的导数，即可得到，由两条直线平行的斜率关系，得到方程求出参数的值.
详解：解：
，则
因为在处的切线与直线平行
解得
故选：
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于基础题．【精编】2 导数的几何意义-1课堂练习
一．单项选择
1．抛物线：在点处的切线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知曲线：，：，若恰好存在两条直线直线．与．都相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．与直线平行的曲线的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数，若函数存在，则当无限趋近于时，式子无限趋近于（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
9．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'（2）＝（ ）
A．7 B．4 C．0 D．﹣4
11．在抛物线第一象限内一点处的切线与轴交点横坐标记为，其中，已知，为的前项和，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．的图象与直线相切，则（ ）
A．1 B． C． D．
14．函数的图象在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
15．点P在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
16．曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．设函数，若函数的图象在处的切线与直线平行，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是，那么速度为零的时刻是（ ）
A．1秒末 B．2秒末 C．3秒末 D．2秒末或3秒末
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：先求出抛物线在处的导数，根据在处的导数等于该点切线斜率求出，再确定的焦点坐标即可.
详解：解：，所以在点处的切线斜率为，
切线的斜率为，所以，抛物线方程为，
的焦点坐标为，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用曲线在某点的导数等于该点切线斜率求出参数是解决本题的关键.
2．【答案】C
【解析】分析：设直线，，设与．的切点坐标分别为．，根据题目条件列出方程组，解得，同理可得，然后将问题转化为有两解. 然后构造函数，利用导数讨论的单调性及最值，得出的范围.
详解：设直线，，设与．的切点坐标分别为．，
则有，可得，
故，整理得：，
同理可得，当直线与．都相切时有：，
综上所述，只需有两解，
令，则，
故当时，，
当时，，
所以在上递增，在递减，
故，
所以只需满足即可.
故选：C.
【点睛】
本题考查曲线的切线方程，考查两条曲线的公切线问题，难度较大. 解答时，设出直线方程及切点坐标，根据导数的几何意义，列出关于切点横坐标和斜率的方程组然后设法求解.
3．【答案】B
【解析】分析：设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得，，将问题转化为与，，存在两个不同的交点；通过导数研究的图象，从而得到所求范围.
详解：由题意得
设切点坐标为：，
则过原点的切线斜率：，
整理得：，
存在两条过原点的切线，，，存在两个不同解，
设，，则问题等价于与存在两个不同的交点
又
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
的大致图象如下：
若与存在两个不同的交点，则，
解得：
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据方程解的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数问题，通过导数研究曲线的图象，通过数形结合的方式来确定交点个数，从而得到参数范围.
4．【答案】D
【解析】分析：对函数求导，由可求得切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.
详解：设为切点，则切线的斜率为，解得，
所以切点的坐标为.
故切线方程为，即，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
5．【答案】A
【解析】分析：首先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义求切线方程.
详解：，，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A
【点睛】
本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.
6．【答案】B
【解析】分析：根据导数定义进行拼凑整理，即得结果.
详解：根据导数定义可知，.
故选：B.
7．【答案】D
【解析】分析：求出导函数，设切点，写出切线方程，把用表示，得出的表达式，再构造新函数．利用导数求得最大值．
详解：由题得.设切点，
则;
则切线方程为
即
又因为是曲线的切线
所以
则.
令.
则.
则有时，在上递减;
时，在上递增﹐
所以时，取最大值
即的最大值为.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．解题关键是掌握求切线方程的方法，设切点为，求出切线方程，可把表示为的函数，然后再由导数求得最大值．
8．【答案】D
【解析】分析：设切点为，根据导数的几何意义求出切点坐标，再代入切线方程可得结果.
详解：设切点为，
由得，
所以，得，得，
所以切点为，
所以，得.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：根据导数的几何意义求解是解题关键.
9．【答案】B
【解析】分析：求得，得到，结合直线的点斜式，即可求解.
详解：由题意，函数，可得，
则，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：B.
10．【答案】A
【解析】，因为函数的图像在点处的切线方程是，所以，
，故选A．
11．【答案】D
【解析】分析：根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到与的关系，从而判断出是以为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式求出，得到的范围,即可求出.
详解：因为，，，所以切线：
令，，∴，，则，有．
∴是以为公比的等比数列,，而，．∴恒成立,即的最小值为128.
故选：D．
12．【答案】A
【解析】分析：求导可得解析式，令，即可求得的值，可得切线的斜率，将代入即可求得切点纵坐标的值，代入方程，即可求得答案.
详解：依题意，故；而，
故所求切线方程为，即，
故选:A．
13．【答案】D
【解析】分析：先对函数求导，然后设切点，根据导数的几何意义，切点在切线上以及切点在函数图像上列方程组求解.
详解：对函数求导，，设切点坐标为，则有，由②③得，代入①得：．故．
故选：D.
14．【答案】A
【解析】分析：首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
详解：解：由，得，
所以，，
所以切线方程为.
故选：A
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.
15．【答案】D
【解析】分析：要满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数的图象相交，而且点P在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
详解：过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行
因为，于是，所以，∴，
于是当点P到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，
∴ ，解得或
又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；
当时，函数的图象与直线相交，满足条件.
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题考查函数去切线问题，解答本题的关键是需要直线与函数的图象相交，而且点P在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为，利用导数求出切线的斜率的斜率和点到直线的距离公式求解，属于中档题.
16．【答案】B
【解析】分析：曲线在点处的切线与直线垂直，则切线斜率为，利用导数计算可得答案．
详解：设，曲线在点处的切线斜率为
解得，
故选：B
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查学生计算能力，属于基础题．
17．【答案】D
【解析】分析：利用导数的几何意义求在处的切线方程，它与直线平行有，结合基本不等式中“1”的代换求的最小值
详解：由题意，知：，则，而
∴函数在处的切线：
∵切线与直线平行，有且
∴当且仅当时等号成立
故选：D
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，根据两线平行有斜率相等从而得到相关参数的方程，结合基本不等式“1”的代换求目标代数式的最小值
18．【答案】D
【解析】分析：求出导数，然后解方程可得．
详解：∵，∴.
令，得，解得或.
故选：D.【精编】2 导数的几何意义随堂练习
一．单项选择
1．若一直线与曲线y＝lnx和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为（ ）
A．2e B．3
C． D．2
2．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，对于函数有下述四个结论：
①函数在其定义域上为增函数；
②对于任意的，都有成立；
③有且仅有两个零点；
④若在点处的切线也是的切线，则必是零点．
其中所有正确的结论序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．②④ D．②③④
4．已知函数是奇函数，则的图像在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象在点(0，f(0))处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是
A． B．
C． D．
7．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ）
A．4 B．2 C． D．8
8．过曲线上一点作曲线的切线，若切点的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
10．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．2 B． C． D．1
11．已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，不等式恒成立”的只有（ ）
A． B． C． D．
13．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．在抛物线上取横坐标为，的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
15．曲线上的一点，在P点处的切线的倾斜角为，则角是（ ）
A． B． C． D．
16．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．或
17．已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（ ）
A． B． C． D．
18．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】分析：分别求出曲线y＝lnx和曲线x2＝ay(a>0)在点处的切线方程，再由两切线为同一直线，列出方程组，即可得出a的值.
详解：设，函数y＝lnx的导数为，函数的导数为
则函数y＝lnx在处的切线方程为，即
同理可证，函数在处的切线方程为
由题意可知，解得
故选：A
2．【答案】A
【解析】分析：作出函数的图象，利用数形结合的思想判断的范围，找出临界点即相切时的取值，进而得出的范围．
详解：作出的图象，如图，
由图象可知：
要使恒成立，
只需函数的图象恒在图象的下方，
可得，
设与函数相切于点，
由的导数为，可得切线的斜率为，
即有，，
解得，
由图象可得，
综上可得的范围是，．
故选：A
【点睛】
解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.
3．【答案】D
【解析】分析：①对函数求导得，只能说明在和上都是增函数，不能说明在其整个定义域上为增函数；
②直接计算的值，分离常数后，在的条件下与比较大小即可；
③可得在和上都是增函数，由零点存在性定理即可判断；
④先写出在处的切线方程，再设直线与相切于，化简整理可得.
详解：①函数的定义域为，且，在和上都是增函数，但不能说明在其整个定义域上为增函数，故①错误；
②当时，有，，故②正确；
③在上是增函数，且，，在上有且仅有1个零点；在上是增函数，且，， 在上有且仅有1个零点，故有且仅有两个零点，故③正确；
④在点处的切线方程为，又也是的切线，设其切点为，则的斜率为，则，，即，又点在上，，，必是零点，故④正确.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数研究函数的切线方程．单调性和零点问题，有一定的综合性，解题的关键是利用清楚导数的几何意义以及导数与单调性的关系.
4．【答案】A
【解析】分析：由已知函数为奇函数求出a值，然后得到 和f (0)，再求出的图象在x=0处的切线方程.
详解：由函数是奇函数，
可知，即，检验可知，函数为奇函数，
，
，
，
又，
所以切线方程为，即，
故选：A
5．【答案】D
【解析】分析：根据导数的几何意义求切线方程.
详解：因为，所以，又因为，
所以所求切线方程为 ，即．
故选：D
6．【答案】B
【解析】分析：求导，根据直线与直线平行，令，求得切点坐标，然后写出切点方程.
详解：因为，
所以，
因为直线与直线平行，
令，
解得或（舍去），
所以切点的坐标为，
故直线的方程为，
即.
故选：B.
7．【答案】D
【解析】分析：求出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去，利用判别式为零可求的值.
详解：由得，当时，切线的斜率，
则曲线在点处的切线方程为，
因为它与相切，所以有唯一解，
即有唯一解，
故 ，解得，
故选：D.
8．【答案】B
【解析】分析：求导函数，根据切点的横坐标的取值范围，确定切线斜率的取值范围，从而可得切线的倾斜角的取值范围．
详解：解：求导函数可得，，
∵切点的横坐标的取值范围是，∴，
设切线的倾斜角为，则，
∵，∴．
故选：B．
【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，考查倾斜角与斜率的关系，属于基础题
9．【答案】D
【解析】分析：利用导数求瞬时速度即可
详解：∵，
∴
故选：D
【点睛】
本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.
10．【答案】B
【解析】分析：函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解
详解：，
所以函数在处的瞬时变化率为
故选：B
【点睛】
本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题.
11．【答案】B
【解析】分析：利用导数值等于切线的斜率可求得切点的坐标，再将切点坐标代入切线方程可求得实数的值.
详解：对函数求导得，令，可得，
所以切点坐标为，
将切点坐标代入切线方程得，解得.
故选：B.
12．【答案】A
【解析】分析：可化成，表示的是函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值，而四个选项中的函数都是上可导的函数，因此即转化为它们的导数值的绝对值在内是否恒小于1的问题，对四个选项中的函数分别求导，判断导函数的值域是否是或是的子集即可．
详解：解：因为对于区间上的任意，，恒成立”
所以函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1即可，又因为四个函数均是上的可导函数，则在内总能找到一条切线平行于任意两点连线，则问题即转化为
在上四个函数的导数绝对值是否满足恒在取值即可，
对于，当时，，故符合题意；
对于：由题意，，故不满足题意；
对于：函数，所以，故不满足题意；
对于，当时，，，故不满足题意．
故选：．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，实际上是对于可导函数而言，割线在沿着某个方向平移的过程中极限位置是某点处的切线，从而将问题转化为导数的问题求解．
13．【答案】B
【解析】分析：利用导数几何意义和过两点的直线的斜率公式，结合图象即得结果.
详解：如图所示，是函数的图象在（即点A）处切线的斜率，是函数的图象在（即点B）处切线的斜率，是割线的斜率．
由图象知,，即．
故选:B．
14．【答案】A
【解析】分析：求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出，求出抛物线的顶点坐标．
详解：解：两点坐标为；，
两点连线的斜率，
对于，
，
解得，
在抛物线上的切点为，
切线方程为，
该切线与圆相切，圆心到直线的距离圆半径，
解得或舍去），
抛物线方程为顶点坐标为．
故选：．
【点睛】
本题考查两点连线的斜率公式．考查导数在切点处的值为切线的斜率．考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．
15．【答案】D
【解析】分析：由曲线上处的导数值为知，该点处的切线斜率为，即可求切线倾斜角.
详解：由题意知：，则，
∴P点处的切线的斜率为，即，而，
∴.
故选：D.
16．【答案】A
【解析】分析：求出导函数,从而得到直线斜率,再利用点斜式求直线方程.
详解：因为，
所以，
，，
故切线方程为，即．
故选：A
17．【答案】B
【解析】分析：分别求出函数与的导数，设出切点写出切线方程，利用对应系数相等列出方程，构造函数，利用导数判断出单调性求出最值，可得实数a的最小值．
详解：，
设和的切点分别为，则和切线方程分别为，
即与存在公切线，则方程有解，即，
在上递减，在递增，在处取到最小值，∴的最小值为，即a的最小值为．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是利用点斜式方程写出切线，列出方程，并构造函数求出导函数得出单调性和最值，可得a的最小值，考查学生计算能力，属于中档题．
18．【答案】C
【解析】分析：由可求得导函数及对应的函数值，进而可求，即可得处的切线方程
详解：由原函数知：且
∴，则在点处的切线方程为
故选：C
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，根据导数的几何意义求函数上某点处的切线方程【精挑】2 导数的几何意义随堂练习
一．单项选择
1．（ ）
A． B． C． D．
2．曲线上的一点，在P点处的切线的倾斜角为，则角是（ ）
A． B． C． D．
3．与有一条斜率为2的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．4 C．c D．2c
5．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，不等式恒成立”的只有（ ）
A． B． C． D．
6．曲线在点处的切线的斜率为-4，则（ ）
A．-1 B．-3 C．-4 D．-7
7．已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数是奇函数，则的图像在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．曲线在处的切线与曲线相切，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
试卷第10页，总10页
11．函数的图象与直线相切，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
12．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
14．已知直线与曲线相切于点A．与曲线的另一交点为B，若A．B两点对应的横坐标分别为，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
15．函数的图象在点(0，f(0))处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
18．曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：利用导数的定义进行转化求解即可.
详解：
故选：B.
2．【答案】D
【解析】分析：由曲线上处的导数值为知，该点处的切线斜率为，即可求切线倾斜角.
详解：由题意知：，则，
∴P点处的切线的斜率为，即，而，
∴.
故选：D.
3．【答案】B
【解析】分析：由题意可求出公切线方程：，求出曲线的切点，代入公切线方程即可求解.
详解：由，由点斜式得切线方程：，
对曲线求导，，
代入得：，
将代入，
得：.
故选：B
4．【答案】B
【解析】分析：根据函数的平均变化率的公式，求解即可.
详解：
故选：B
【点睛】
求平均变化率的方法：利用公式.
5．【答案】A
【解析】分析：可化成，表示的是函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值，而四个选项中的函数都是上可导的函数，因此即转化为它们的导数值的绝对值在内是否恒小于1的问题，对四个选项中的函数分别求导，判断导函数的值域是否是或是的子集即可．
详解：解：因为对于区间上的任意，，恒成立”
所以函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1即可，又因为四个函数均是上的可导函数，则在内总能找到一条切线平行于任意两点连线，则问题即转化为
在上四个函数的导数绝对值是否满足恒在取值即可，
对于，当时，，故符合题意；
对于：由题意，，故不满足题意；
对于：函数，所以，故不满足题意；
对于，当时，，，故不满足题意．
故选：．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，实际上是对于可导函数而言，割线在沿着某个方向平移的过程中极限位置是某点处的切线，从而将问题转化为导数的问题求解．
6．【答案】D
【解析】分析：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，即可得到方程，解得即可；
详解：因为，
所以
所以，解得.
故选：D
7．【答案】A
【解析】分析：由题意求得，代入函数解析式，把问题转化为恒成立，对分类讨论，分离参数，再由导数求最值得答案．
详解：解：因为，所以，
又函数的图象在处的切线方程为，
所以，
解得，所以，
因为恒成立，所以恒成立．
当时，成立．
当时，令，则．
当时，，
在和上单调递减．
当时，，单调递增，
当时，恒成立，
所以；
当时，恒成立，
而，所以．
综上，，所以m的取值范围为．
故选：A
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点．不等式证明常转化为函数的单调性．极(最)值问题处理．
8．【答案】C
【解析】分析：求得和的值，利用点斜式可得出所求切线方程.
详解：，，则，.
因此，函数在点处的切线方程为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
9．【答案】A
【解析】分析：由已知函数为奇函数求出a值，然后得到 和f (0)，再求出的图象在x=0处的切线方程.
详解：由函数是奇函数，
可知，即，检验可知，函数为奇函数，
，
，
，
又，
所以切线方程为，即，
故选：A
10．【答案】B
【解析】分析：先求出切线方程是，再求切线在曲线的切点为 ，最后求出即可.
详解：解：因为曲线，所以，，
所以曲线在处的切线方程是，
因为曲线，所以，令，解得：，
将代入得：，
所以切线在曲线的切点为
将代入得.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.
11．【答案】B
【解析】分析：设切点坐标为，根据函数与直线相切，由求解.
详解：设切点坐标为，则
所以.
解得
故选：B
12．【答案】C
【解析】分析：由可求得导函数及对应的函数值，进而可求，即可得处的切线方程
详解：由原函数知：且
∴，则在点处的切线方程为
故选：C
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，根据导数的几何意义求函数上某点处的切线方程
13．【答案】D
【解析】分析：利用导数的几何意义，求得在点处的切线方程，再根据切线过原点，即可求得参数.
详解：令，则，
所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以该切线过原点，
所以，解得，
即.
故选：D.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，只需准确写出切线方程即可，属基础题.
14．【答案】C
【解析】分析：求出导数，可得切线斜率为，由直线过定点，可得，即可求解.
详解：可得，直线l与相切于点A，，
则切线斜率为，
又直线过定点，则，
∴．
故选：C.
15．【答案】D
【解析】分析：根据导数的几何意义求切线方程.
详解：因为，所以，又因为，
所以所求切线方程为 ，即．
故选：D
16．【答案】A
【解析】分析：作出函数的图象，利用数形结合的思想判断的范围，找出临界点即相切时的取值，进而得出的范围．
详解：作出的图象，如图，
由图象可知：
要使恒成立，
只需函数的图象恒在图象的下方，
可得，
设与函数相切于点，
由的导数为，可得切线的斜率为，
即有，，
解得，
由图象可得，
综上可得的范围是，．
故选：A
【点睛】
解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.
17．【答案】D
【解析】分析：利用导数求瞬时速度即可
详解：∵，
∴
故选：D
【点睛】
本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.
18．【答案】A
【解析】分析：由垂直关系知切线的斜率为4，利用曲线切点上的斜率等于切线斜率，即可求切点坐标，进而写出切线方程.
详解：与直线垂直的直线的斜率为4，
对曲线求导，得，当时，得，
∴切点为，切线为，即.
故选：A.【特供】2 导数的几何意义随堂练习
一．单项选择
1．已知函数，，设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则（ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
3．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．-2 B． C． D．2
4．与有一条斜率为2的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线的斜率为-4，则（ ）
A．-1 B．-3 C．-4 D．-7
6．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学．航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时钍的含量．已知时，钍含量的瞬时变化率为，则（ ）
A．贝克 B．贝克 C．贝克 D．贝克
7．已知函数满足，则＝（ ）
A． B． C．6 D．3
8．已知直线是曲线的切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
9．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
11．曲线在点处的切线方程是（ ） ．
A． B．
C． D．
12．如图，函数的图象在点的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．若直线是曲线的切线，且，则实数的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．5
14．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．直线与函数的图象相切于点，则（ ）
A．2 B． C． D．
17．函数的图象与直线相切，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
18．某质点的位移函数是（），则当时，它的速度对的瞬时变化率（即加速度）是（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】分析：设两曲线的公共点为，根据导数的几何意义求出，再根据可解得结果.
详解：设两曲线的公共点为，
由得，由得，
根据导数的几何意义可知两曲线在点处的切线的斜率分别为和，
依题意可得，整理得，解得或（舍），
又，将代入可得.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据导数的几何意义求解是解题关键.
2．【答案】C
【解析】分析：根据瞬时变化率的求解方法求解即可.
详解：解：根据导数的定义：
，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.
3．【答案】B
【解析】分析：设切点坐标为，利用导数求出切线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值进而可求得直线的斜率.
详解：因为，设切点坐标为， ，
直线的斜率为，所以直线的方程为，
将点代入直线的方程得，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
4．【答案】B
【解析】分析：由题意可求出公切线方程：，求出曲线的切点，代入公切线方程即可求解.
详解：由，由点斜式得切线方程：，
对曲线求导，，
代入得：，
将代入，
得：.
故选：B
5．【答案】D
【解析】分析：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，即可得到方程，解得即可；
详解：因为，
所以
所以，解得.
故选：D
6．【答案】C
【解析】分析：利用可求得，代入即可求得结果.
详解：由得：，
当时，，
解得：，，
当时，.
故选：C.
7．【答案】C
【解析】分析：结合导数的定义，，将原式进行变形即可得解．
详解：解：．
故选：．
【点睛】
本题考查导数的定义，考查学生的运算能力，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】分析：设出切点坐标，结合切线过原点列方程，解方程求得，进而求得的值.
详解：设切点坐标为，
由，，所以切线的斜率为，
由于直线过原点，
所以切线过原点，
所以，
所以切线的斜率为，也即.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线的斜率，属于基础题.
9．【答案】A
【解析】分析：求出函数在处的导数值，即切线斜率，即可求出切线方程.
详解：，，
当时，，故切线斜率为，
切线方程为，即.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.
10．【答案】D
【解析】分析：分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围．
详解：在点的切线斜率为，
在点的切线斜率为，
如果两个曲线存在公共切线，那么：．
又由斜率公式得到，， 由此得到，
则有解，
由，的图象有公共点即可．
当直线与曲线相切时，设切点为，则
，且，可得
即有切点，，故的取值范围是：．
故选:.
【点睛】
本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．
11．【答案】C
【解析】分析：利用导数求出切线的斜率即得解.
详解：设
由题得，
故切线斜率为，
所以切线方程为，
即．
故选：C．
【点睛】
结论点睛：过曲线上的点的切线方程为.
12．【答案】A
【解析】分析：在点处的斜率就是在该点处的导数，就是切线斜率，问题得解．
详解：在点处的斜率就是在该点处的导数，就是切线斜率，即，
又，
故选：A．
13．【答案】C
【解析】分析：求出函数的导数，设切点为，由条件得到，，即有，再对求导，求出单调区间，极值即为最值，即可得到实数的最小值．
详解：的导数为，
由于直线是曲线的切线，设切点为，则，
∴，又，
∴ ， ，
当时，，函数递增，
当时，，函数递减，
∴为极小值点，也为最小值点，∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，属于基础题．
14．【答案】C
【解析】分析：先求出，再求出切点和切线的斜率即得解.
详解：因为，
所以，
联立可解得，
所以，
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，
所以所求的切线方程为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的解析式的求法，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．【答案】A
【解析】分析：由题意求得，代入函数解析式，把问题转化为恒成立，对分类讨论，分离参数，再由导数求最值得答案．
详解：解：因为，所以，
又函数的图象在处的切线方程为，
所以，
解得，所以，
因为恒成立，所以恒成立．
当时，成立．
当时，令，则．
当时，，
在和上单调递减．
当时，，单调递增，
当时，恒成立，
所以；
当时，恒成立，
而，所以．
综上，，所以m的取值范围为．
故选：A
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点．不等式证明常转化为函数的单调性．极(最)值问题处理．
16．【答案】B
【解析】分析：由切线的斜率计算两次可得，再对等式变形，两边取对数，即可得答案；
详解：由已知，且.
因为，所以，即，
所以，所以，即，
两边同时取自然对数得，
整理的，
故选：B.
【点睛】
曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.
17．【答案】B
【解析】分析：设切点坐标为，根据函数与直线相切，由求解.
详解：设切点坐标为，则
所以.
解得
故选：B
18．【答案】A
【解析】分析：根据题意可先求出，再求出即可.
详解：由题可得，即，
，
.
故选：A.
