【精品】2 导数的几何意义-1课时练习
一．单项选择
1．已知曲线（e为自然对数的底数）的一条切线为，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知的最小值为0，则正实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
3．与直线平行的曲线的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．点P在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
5．已知函数的图象与轴切于点，则的（ ）
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极小值为，极大值为0 D．极小值为0，极大值为
6．函数过点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．曲线上的点到直线的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的部分图像如图所示，为函数的导函数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
10．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．或1 B．或2 C．或 D．或1
12．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
13．已知曲线：，：，若恰好存在两条直线直线．与．都相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知曲线在处的切线方程为，则函数图象的对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
16．若函数是定义在上的奇函数，则的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
18．的图象与直线相切，则（ ）
A．1 B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】分析：
根据导数的几何意义求出切线斜率，利用切点在切线与曲线上即可列方程求解.
详解：设切点为，
，
，
又，
，
又，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，考查了运算能力，属于中档题.
2．【答案】C
【解析】分析：转化为的图象在函数的图象的上方相切，利用两个函数的图象以及导数的几何意义可求得结果.
详解：因为函数的最小值为0，
所以的图象在函数的图象的上方相切，
因为，所以的图象与轴的交点在轴负半轴上，
由图可知当正数最小时，直线 与在内的图象相切，
设切点为，因为，所以，即，
因为，所以，所以，
由得.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：转化为的图象在函数的图象的上方相切是解题关键.
3．【答案】D
【解析】分析：对函数求导，由可求得切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.
详解：设为切点，则切线的斜率为，解得，
所以切点的坐标为.
故切线方程为，即，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
4．【答案】D
【解析】分析：要满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数的图象相交，而且点P在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
详解：过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行
因为，于是，所以，∴，
于是当点P到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，
∴ ，解得或
又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；
当时，函数的图象与直线相交，满足条件.
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题考查函数去切线问题，解答本题的关键是需要直线与函数的图象相交，而且点P在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为，利用导数求出切线的斜率的斜率和点到直线的距离公式求解，属于中档题.
5．【答案】A
【解析】分析：由导数的几何意义求得后，再求极值．
详解：，则，解得，，
当或时，，时，，
在和上递增，在上递减，
所以极大值为，极小值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数求极值，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义求切线斜率，最后根据点斜式得结果.
详解：设切点为
因为
因此切线方程为
故选：D
【点睛】
本题考查导数几何意义．求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．【答案】B
【解析】分析：求得，得到，结合直线的点斜式，即可求解.
详解：由题意，函数，可得，
则，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：B.
8．【答案】A
【解析】分析：设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，利用导数的几何意义求得切点，再利用点到直线的距离公式即可得出结果.
详解：设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.
设切点为，对函数求导得，
由，可得，则，所以，切点为.
则点到直线的距离.
曲线上的点到直线的最短距离是.
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离．点到直线的距离公式，属于中档题.
9．【答案】A
【解析】分析：导数的绝对值越大图像上升的越快，结合图形即可得出答案.
详解：解：导数的几何意义就是在点处的切线斜率且导数的绝对值越大图像上升的越快，
所以结合图形可得.
故选：A.
10．【答案】D
【解析】分析：求导得到，再根据切线方程的公式计算得到答案.
详解：曲线为，所以；当时，，
曲线在点处的切线方程为，即，
故选：D.
【点睛】
本题考查了切线方程，属于简单题.
11．【答案】D
【解析】分析：求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.
详解：直线的斜率为，
对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
12．【答案】D
【解析】分析：设切点为，根据导数的几何意义求出切点坐标，再代入切线方程可得结果.
详解：设切点为，
由得，
所以，得，得，
所以切点为，
所以，得.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：根据导数的几何意义求解是解题关键.
13．【答案】C
【解析】分析：设直线，，设与．的切点坐标分别为．，根据题目条件列出方程组，解得，同理可得，然后将问题转化为有两解. 然后构造函数，利用导数讨论的单调性及最值，得出的范围.
详解：设直线，，设与．的切点坐标分别为．，
则有，可得，
故，整理得：，
同理可得，当直线与．都相切时有：，
综上所述，只需有两解，
令，则，
故当时，，
当时，，
所以在上递增，在递减，
故，
所以只需满足即可.
故选：C.
【点睛】
本题考查曲线的切线方程，考查两条曲线的公切线问题，难度较大. 解答时，设出直线方程及切点坐标，根据导数的几何意义，列出关于切点横坐标和斜率的方程组然后设法求解.
14．【答案】A
【解析】分析：利用导数的几何意义求出的值，然后可得答案.
详解：因为，曲线在处的切线方程为，
所以，结合可得
所以，解得
所以图象的对称轴方程为
故选：A
【点睛】
本题考查的是导数的几何意义，属于基础题.
15．【答案】D
【解析】分析：由导数的几何意义转化条件得，进而可得，由基本不等式即可得解.
详解：因为函数的导数，
由切线的方程可得切线的斜率为1，
所以即切点的横坐标为，所以切点为，
代入得，即，
又．为正实数，
所以，
当且仅当，时，等号成立.
所以的最小值是.
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
16．【答案】D
【解析】分析：依题意可得，即可求出参数，再求出函数的导数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
详解：解：由题意得，所以，所以，则，所以，又，所以所求的切线方程为，即．
故选：D．
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.
17．【答案】D
【解析】分析：利用导数的几何意义可求得结果.
详解：设所求点为，
因为，所以，因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为，
即，所以，
则当时，；当时，，
所以所求点坐标为或．
故选：D
18．【答案】D
【解析】分析：先对函数求导，然后设切点，根据导数的几何意义，切点在切线上以及切点在函数图像上列方程组求解.
详解：对函数求导，，设切点坐标为，则有，由②③得，代入①得：．故．
故选：D.【特供】2 导数的几何意义-1作业练习
一．单项选择
1．已知直线l分别与函数和的图象都相切，且切点的横坐标分别为，，则（ ）
A．e B． C．1 D．2
2．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．－2 B．－2或－1 C．－1或2 D．－1
3．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与曲线相切，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
6．曲线上任意一点P处的切线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数是定义在上的奇函数，则的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．若曲线在其上一点处的切线的斜率为4，则（ ）
A．2 B． C． D．
11．若曲线与直线相切（是自然对数的底数），则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
12．函数的图象在点（）处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
13．若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．1 B．2或 C．2 D．1或
14．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数的图象与轴切于点，则的（ ）
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极小值为，极大值为0 D．极小值为0，极大值为
16．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
17．曲线上的点到直线的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．8
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】分析：设l与的切点为，与的切点为，利用斜率相等即可建立方程求出.
详解：设l与的切点为，与的切点为，
公切线的斜率：，可得：，
所以，．
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与曲线相切问题，利用直线的斜率等于在切点处的导数值可建立等量关系求解，属于中档题.
2．【答案】A
【解析】分析：对函数求导，根据题中条件，得到，列出方程求解，即可得出结果.
详解：因为，所以，
又曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即，
所以或，
则或，
当时，，此时切线方程为，即，显然与平行；
当时，，此时切线方程为，即与重合，不满足题意；
故选：A.
【点睛】
思路点睛：
由导数的几何意义求解曲线的切线问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的几何意义，得出切线的斜率（或根据切线斜率列出方程求参数），再由直线的点斜式方程，即可得出结果.
3．【答案】D
【解析】分析：求导可得解析式，令，即可求得的值，可得切线的斜率k，将的值代入，即可求得切点纵坐标的值，代入方程，即可求得答案.
详解：由题意得：，
令，可得，解得，
根据导数的几何意义可得，在点处切线斜率，
又，
所以，即切点为，
所以切线方程为，整理得：.
故选：D
4．【答案】D
【解析】分析：由导数的几何意义转化条件得，进而可得，由基本不等式即可得解.
详解：因为函数的导数，
由切线的方程可得切线的斜率为1，
所以即切点的横坐标为，所以切点为，
代入得，即，
又．为正实数，
所以，
当且仅当，时，等号成立.
所以的最小值是.
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
5．【答案】B
【解析】分析：设直线与曲线相切时，切点坐标为，求导，且，解出和的值.
详解：设切点坐标为，求导得，则，得，又，得.
故选：B.
6．【答案】B
【解析】分析：先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求得曲线上的任意一点的斜率的取值范围.
详解：因为，
所以，
所以，
所以曲线上任意一点P处的切线斜率的取值范围是.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
7．【答案】D
【解析】分析：求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，的关系式，再由基本不等式可得所求最小值．
详解：解：函数的导数为，
可得函数的图象在处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，可得，，
则，
当且仅当即时，取得等号，
则的最小值为，
故选：．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件和基本不等式的运用，考查方程思想和运算能力．推理能力，属于中档题．
8．【答案】C
【解析】分析：利用导数的几何意义得出切线方程.
详解：，，∴，．
故选：C
9．【答案】D
【解析】分析：依题意可得，即可求出参数，再求出函数的导数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
详解：解：由题意得，所以，所以，则，所以，又，所以所求的切线方程为，即．
故选：D．
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.
10．【答案】C
【解析】分析：利用导数的几何意义即可求解.
详解：由得，
所以，
可得：.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
11．【答案】D
【解析】分析：设切点坐标为，则根据切点在直线上可知，然后再利用列出关于与的方程组求解.
详解：设切点坐标为，，则根据题意得：
，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据曲线的切线方程求参数的值，解答时注意先设出切点的坐标，将切点坐标代入切线方程以及利用切点处的导数值为斜率列出方程组求解即可，另外求解与切线方程有关的问题时，注意“在某一点的切线”与“过某一点的切线”的区别.
12．【答案】D
【解析】分析：求导可得，代入切点横坐标，即可求得答案.
详解：由题意得：，
所以在点（）切线的斜率.
故选：D
13．【答案】D
【解析】分析：由两线垂直可知处切线的斜率为3，利用导数的几何意义有，即可求的值.
详解：由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为3，
又∵，即，
∴或，
故选：D．
14．【答案】D
【解析】分析：先利用导数的几何意义求得，然后利用诱导公式．二倍角公式．同角三角函数的关系将化简为，再代值可得答案
详解：解：依题意，，所以，
所以
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题.
15．【答案】A
【解析】分析：由导数的几何意义求得后，再求极值．
详解：，则，解得，，
当或时，，时，，
在和上递增，在上递减，
所以极大值为，极小值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数求极值，属于基础题．
16．【答案】D
【解析】分析：求导得到，再根据切线方程的公式计算得到答案.
详解：曲线为，所以；当时，，
曲线在点处的切线方程为，即，
故选：D.
【点睛】
本题考查了切线方程，属于简单题.
17．【答案】A
【解析】分析：设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，利用导数的几何意义求得切点，再利用点到直线的距离公式即可得出结果.
详解：设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.
设切点为，对函数求导得，
由，可得，则，所以，切点为.
则点到直线的距离.
曲线上的点到直线的最短距离是.
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离．点到直线的距离公式，属于中档题.
18．【答案】B
【解析】分析：依题意可得即可求出参数的值，再求出函数的导函数，求出函数的单调区间，列出表格即可求出函数在给定的区间上的最小值；
详解：解:由题意可得．由，解得，经检验得时，有极大值，所以，．令，得，，，的值随的变化情况如下表：
2
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数值 3 8 8
由表可知在上的最小值为．
故选：B【精选】2 导数的几何意义同步练习
一．单项选择
1．曲线在点处的切线的斜率为-4，则（ ）
A．-1 B．-3 C．-4 D．-7
2．已知函数在处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．如图，函数的图象在点的切线方程是，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若直线是曲线的切线，且，则实数的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．5
5．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A． B．1 C．或3 D．3
6．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线 在点处切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．-2 B． C． D．2
9．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
11．（ ）
A． B． C． D．
12．曲线在点处的切线方程是（ ） ．
A． B．
C． D．
13．函数，在处的切线方程为，则．的值分别为（ ）
A．2和3 B．4和3
C．4和4 D．4和5
14．曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数，，设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
16．已知直线与曲线相切于点A．与曲线的另一交点为B，若A．B两点对应的横坐标分别为，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
17．曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
18．已知函数，则这个函数在点处的切线方程是
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】D
【解析】分析：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，即可得到方程，解得即可；
详解：因为，
所以
所以，解得.
故选：D
2．【答案】B
【解析】分析：先求导，再求切线斜率，结合两直线垂直的条件列关系，计算即得结果.
详解：函数的导数为，由曲线在处的切线与直线垂直，可得，解得.
故选：B.
3．【答案】A
【解析】分析：在点处的斜率就是在该点处的导数，就是切线斜率，问题得解．
详解：在点处的斜率就是在该点处的导数，就是切线斜率，即，
又，
故选：A．
4．【答案】C
【解析】分析：求出函数的导数，设切点为，由条件得到，，即有，再对求导，求出单调区间，极值即为最值，即可得到实数的最小值．
详解：的导数为，
由于直线是曲线的切线，设切点为，则，
∴，又，
∴ ， ，
当时，，函数递增，
当时，，函数递减，
∴为极小值点，也为最小值点，∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】分析：根据导数的几何意义求出曲线在处的切线，将切线斜率代入到中，求出切点坐标，根据切点在曲线上可得的值.
详解：由得，，故，
故切线方程为.
由得.
令，解得.
代入切线方程，求得切点为或.将切点坐标代入，求得或.
故选：C.
6．【答案】A
【解析】分析：由曲线在点处的切线方程为可求出，，由此可求出，，根据点斜式即可求出.
详解：由切线方程为切线方程为可知，，
∴，
∴切线为，即.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.
7．【答案】C
【解析】分析：由可求得导函数及对应的函数值，进而可求，即可得处的切线方程
详解：由原函数知：且
∴，则在点处的切线方程为
故选：C
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，根据导数的几何意义求函数上某点处的切线方程
8．【答案】B
【解析】分析：设切点坐标为，利用导数求出切线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值进而可求得直线的斜率.
详解：因为，设切点坐标为， ，
直线的斜率为，所以直线的方程为，
将点代入直线的方程得，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
9．【答案】A
【解析】分析：求出函数在处的导数值，即切线斜率，即可求出切线方程.
详解：，，
当时，，故切线斜率为，
切线方程为，即.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.
10．【答案】B
【解析】分析：根据导数的定义与极限的运算可得．
详解：．
故选：B．
11．【答案】B
【解析】分析：利用导数的定义进行转化求解即可.
详解：
故选：B.
12．【答案】C
【解析】分析：利用导数求出切线的斜率即得解.
详解：设
由题得，
故切线斜率为，
所以切线方程为，
即．
故选：C．
【点睛】
结论点睛：过曲线上的点的切线方程为.
13．【答案】C
【解析】分析：求导，根据导函数的几何意义可得选项.
详解：，则，，
故切线为，比较，.
故选：C.
【点睛】
本题考查导函数的几何意义，求在函数上一点的切线方程，属于基础题.
14．【答案】A
【解析】分析：由垂直关系知切线的斜率为4，利用曲线切点上的斜率等于切线斜率，即可求切点坐标，进而写出切线方程.
详解：与直线垂直的直线的斜率为4，
对曲线求导，得，当时，得，
∴切点为，切线为，即.
故选：A.
15．【答案】A
【解析】分析：设两曲线的公共点为，根据导数的几何意义求出，再根据可解得结果.
详解：设两曲线的公共点为，
由得，由得，
根据导数的几何意义可知两曲线在点处的切线的斜率分别为和，
依题意可得，整理得，解得或（舍），
又，将代入可得.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据导数的几何意义求解是解题关键.
16．【答案】C
【解析】分析：求出导数，可得切线斜率为，由直线过定点，可得，即可求解.
详解：可得，直线l与相切于点A，，
则切线斜率为，
又直线过定点，则，
∴．
故选：C.
17．【答案】D
【解析】由题可得，则切线的斜率为，又，所以切线方程为，故选D．
18．【答案】C
【解析】分析：先求导函数，根据切线的斜率等于切点处的导数结合点斜式即可求切线方程.
详解：当时，，则切点为，
导函数，
所以点处的切线的斜率
所以函数在点处的切线方程为，
故选C.
【点睛】
本题考查导数几何意义的应用，属于基础题.【精挑】2 导数的几何意义-1同步练习
一．单项选择
1．曲线在点处的切线与x轴．直线围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．曲线在点(，0)处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．- D．
4．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．函数的图像在处的切线方程是，则等于（ ）
A．1 B．0 C． D．2
试卷第8页，总9页
7．已知任意实数，关于的不等式恒成立，则实数的最大整数值为（ ）
A． B． C． D．
8．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，函数的图象在点处的切线是，则等于（ ）
A． B．2 C． D．1
10．曲线在处的切线如图所示，则（ ）
A．0 B． C． D．
11．设函数，若函数的图象在处的切线与直线平行，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C． D．
15．曲线在点处的切线斜率为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
16．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为（ ）.
A．4 B．3 C．2 D．1
18．已知直线是曲线的切线，则的方程不可能是（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】分析：先根据的导数的几何意义计算出曲线在点处的切线方程，然后计算出切线与轴的交点及与直线的交点坐标，然后计算三角形的面积.
详解：因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为.
可得直线与x轴．直线的交点坐标分别为，，
所以所求三角形的面积.
故选：A．
2．【答案】C
【解析】分析：先求函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线的斜率，然后求切线方程即可.
详解：由得
所以曲线在点处的切线的斜率为
所以曲线在点处的切线方程为：，即
故选：C
3．【答案】B
【解析】分析：求出函数的导数，然后可得答案.
详解：
所以曲线在点(，0)处的切线的斜率为
故选：B
4．【答案】B
【解析】分析：因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线的距离最小，所以利用导数求出点P处的切线，然后利用两平行线间的距离公式可得答案
详解：因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线平行时，点P到直线的距离最小.
因为直线的斜率等于1，曲线的导数，
令，可得x＝1或 (舍去)，所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为(1，0)，
所以点P到直线的最小距离为，
故选：B
【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，考查两平行线间的距离公式，考查转化思想和计算能力，属于基础题
5．【答案】B
【解析】分析：利用在点处的切线方程为可得然后利用导数的几何意义求切线斜率即可.
详解：因为曲线在点处的切线方程为, 所以
因为所以
所以
故选：B.
6．【答案】A
【解析】分析：根据导数的几何意义求解即可.
详解：根据切点处的导数值为切线的斜率，故为切线斜率，
又切线方程是，即
又为切点纵坐标，， 故，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查的是有关某个点处的函数值与导数的值的运算结果问题，解题的关键是明确切点在切线上，切线的斜率即为函数在该点处的导数，从而求得结果，考查学生的分析能力，属于基础题.
7．【答案】B
【解析】分析：由关于的不等式恒成立，可知当时，函数的图像在直线下方，利用导数求出函数的单调区间，画出函数的图像，利用图像求解即可
详解：解：令（），由题意知当时，函数的图像在直线下方，
由，得，
当变化时，，的变化如下表
1
0
所以的大致图像如图所示
当时，由图像知不成立，
当时，因为，所以当时不成立；
当时，设直线与的图像相切于点，则
，得，解得，
所以，
所以当时，函数的图像在直线下方，
所以当时，，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数的单调性，考查数形结合的思想，解题的关键是把不等式恒成立，转化为当时，函数的图像在直线下方，然后利用函数图像求解，属于中档题
8．【答案】D
【解析】分析：求出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程得解.
详解：点在曲线上，，
，即切线斜率为，
利用点斜式得切线方程为，即．
故选：D
【点睛】
结论点睛：函数上一点处的切线方程为.
9．【答案】D
【解析】分析：求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
详解：由图象可得函数的图象在点P处的切线是l，
与x轴交于点，与y轴交于点，
则可知l：，
，，
，
故选：D．
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关导数的几何意义的问题，解题方法如下：
（1）根据图中所给的点的坐标，求得切线方程；
（2）利用切线方程，根据横坐标，求得点的纵坐标的值；
（3）根据切线方程得到斜率，求得的值；
（4）作和得结果.
10．【答案】C
【解析】分析：由图示求出直线方程，然后求出，，即可求解.
详解：由直线经过，，可求出直线方程为：
∵在处的切线
∴，
∴
故选：C
【点睛】
用导数求切线方程常见类型：
(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；
(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标 ，再写出切线方程：.
11．【答案】D
【解析】分析：利用导数的几何意义求在处的切线方程，它与直线平行有，结合基本不等式中“1”的代换求的最小值
详解：由题意，知：，则，而
∴函数在处的切线：
∵切线与直线平行，有且
∴当且仅当时等号成立
故选：D
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，根据两线平行有斜率相等从而得到相关参数的方程，结合基本不等式“1”的代换求目标代数式的最小值
12．【答案】A
【解析】分析：利用导数求得切线斜率，然后求出切点坐标，再结合点斜式求得切线方程．
详解：，，又，故切点为
所以函数在处的切线方程为．
故选：A
13．【答案】C
【解析】分析：由已知不等式得新函数的切线的斜率均大于，求出的导数，由不等式恒成立求解．
详解：因为在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，
即在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，它表示函数在上任意两点间连线的斜率大于，也即在上任意两点间连线的斜率大于．
所以在恒成立，
变形得，
时，，即，当且仅当时等号成立．
所以，的最小值为．
故选：C．
【点睛】
结论点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键掌握斜率与导数的关系．时，表示图象上两点连线的斜率，而当无限趋近于（）时，无限趋近于函数在点处切线的斜率，即．
14．【答案】B
【解析】分析：求出函数在处的导数值，即切线斜率.
详解：，，
当时，，故切线斜率为2.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求切线斜率，属于基础题.
15．【答案】B
【解析】分析：首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果.
详解：函数，可得，
所以切线的斜率为，解得，
故选：B.
16．【答案】C
【解析】分析：利用导数求得函数在处的导数值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
详解：，，则所求切线的斜率为，
因此，曲线在点处的切线方程为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
17．【答案】B
【解析】分析：对函数求导，求出其在处的切线斜率，再由题中条件，即可得出结果.
详解：由得，
则曲线在处的切线斜率为，
又直线与曲线在处的切线平行，
所以，即.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由直线与曲线的切线平行求参数，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.
18．【答案】B
【解析】分析：利用导数求出曲线的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线的切线，由此可得出结论.
详解：对于函数，定义域为，则，
所以，曲线的切线的斜率的取值范围是.
对于A选项，直线的斜率为，令，解得，此时，
点在直线上，则直线与曲线相切；
对于B选项，直线的斜率为，该直线不是曲线的切线；
对于C选项，直线的斜率为，
令，解得，此时，
点在直线上，所以，直线与曲线相切；
对于D选项，直线的斜率为，
令，解得，此时，
点在直线上，所以，直线与曲线相切.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题.【精挑】2 导数的几何意义-1作业练习
一．单项选择
1．抛物线：在点处的切线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'（2）＝（ ）
A．7 B．4 C．0 D．﹣4
3．已知曲线的一条切线的斜率为7，则该切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．对于函数，若函数存在，则当无限趋近于时，式子无限趋近于（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
6．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．1 B．2或 C．2 D．1或
9．已知直线是曲线的切线，则的方程不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线与曲线相切，则的最大值是（ ）
A． B．e C． D．
11．已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为（ ）.
A．4 B．3 C．2 D．1
12．函数在处的切线与直线平行，则的值为（ ）
A．-4 B．-5 C．7 D．8
13．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．若曲线在其上一点处的切线的斜率为4，则（ ）
A．2 B． C． D．
15．函数f(x)= x+ln x的图象在x=1处的切线方程为（ ）
A．2x+y-1=0 B．2x-y-1=0 C．x-y+1=0 D．x+y+1=0
16．设曲线在处的切线斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
17．某物体的运动方程为，则该物体在时间上的平均速度为（ ）
A． B．2 C． D．6
18．若曲线与直线相切（是自然对数的底数），则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：先求出抛物线在处的导数，根据在处的导数等于该点切线斜率求出，再确定的焦点坐标即可.
详解：解：，所以在点处的切线斜率为，
切线的斜率为，所以，抛物线方程为，
的焦点坐标为，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用曲线在某点的导数等于该点切线斜率求出参数是解决本题的关键.
2．【答案】A
【解析】，因为函数的图像在点处的切线方程是，所以，
，故选A．
3．【答案】B
【解析】分析：先设切点坐标为，根据切线斜率求得切点坐标，再求切线方程即可.
详解：解：设切点坐标为，
则，
故，解得（舍去），
故，
故所求切线方程为，即.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，是基础题.
4．【答案】B
【解析】分析：根据导数定义进行拼凑整理，即得结果.
详解：根据导数定义可知，.
故选：B.
5．【答案】A
【解析】分析：首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
详解：解：由，得，
所以，，
所以切线方程为.
故选：A
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.
6．【答案】D
【解析】分析：先利用导数的几何意义求得，然后利用诱导公式．二倍角公式．同角三角函数的关系将化简为，再代值可得答案
详解：解：依题意，，所以，
所以
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题.
7．【答案】C
【解析】分析：利用导数的几何意义得出切线方程.
详解：，，∴，．
故选：C
8．【答案】D
【解析】分析：由两线垂直可知处切线的斜率为3，利用导数的几何意义有，即可求的值.
详解：由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为3，
又∵，即，
∴或，
故选：D．
9．【答案】B
【解析】分析：利用导数求出曲线的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线的切线，由此可得出结论.
详解：对于函数，定义域为，则，
所以，曲线的切线的斜率的取值范围是.
对于A选项，直线的斜率为，令，解得，此时，
点在直线上，则直线与曲线相切；
对于B选项，直线的斜率为，该直线不是曲线的切线；
对于C选项，直线的斜率为，
令，解得，此时，
点在直线上，所以，直线与曲线相切；
对于D选项，直线的斜率为，
令，解得，此时，
点在直线上，所以，直线与曲线相切.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题.
10．【答案】A
【解析】分析：设切点，对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，得到，令，则，设，，根据导数的方法求出的最大值即可.
详解：设切点，
由得，则曲线在点处的切线斜率为，
则该点处的切线方程为，即，
又该直线方程为，
所以，因此，
令，则，
设，
则，
由得；
由得；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，
即的最大值是.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查由曲线的切线求参数，考查导数的方法求函数的最值，属于常考题型.
11．【答案】B
【解析】分析：对函数求导，求出其在处的切线斜率，再由题中条件，即可得出结果.
详解：由得，
则曲线在处的切线斜率为，
又直线与曲线在处的切线平行，
所以，即.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由直线与曲线的切线平行求参数，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.
12．【答案】D
【解析】分析：首先求出函数的导数，即可得到，由两条直线平行的斜率关系，得到方程求出参数的值.
详解：解：
，则
因为在处的切线与直线平行
解得
故选：
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于基础题．
13．【答案】B
【解析】分析：设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得，，将问题转化为与，，存在两个不同的交点；通过导数研究的图象，从而得到所求范围.
详解：由题意得
设切点坐标为：，
则过原点的切线斜率：，
整理得：，
存在两条过原点的切线，，，存在两个不同解，
设，，则问题等价于与存在两个不同的交点
又
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
的大致图象如下：
若与存在两个不同的交点，则，
解得：
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据方程解的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数问题，通过导数研究曲线的图象，通过数形结合的方式来确定交点个数，从而得到参数范围.
14．【答案】C
【解析】分析：利用导数的几何意义即可求解.
详解：由得，
所以，
可得：.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
15．【答案】B
【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.
详解：
故选：B
【点睛】
本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．【答案】B
【解析】分析：由题得，再利用对数运算化简求值得解.
详解：由题得
所以，
．
故选：B
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于熟练准确地运用对数的运算法则.
17．【答案】A
【解析】分析：根据平均速度公式可得答案.
详解：平均速度为.
故选：A.
18．【答案】D
【解析】分析：设切点坐标为，则根据切点在直线上可知，然后再利用列出关于与的方程组求解.
详解：设切点坐标为，，则根据题意得：
，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据曲线的切线方程求参数的值，解答时注意先设出切点的坐标，将切点坐标代入切线方程以及利用切点处的导数值为斜率列出方程组求解即可，另外求解与切线方程有关的问题时，注意“在某一点的切线”与“过某一点的切线”的区别.【精挑】2 导数的几何意义作业练习
一．单项选择
1．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若曲线在点处的切线斜率为7，则（ ）
A．1 B．8 C． D．
4．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学．航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时钍的含量．已知时，钍含量的瞬时变化率为，则（ ）
A．贝克 B．贝克 C．贝克 D．贝克
5．函数区间上的平均变化率为（ ）
A．2 B．4 C．c D．2c
6．已知抛物线，设的准线与轴的交点为，过点作的切线，其中在第一象限内的切点为.若双曲线与抛物线相交于点，且的焦点恰好是的一个焦点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，则（ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
8．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（ ）
A． B． C． D．
10．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数在处的导数为1，则 （ ）
A． B． C． D．
12．点P是曲线x2﹣y﹣2ln=0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是（ ）
A．(1-ln2) B．(+ln2)
C．(1+ln2) D．(1+ln2)
13．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B．0 C． D．1
14．若直线l与曲线 相切于点O(0,0),并且直线l和曲线也相切，则a的值是 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
15．已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
16．曲线在处的切线与曲线相切，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
试卷第10页，总10页
17．已知，，记，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
18．直线与函数的图象相切于点，则（ ）
A．2 B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】D
【解析】分析：分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围．
详解：在点的切线斜率为，
在点的切线斜率为，
如果两个曲线存在公共切线，那么：．
又由斜率公式得到，， 由此得到，
则有解，
由，的图象有公共点即可．
当直线与曲线相切时，设切点为，则
，且，可得
即有切点，，故的取值范围是：．
故选:.
【点睛】
本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．
2．【答案】C
【解析】分析：求得和的值，利用点斜式可得出所求切线方程.
详解：，，则，.
因此，函数在点处的切线方程为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
3．【答案】A
【解析】分析：先对函数求导，根据导数的几何意义，表示出切线斜率，由题中条件列出等式求解，即可得出结果.
详解：由得，
所以曲线在点处切线斜率为，
解得.
故选: A．
4．【答案】C
【解析】分析：利用可求得，代入即可求得结果.
详解：由得：，
当时，，
解得：，，
当时，.
故选：C.
5．【答案】B
【解析】分析：根据函数的平均变化率的公式，求解即可.
详解：
故选：B
【点睛】
求平均变化率的方法：利用公式.
6．【答案】D
【解析】分析：由的焦点恰好是的一个焦点，得出；利用抛物线的方程求出切线，进而得出点坐标，代入双曲线方程可得，联立方程组解出，进而求出的离心率．
详解：∵抛物线的焦点坐标为，
的焦点恰好是的一个焦点，∴①.
由可得，设点坐标为，
则，∴切线，
将代入上式，解得或（舍去），∴点坐标为.
将代入双曲线方程，得②.
由①②联立解得∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查导数的几何意义，属于中档题．
7．【答案】C
【解析】分析：根据瞬时变化率的求解方法求解即可.
详解：解：根据导数的定义：
，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.
8．【答案】B
【解析】分析：利用先求出的值，设，根据已知条件求出，再利用奇函数，求出在上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．
详解：解：由题意得，，解得，
当，时，，
设，则，，
是定义在上的奇函数，
，此时，
，
，
把代入得， ，则切点为，
所求的切线方程为：，化简得，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，奇函数性质的利用，以及函数解析式，求函数在某范围内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已知范围上去，考查了转化思想，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】分析：分别求出函数与的导数，设出切点写出切线方程，利用对应系数相等列出方程，构造函数，利用导数判断出单调性求出最值，可得实数a的最小值．
详解：，
设和的切点分别为，则和切线方程分别为，
即与存在公切线，则方程有解，即，
在上递减，在递增，在处取到最小值，∴的最小值为，即a的最小值为．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是利用点斜式方程写出切线，列出方程，并构造函数求出导函数得出单调性和最值，可得a的最小值，考查学生计算能力，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】分析：先求导数，得斜率的值，然后利用切线方程的公式，直接求解即可
详解：求导得斜率，代点检验即可选B.
，，
故选：B
11．【答案】C
【解析】分析：，利用导数的定义即可求解.
详解：，
故选：C.
12．【答案】C
【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切点坐标，再根据点到直线距离公式得结果.
详解：即
∴，
又4x+4y+1=0即为
令得
与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点为
∴点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是.
故选：C
【点睛】
本题考查导数几何意义．点到直线距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．【答案】A
【解析】分析：对函数求导，求出，进而可得结果.
详解：
设倾斜角为，则
故选：A
14．【答案】A
【解析】分析：先求出直线的方程，再将该方程与方程联立，利用判别式为零可求a的值.
详解：，故，
故切线的方程为即，
由可得，
因为直线和曲线也相切，故，故.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及抛物线的切线的求法，注意函数在某点横坐标处的导数就是函数图象在该点处切线的斜率，而直线和抛物线相切可利用判别式来处理，关注两者的区别，本题属于基础题.
15．【答案】D
【解析】分析：利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程.
详解：解： ，
求导得：，
，
又，
在处的切线方程为，即.
故选：D.
16．【答案】B
【解析】分析：先求出切线方程是，再求切线在曲线的切点为 ，最后求出即可.
详解：解：因为曲线，所以，，
所以曲线在处的切线方程是，
因为曲线，所以，令，解得：，
将代入得：，
所以切线在曲线的切点为
将代入得.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.
17．【答案】D
【解析】分析：设，，，，点在函数的图象上，点在直线上，则的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出的最小值为两直线平行时的距离，即可得到的最小值，并可求出此时对应的从而得解．
详解：解：设，，，，
点在函数的图象上，点在直线上，
的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方．
由，得，与直线平行的直线的斜率为．
令，得，则切点坐标为，
切点到直线的距离．
即的最小值为．
又过且与垂直的直线为，即，
联立，解得，
即当最小时，．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
18．【答案】B
【解析】分析：由切线的斜率计算两次可得，再对等式变形，两边取对数，即可得答案；
详解：由已知，且.
因为，所以，即，
所以，所以，即，
两边同时取自然对数得，
整理的，
故选：B.
【点睛】
曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.
