【基础】2 椭圆的性质-1课堂练习
一.单项选择
1.已知椭圆的左右焦点分别为,,上顶点为,若为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.椭圆上任一点到点的距离的最小值为( )
A. B. C.2 D.
3.已知圆,定点,是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于点,则点的轨迹的方程是( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆:离心率为,点在上,则椭圆的短轴长为( )
A.1 B. C.2 D.
5.椭圆的左右焦点分别为,,直线过焦点与该椭圆交于点两点,则的周长为( ).
A.2 B.4 C.6 D.12
6.如图,椭圆的左.右焦点分别为,,过点的直线与椭圆相交于P,Q 两点.若,,,则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
7.椭圆25x2+9y2=225的长轴长.短轴长.离心率依次是( )
A.5,3, B.10,6,
C.5,3, D.10,6,
8.方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图,F为椭圆(,)的左焦点,A,B两点关于C的中心O对称,且A,B在C上,若,,则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中,已知椭圆,过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点,以,为邻边作平行四边形,若点在椭圆上,则等于( )
A. B. C. D.
11.已知,是椭圆E:()的左.右焦点,点M在E上,与x轴垂直,,则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
12.设点是椭圆上一点,,分别是椭圆的左,右焦点,是的内心,若的面积是面积的3倍,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
13.已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且,则的面积等于( )
A.24 B.26 C. D.
14.椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为( )
A.2 B.4 C. D.
15.已知椭圆的准线方程为x=±4,离心率为则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
16.椭圆的长轴的长等于( )
A. B. C.2 D.4
17.设分别是椭圆的左.右焦点,若在直线上存在点P,使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
18.已知椭圆的离心率是,左右焦点分别为,,点是椭圆上一点,且,的面积等于,则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】A
【解析】分析:由椭圆的对称性以及题中条件可得,再根据即可求出离心率.
详解:解:椭圆的上顶点为,
左.右两焦点分别为,,
若为等边三角形,
由椭圆的对称性知:,
即,
又,
可得:,
.
故选:A.
2.【答案】B
【解析】分析:设点的坐标为,结合两点间的距离公式,化简得到,即可求解.
详解:设点的坐标为,其中,
由,可得,
又由,
当时,取得最小值,最小值为.
故选:B.
3.【答案】B
【解析】分析:由已知,得,所以,又,根据椭圆的定义,点P的轨迹是为焦点,以6为实轴长的椭圆,即可得出结论.
详解:由已知,得,所以又,根据椭圆的定义,点P的轨迹是为焦点,以6为实轴长的椭圆,
所以,,所以,所以点P的轨迹方程为:.
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的方程与定义,考查学生的计算能力,正确运用椭圆的定义是关键,属于中档题.
4.【答案】C
【解析】分析:由椭圆性质得,利用离心率可得,再由的关系求得.
详解:因为,,所以,所以,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的性质,掌握离心率及的关系是解题基础.
5.【答案】D
【解析】分析:先求出,利用椭圆的定义,即可得出的周长为.
详解:由椭圆的标准方程为:,
可得,
又直线过焦点与该椭圆交于点两点,
则为焦点三角形,
利用椭圆的定义,
,
所以的周长为.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了椭圆中焦点三角形的周长问题.属于容易题.
6.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的定义及已知求得,再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程
详解:设,有,
由可知,
又由椭圆的定义有,
可得,解得,
可得,
,,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解,其中解答中熟记椭圆的定义,以及椭圆的几何性质,准确运算是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于基础题.
7.【答案】B
【解析】分析:变换得到,得到答案.
详解:,即,故,
故长轴长.短轴长.离心率依次是,即.
故选:B.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率,长轴长,短轴长,属于简单题.
8.【答案】D
【解析】分析:由方程表示焦点在y轴上的椭圆直接列出不等式可求解.
详解:方程表示焦点在y轴上的椭圆,
,解得.
故选:D.
【点睛】
本题考查方程表示椭圆求参数范围,属于基础题.
9.【答案】A
【解析】分析:由,得到为直角三角形,得出四边形为矩形,根据椭圆的定义和矩形的性质,得到,,设,得出,,结合离心率的定义,即可求解.
详解:如图所示,因为,,两点关于C的中心O对称,
所以为直角三角形,所以,
设C的右焦点为,根据对称性可知,四边形为矩形,
则,,
设,则,
所以,,
则,
因为,所以,所以,
又因为,故.
故选:A.
【点睛】
求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法:
10.【答案】B
【解析】分析:由为平行四边形,则且,则轴,所以两点关于轴对称,再由,可得出点的横坐标,根据条件写出直线的方程,可得出点的坐标,将点的坐标代入椭圆方程结合可得出答案.
详解:以,为邻边作平行四边形,则且.
所以轴,所以两点关于轴对称,又
设,则,
由条件可得直线的方程为
所以,即
由点在椭圆上可得,,又
代入得,整理得:
解得
故选:B
【点睛】
本题考查求椭圆方程以和椭圆的性质以及平行四边形的性质的应用,属于中档题.
11.【答案】D
【解析】分析:根据所给条件可得:,解可得:,再结合椭圆的定义可得,从而求得离心率e.
详解:因为与x轴垂直,所以.
又,所以,
即,
由椭圆的定义得,
所以,
则,即,
得离心率,
故选:D.
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率问题,考查了椭圆的定义和解三角形,解此类问题的关键是得到之间的关系,本题属于中档题.
12.【答案】D
【解析】分析:设内切圆半径为,根据三角形面积公式,以及三角形内切圆的性质,结合椭圆定义,得到,再由题中条件,列出等式,即可求出结果.
详解:设内切圆半径为,
∴,
又,
∴,∴.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的离心率,属于常考题型.
13.【答案】A
【解析】分析:由椭圆的定义可得,,,由勾股定理可得,即可得解.
详解:由题意,椭圆,所以,所以,
又,所以,
因为,所以,
所以,
故的面积.
故选:A.
【点睛】
本题考查了椭圆定义的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
14.【答案】D
【解析】分析:由题意可得,由椭圆方程可得,,解的方程可得的值.
详解:椭圆的焦点在轴上,
即有,
由椭圆方程可得,
,,
由长轴长是短轴长的2倍,可得,
解得;
故选:D.
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.
15.【答案】C
【解析】分析:准线方程为,离心率为得求得再求得得解.
详解:由解得,
所以,
所以椭圆的标准方程为.
故选:C
16.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的方程,可求出长轴的长.
详解:椭圆中,,所以长轴的长.
故选:D.
17.【答案】C
【解析】分析:由中垂线的性质可知,再根据几何关系可知,求椭圆的离心率.
详解:由中垂线的性质可知,即,
即,又因为
所以.
故选:C
【点睛】
方法点睛:本题考查椭圆离心率的取值范围,求椭圆离心率是常考题型,涉及的方法包含1.根据直接求,2.根据条件建立关于的齐次方程求解,3.根据几何关系找到的等量关系求解.
18.【答案】D
【解析】分析:由椭圆离心率是,求得,再根据椭圆的定义,得到,结合题设条件,求得,进而求得的值,即可求解.
详解:由题意,椭圆的离心率是,即,即,
根据椭圆的定义,可得,
因为,且的面积等于,
可得,且,
则,
即,解得,所以,可得,
所以椭圆的方程为.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程的求解,其中解答中熟记椭圆的定义.标准方程及几何性质,结合三角形的面积公式求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于基础题.【优质】2 椭圆的性质同步练习
一.单项选择
1.已知椭圆方程,那么它的焦距是( )
A.1 B.2 C. D.
2.椭圆的焦距为2,则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
3.已知椭圆的左右焦点为,点在椭圆上,则的最大值是( )
A.9 B.16 C.25 D.27
4.椭圆的一个焦点坐标是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
6.椭圆:的左.右焦点分别为,,过的直线交于,两点,若,,其中为坐标原点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.一个动圆与圆外切,与圆内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
8.设分别是椭圆()的左.右焦点,若在其右准线上存在P,使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左右焦点分别为,,过的直线与交于,两点,其中为椭圆与轴正半轴的交点.若,则的离心率为( )
A. B. C. D.
10.若点在椭圆的内部,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线上存在一点满足,则椭圆的离心率的最小值为( ).
A. B. C. D.
12.已知椭圆的左.右焦点分别为为椭圆上异于端点的任意点,O为坐标原点,的中点分别为M,N,若四边形的周长为,则的周长是( )
A. B. C. D.
13.已知椭圆:的左.右焦点为,,若过点作倾斜角为的直线交椭圆于,,若,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
14.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
15.已知椭圆的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为( )
A. B. C. D.
16.椭圆的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
17.对于给定的复数,若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
18.已知为双曲线的右焦点,定点为双曲线虚轴的一个顶点,过的直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为,若,则此双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】B
【解析】分析:根据已知条件求得,由此求得焦距.
详解:依题意,所以,所以间距.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查椭圆焦距的求法,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】分析:根据椭圆方程的标准形式,求出a,b,c的值,即可列出方程,从而求得m的值.
详解:由题意知椭圆焦距为2,即c=1,
当焦点在x轴上时,则,,即,
当焦点在y轴上时,则,,即,
m的值为5或3.
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的理解,属于基础题.
3.【答案】C
【解析】分析:由椭圆定义得,然后由基本不等式可得结论.
详解:由题意,,
,当且仅当时等号成立,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的定义,考查基本不等式求最值.掌握椭圆的定义是解题基础.
4.【答案】C
【解析】分析:由判断出焦点位置,再求出即可得出答案.
详解:因为,所以,所以椭圆焦点在x轴上,
,所以,所以椭圆焦点坐标为,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程.简单几何性质,属于基础题.
5.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆的长轴在x轴上,焦距为4,列出关于的方程解出即可.
详解:因为椭圆的长轴在x轴上,
所以,解得.
因为焦距为4,所以,解得.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
6.【答案】C
【解析】分析:由可得,若,有,结合可求得,,最后结合几何图形有即可求得离心率
详解:由题意,有,即,知
过左焦点的直线交于,两点,令,
有,,且由上知①
又∵有,且知:
∴由知:②,由①.②可知:,
∴结合几何图形知:,即得
故选:C
【点睛】
本题考查了求离心率的问题,结合向量的线性关系及模相等,有相关线段的比例关系及等量关系,即求得点的横坐标,结合几何图形根据线段比例求离心率
7.【答案】A
【解析】分析:根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数,且大于两个定点的距离,故轨迹为椭圆,根据条件计算得到答案.
详解:设动圆半径为,圆心为,根据题意可知,和,
,,
,故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上椭圆,
且焦点坐标为和,其中, ,
所以,
故椭圆轨迹方程为: ,
故选:A.
【点睛】
本题考查了椭圆的轨迹方程,确定轨迹方程的类型是解题的关键.
8.【答案】C
【解析】分析:先结合题意作图并得到,,,再结合直角三角形得到并建立方程,最后结合,建立关于e的不等式求解即可.
详解:由题意作图,如下,设,,,由线段的中垂线过点得,,,
在直角三角形中,由勾股定理得,
整理得,即,
等式两边同时除以,且,得,解得,
故,
故选:C.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率,关键在于构造关于的不等式,是偏难题.
9.【答案】D
【解析】分析:根据求出 ,代入椭圆方程化简得,从而得到答案.
详解:由已知可得,,
设,因为,所以,即,
求得,
代入椭圆方程可得,即,
解得.
故选:D.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用,涉及到向量共线的知识点,考查计算能力,属于基础题型.
10.【答案】B
【解析】分析:根据点与椭圆的位置关系即可求解.
详解:解:,所以
故选:B.
【点睛】
考查已知点与圆的位置关系求参数的取值范围,基础题.
11.【答案】C
【解析】分析:设的中点为,可得,则为等腰三角形,从而得到,再由,得到离心率的最小值.
详解:解:由已知,可得,
设的中点为,则,
∴,
∴,
∴为等腰三角形,即,且,
∵点在直线,
∴,即,
∴,
∴,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质,两向量垂直的充要条件,属于中档题.
12.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆定义和三角形中位线定理可得,由求得,再计算焦点三角形的周长.
详解:由已知得,而的中点分别为M,N,
所以,,
所以,又由椭圆的定义知,所以,所以.故的周长为.
故选:.
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质,着重考查椭圆的定义及焦点三角形.
13.【答案】A
【解析】分析:过两点向左准线作垂线,构造如图所示的直角梯形,利用椭圆的第二定义两次求得的值,从而得到关于离心率的方程,求解后可得正确的选项.
详解:
如图,过作椭圆的左准线的垂线,垂足为,过作左准线的垂线,垂足为,
过作的垂线,垂足为,过作垂直于轴,垂足为.
设,则,设椭圆的离心率为,左准线与轴的交点为,
则,又,
故,同理,
所以,解得,
故选:A.
【点睛】
本题考查椭圆的离心率的计算,注意与焦点有关的问题,可以转化另一个焦点或相应的准线的距离问题,本题属于中档题.
14.【答案】B
【解析】分析:根据焦点在轴上的椭圆满足的条件列出不等式组,解不等式组可得答案.
详解:方程表示焦点在轴上的椭圆,
则满足,
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的应用,考查分析推理能力,属于简单题.
15.【答案】C
【解析】分析:设,,,利用勾股定理,结合椭圆的定义,转化求解椭圆的离心率即可.
详解:由已知,设,,,
据勾股定理有;由椭圆定义知的周长为,
有,;
在直角△中,由勾股定理,,
离心率,
故选:.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用,三角形的解法,考查计算能力.
16.【答案】B
【解析】分析:先将椭圆化为标准方程,判断椭圆的焦点位置,计算出椭圆的半焦距,即可得出椭圆的焦点坐标.
详解:解:由题意知,椭圆得便准方程为,
焦点在轴上,半焦距为,
因此,椭圆的焦点坐标为.
故选:B
【点睛】
本题考查椭圆焦点坐标的求解,要判断出椭圆焦点的位置,考查计算能力,属于基础题.
17.【答案】A
【解析】分析:根据条件可得,即复数对应的点在以为圆心,2为半径的圆内部. 表示复数对应的点到的距离,由圆的性质可得答案.
详解:因为的复数对应的点的轨迹是椭圆,
所以
由复数的几何意义可知表示复数对应的点到的距离小于2.
即复数对应的点在以为圆心,2为半径的圆内部.
表示复数对应的点到的距离.如图,设,
则,即
故选:A
【点睛】
本题考查椭圆的定义的应用,考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围,属于中档题.
18.【答案】A
【解析】分析:设 ,渐近线方程为,求出AF的方程与联立可得,利用 ,可得的关系,即可求出双曲线的离心率.
详解:设,渐近线方程为,则
直线的方程为,与 联立可得 ,
∵,
,
,
∴,
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线的性质,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【优选】2 椭圆的性质-1同步练习
一.单项选择
1.椭圆25x2+9y2=225的长轴长.短轴长.离心率依次是( )
A.5,3, B.10,6,
C.5,3, D.10,6,
2.焦点在x轴上的椭圆 焦距为8,两个焦点为,弦AB过点,则的周长为( )
A.20 B.28 C. D.
试卷第4页,总11页
3.已知椭圆,倾斜角为的直线与椭圆相交于A,B两点,AB的中点是则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的左右焦点分别为,,上顶点为,若为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.椭圆的长轴的长等于( )
A. B. C.2 D.4
6.已知椭圆的离心率为,则实数( )
A. B. C. D.
7.方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若焦点在y轴上的椭圆的离心率为,则m的值为( )
A.3 B.4 C. D.6
9.已知椭圆的一个焦点为 (2,0), 则这个椭圆的方程是 ( )
A. B.
C. D.
10.已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且,则的面积等于( )
A.24 B.26 C. D.
11.已知圆,定点,是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于点,则点的轨迹的方程是( )
A. B. C. D.
12.已知是椭圆的左焦点,为椭圆上任意一点,点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
13.已知椭圆:离心率为,点在上,则椭圆的短轴长为( )
A.1 B. C.2 D.
14.设分别是椭圆的左.右焦点,若在直线上存在点P,使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
15.椭圆:的焦点在轴上,其离心率为,则( )
A.椭圆的短轴长为 B.椭圆的长轴长为4
C.椭圆的焦距为4 D.
16.椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为( )
A.2 B.4 C. D.
17.已知椭圆的右焦点为,为坐标原点,为轴上一点,点是直线与椭圆的一个交点,且,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
18.若椭圆的两焦点为(-2,0),(2,0),且该椭圆过点,则该椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】B
【解析】分析:变换得到,得到答案.
详解:,即,故,
故长轴长.短轴长.离心率依次是,即.
故选:B.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率,长轴长,短轴长,属于简单题.
2.【答案】D
【解析】分析:依题意求出,再根据椭圆的定义计算可得;
详解:解:因为焦点在x轴上的椭圆 焦距为8,所以,解得;
如图,根据椭圆的定义可得,,所以
故选:D
【点睛】
本题考查椭圆的定义的应用,考查转化思想,属于基础题.
3.【答案】B
【解析】分析:联立直线与椭圆方程,利用中点建立关于等量关系即可求出.
详解:∵直线的倾斜角为45?,∴直线的斜率为1,
又的中点是,
∴直线的方程为,即.
联立,可得.
设,,则,
又,整理得,
即,可得.
故选:B.
【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质.点的坐标的范围等.
4.【答案】A
【解析】分析:由椭圆的对称性以及题中条件可得,再根据即可求出离心率.
详解:解:椭圆的上顶点为,
左.右两焦点分别为,,
若为等边三角形,
由椭圆的对称性知:,
即,
又,
可得:,
.
故选:A.
5.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的方程,可求出长轴的长.
详解:椭圆中,,所以长轴的长.
故选:D.
6.【答案】B
【解析】分析:利用椭圆的离心率,列出方程求解即可.
详解:解:椭圆的离心率为,
可得,
解得.
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查.
7.【答案】D
【解析】分析:由方程表示焦点在y轴上的椭圆直接列出不等式可求解.
详解:方程表示焦点在y轴上的椭圆,
,解得.
故选:D.
【点睛】
本题考查方程表示椭圆求参数范围,属于基础题.
8.【答案】C
【解析】分析:根据题意可得,即可求解.
详解:由焦点在y轴上的椭圆的离心率为,
则,且,解得.
故选:C
9.【答案】D
【解析】分析:根据即可求解.
详解:椭圆的一个焦点为 (2,0),
则椭圆的焦点在轴上,且,
因为,
所以,
所以椭圆的方程是.
故选:D
10.【答案】A
【解析】分析:由椭圆的定义可得,,,由勾股定理可得,即可得解.
详解:由题意,椭圆,所以,所以,
又,所以,
因为,所以,
所以,
故的面积.
故选:A.
【点睛】
本题考查了椭圆定义的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
11.【答案】B
【解析】分析:由已知,得,所以,又,根据椭圆的定义,点P的轨迹是为焦点,以6为实轴长的椭圆,即可得出结论.
详解:由已知,得,所以又,根据椭圆的定义,点P的轨迹是为焦点,以6为实轴长的椭圆,
所以,,所以,所以点P的轨迹方程为:.
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的方程与定义,考查学生的计算能力,正确运用椭圆的定义是关键,属于中档题.
12.【答案】B
【解析】分析:作出图象,利用椭圆的定义,由求解.
详解:因为椭圆,
所以,
如图所示:
由椭圆的定义得:,
当点P在点处,取等号,
所以的最大值为9,
故选:B
13.【答案】C
【解析】分析:由椭圆性质得,利用离心率可得,再由的关系求得.
详解:因为,,所以,所以,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的性质,掌握离心率及的关系是解题基础.
14.【答案】C
【解析】分析:由中垂线的性质可知,再根据几何关系可知,求椭圆的离心率.
详解:由中垂线的性质可知,即,
即,又因为
所以.
故选:C
【点睛】
方法点睛:本题考查椭圆离心率的取值范围,求椭圆离心率是常考题型,涉及的方法包含1.根据直接求,2.根据条件建立关于的齐次方程求解,3.根据几何关系找到的等量关系求解.
15.【答案】B
【解析】分析:由离心率可求出,结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长,长轴长,焦距.
详解:由椭圆的性质可知,椭圆的短轴长为,圆的离心率,则,
即,,所以椭圆的长轴长,椭圆的焦距,
故选:B.
16.【答案】D
【解析】分析:由题意可得,由椭圆方程可得,,解的方程可得的值.
详解:椭圆的焦点在轴上,
即有,
由椭圆方程可得,
,,
由长轴长是短轴长的2倍,可得,
解得;
故选:D.
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.
17.【答案】D
【解析】分析:设椭圆的左焦点为,由椭圆的对称性可知,则,所以,即可得到的关系,利用椭圆的定义进而求得离心率.
详解:设椭圆的左焦点为,连接,
因为,所以,如图所示,
所以,
设,,则,
所以,
故选:D.
18.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆定义得到,再计算得到答案.
详解:,故,
则,故椭圆方程为:.
故选:D.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,意在考查学生的计算能力和转化能力,也可以设椭圆方程代入点求解.【优选】2 椭圆的性质同步练习
一.单项选择
1.过点且与椭圆+=24,有相同焦点的椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
3.椭圆:的左.右焦点分别为,,过的直线交于,两点,若,,其中为坐标原点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知为双曲线的右焦点,定点为双曲线虚轴的一个顶点,过的直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为,若,则此双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
5.过椭圆的右焦点作轴的垂线,交于A,B两点,直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点,则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.椭圆的焦距为2,则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
7.已知椭圆的离心率为,以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,则( )
A.2 B. C. D.1
8.在平面直角坐标系中,已知椭圆的上下顶点分别为,右顶点为,右焦点为,延长与交于点,若四点共圆,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左.右焦点分别为,,椭圆的右顶点为,点在椭圆上,且轴,直线交轴于点,若,则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
10.椭圆的左.右焦点分别为.,点在椭圆上,如果的中点在轴上,那么是的( )
A.7倍 B.6倍 C.5倍 D.4倍
11.椭圆的一个焦点坐标是( )
A. B. C. D.
12.“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
13.一个动圆与圆外切,与圆内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
14.设,分别为椭圆:的左右焦点,点,分别为椭圆的右顶点和下顶点,且点关于直线的对称点为.若,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
15.已知椭圆的焦点为,.过点的直线与交于,两点.若的周长为8,则椭圆的标准方程为( ).
A. B. C. D.
16.“”是此方程,表示椭圆的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
17.椭圆上的一点到焦点的距离等于1,则点到另一个焦点的距离是( )
A.1 B.3 C. D.
18.设分别是椭圆()的左.右焦点,若在其右准线上存在P,使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】C
【解析】分析:先求解出椭圆的焦点坐标,然后设出椭圆方程,代入点即可求解出椭圆的方程.
详解:因为椭圆即的焦点坐标为,
所以设椭圆的方程为,代入点,
所以,解得:,所以椭圆方程为:,
故选:C.
【点睛】
本题考查求解共焦点的椭圆方程,难度一般.解答本题的的关键是能根据条件设出椭圆的方程,设椭圆方程的原则:让未知数尽量的少.
2.【答案】B
【解析】分析:先将椭圆化为标准方程,判断椭圆的焦点位置,计算出椭圆的半焦距,即可得出椭圆的焦点坐标.
详解:解:由题意知,椭圆得便准方程为,
焦点在轴上,半焦距为,
因此,椭圆的焦点坐标为.
故选:B
【点睛】
本题考查椭圆焦点坐标的求解,要判断出椭圆焦点的位置,考查计算能力,属于基础题.
3.【答案】C
【解析】分析:由可得,若,有,结合可求得,,最后结合几何图形有即可求得离心率
详解:由题意,有,即,知
过左焦点的直线交于,两点,令,
有,,且由上知①
又∵有,且知:
∴由知:②,由①.②可知:,
∴结合几何图形知:,即得
故选:C
【点睛】
本题考查了求离心率的问题,结合向量的线性关系及模相等,有相关线段的比例关系及等量关系,即求得点的横坐标,结合几何图形根据线段比例求离心率
4.【答案】A
【解析】分析:设 ,渐近线方程为,求出AF的方程与联立可得,利用 ,可得的关系,即可求出双曲线的离心率.
详解:设,渐近线方程为,则
直线的方程为,与 联立可得 ,
∵,
,
,
∴,
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线的性质,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
5.【答案】A
【解析】分析:根据直线过的左焦点和上顶点写出直线的方程,再根据过椭圆的右焦点的直线与轴垂直,交于A,B两点,得到以为直径的圆的圆心和半径为,然后再根据为直径的圆与存在公共点,由圆心到直线的距离不大于半径求解.
详解:由题意得:左焦点上顶点,
所以直线l的方程为,即,
因为过椭圆的右焦点的直线与轴垂直,交于A,B两点,
所以以为直径的圆的圆心为右焦点,半径为,
因为以为直径的圆与存在公共点,
所以圆心到直线的距离不大于半径,
即,即,
所以,
所以,
故选:A
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质和直线与圆的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
6.【答案】C
【解析】分析:根据椭圆方程的标准形式,求出a,b,c的值,即可列出方程,从而求得m的值.
详解:由题意知椭圆焦距为2,即c=1,
当焦点在x轴上时,则,,即,
当焦点在y轴上时,则,,即,
m的值为5或3.
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的理解,属于基础题.
7.【答案】D
【解析】分析:由题意可得,解出即可.
详解:解:由题意有,以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆的方程为,
直线的一般式为,
又椭圆的离心率为,
∴,解得,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.
8.【答案】C
【解析】分析:由四点共圆,可得,即,列等式即可求解.
详解:
如图,,,,,
因为四点共圆,,
所以,所以,即,
,整理可得,
所以,,解得,
因为,所以.
故选:C
【点睛】
本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了基本运算能力,属于基础题.
9.【答案】B
【解析】分析:由轴求,由结合向量坐标的线性运算可求得,进而求离心率即可.
详解:如图,由轴,为左焦点,即,
设,又且,即,,,有,
故选:.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查向量的坐标运算,考查数形结合思想,属于基础题.
10.【答案】C
【解析】分析:根据题意可得轴,再利用通径的长度的一半,可求得,利用椭圆的定义可求得,即可得答案;
详解:设的中点为,为的中位线,
轴,,
,
,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的定义和通径等知识,考查函数与方程思想.转化与化归思想,考查逻辑推理能力.运算求解能力.
11.【答案】C
【解析】分析:由判断出焦点位置,再求出即可得出答案.
详解:因为,所以,所以椭圆焦点在x轴上,
,所以,所以椭圆焦点坐标为,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程.简单几何性质,属于基础题.
12.【答案】C
【解析】分析:由已知条件求得之间的关系和范围,再根据充分不必要条件的判定,可得选项.
详解:若表示焦点在轴上的椭圆,则需,即,所以,
所以“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是,
故选:C.
【点睛】
本题考查方程表示椭圆的条件,以及命题的充分不必要条件的判定,属于中档题.
13.【答案】A
【解析】分析:根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数,且大于两个定点的距离,故轨迹为椭圆,根据条件计算得到答案.
详解:设动圆半径为,圆心为,根据题意可知,和,
,,
,故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上椭圆,
且焦点坐标为和,其中, ,
所以,
故椭圆轨迹方程为: ,
故选:A.
【点睛】
本题考查了椭圆的轨迹方程,确定轨迹方程的类型是解题的关键.
14.【答案】C
【解析】分析:根据已知求出坐标,利用,建立关系,结合,即可求解.
详解:设,则的中点为,
即在轴上,又在直线上,
即点与重合,
故
,∴.
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质.点关于直线对称的应用,考查计算求解能力,属于中档题.
15.【答案】C
【解析】分析:首先根据椭圆的定义可得的周长为,求得,根据题中所给的焦点坐标,得到,根据椭圆中的关系求得,得到结果.
详解:根据椭圆的定义知的周长为,
∴,又,…,∴,
∴椭圆的标准方程为.
【点睛】
该题考查的是有关椭圆的问题,涉及到的知识点有椭圆的定义,椭圆方程的求解,属于基础题目.
16.【答案】B
【解析】分析:根据方程表示椭圆的充要条件解得或,再结合必要不充分条件的概念可得答案.
详解:因为方程表示椭圆的充要条件是即或,
而“”是“或”的必要不充分条件,
所以“”是此方程,表示椭圆的必要不充分条件.
故选:B
【点睛】
本题考查了必要不充分条件的概念,考查了椭圆的标准方程的结构特征,这里容易漏掉分母不能相等,属于基础题.
17.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的定义,由题中条件,直接计算,即可得出结果.
详解:因为椭圆方程为,
由椭圆的定义可得,,
因为,所以.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查由椭圆的定义求椭圆上的点到焦点的距离,属于基础题型.
18.【答案】C
【解析】分析:先结合题意作图并得到,,,再结合直角三角形得到并建立方程,最后结合,建立关于e的不等式求解即可.
详解:由题意作图,如下,设,,,由线段的中垂线过点得,,,
在直角三角形中,由勾股定理得,
整理得,即,
等式两边同时除以,且,得,解得,
故,
故选:C.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率,关键在于构造关于的不等式,是偏难题.【名师】2 椭圆的性质优选练习
一.单项选择
1.已知圆,,动点为圆上任意一点,则的垂直平分线与的交点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
2.已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于,则的方程是( )
A. B. C. D.
3.椭圆的左.右焦点分别为.,点在椭圆上,如果的中点在轴上,那么是的( )
A.7倍 B.6倍 C.5倍 D.4倍
4.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则( )
A. B. C. D.
5.椭圆中,为右焦点,为上顶点,为坐标原点,直线交椭圆于点(点位于第一象限),若,则该椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
6.已知点,椭圆与直线交于点,则的周长为( )
A.4 B. C. D.6
试卷第12页,总12页
7.已知椭圆的左.右焦点分别为,,椭圆的右顶点为,点在椭圆上,且轴,直线交轴于点,若,则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
8.椭圆上的一点到焦点的距离等于1,则点到另一个焦点的距离是( )
A.1 B.3 C. D.
9.若椭圆上一点P到焦点的距离为3,则点P到另一焦点的距离为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10.椭圆上有一点,它到右准线的距离是,则点到右焦点的距离是( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆的左.右顶点分别为,,点为椭圆上异于点.点的任意一点,直线,在轴上的截距分别为,,则( )
A.1 B. C.2 D.
12.设,分别是椭圆:的左.右焦点,过的直线交椭圆于,两点,在轴上的截距为1,若,且轴,则此椭圆的长轴长为( )
A. B.3 C. D.6
13.由“p:椭圆的离心率大于1,q:抛物线离心率为1”构成的复合命题,下列判断正确的是( )
A.为真,为假,“”为真
B.为假,为假,“”为真
C.为真,为假,“”为假
D.为假,为真,“”为真
14.已知椭圆的左?右焦点分别为,,为上一点,若为的内心,且,则的方程可能是
A. B.
C. D.
15.设定点,,动点满足条件,则点的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.射线 D.椭圆或线段
16.过点且与椭圆+=24,有相同焦点的椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
17.若椭圆的右焦点为,过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. B. C.6 D.8
18.设椭圆的左.右焦点分别为,是椭圆上的点,,,则的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】C
【解析】分析:的垂直平分线与的交点,所以,则
,
进而可以利用椭圆的第一定义和焦距进行求解
详解:的垂直平分线与的交点,所以,则
,
故的轨迹是以,为焦点,长轴长为8的椭圆,所以,,,
,点的轨迹方程是
故选:C
【点睛】
本题考查椭圆的第一定义的运用,属于基础题
2.【答案】D
【解析】分析:根据题意可得,又,可得,进而利用即可求解.
详解:由椭圆的右焦点为知,
又,∴,,
所以椭圆方程为.
故选:D.
【点睛】
本题考查了椭圆方程与椭圆的几何性质,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题.
3.【答案】C
【解析】分析:根据题意可得轴,再利用通径的长度的一半,可求得,利用椭圆的定义可求得,即可得答案;
详解:设的中点为,为的中位线,
轴,,
,
,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的定义和通径等知识,考查函数与方程思想.转化与化归思想,考查逻辑推理能力.运算求解能力.
4.【答案】C
【解析】分析:利用椭圆的几何性质,列方程组,然后直接求解即可
详解:由于该椭圆焦点在轴上,则半焦距满足,
可得
故答案选:C
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质,属于基础题
5.【答案】A
【解析】分析:根据题意画出图象,联立椭圆与直线方程,求解出点,根据点到直线距离公式求得点到直线的距离,结合和椭圆离心率公式,即可求得答案.
详解:根据题意画出图象,如图:
由如图可知点.
联立椭圆与直线方程
,解得或
可得点的坐标为:.
,
根据直线截距式方程可得:直线的方程为,
即,
点到直线的距离为.
,
由,可得
化简得:,
即或(显然不可能,舍去),
,
该椭圆的离心率.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系,考查考生的数形结合能力以及运算求解能力,考查的核心素养是直观想象.数学运算,解题关键是掌握椭圆离心率计算公式.
6.【答案】C
【解析】分析:根据点是椭圆的右焦点,直线,过椭圆的左焦点,利用椭圆的定义求解.
详解:因为点是椭圆的右焦点,
又因为直线,过椭圆的左焦点,
且椭圆与直线交于点,
由椭圆的定义得:,
所以的周长为.
故选:C
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
7.【答案】B
【解析】分析:由轴求,由结合向量坐标的线性运算可求得,进而求离心率即可.
详解:如图,由轴,为左焦点,即,
设,又且,即,,,有,
故选:.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查向量的坐标运算,考查数形结合思想,属于基础题.
8.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的定义,由题中条件,直接计算,即可得出结果.
详解:因为椭圆方程为,
由椭圆的定义可得,,
因为,所以.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查由椭圆的定义求椭圆上的点到焦点的距离,属于基础题型.
9.【答案】B
【解析】分析:利用椭圆的定义可得.
详解:根据椭圆的定义知,,因为,所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的定义,一般地,与焦点三角形有关的计算问题,应利用椭圆的几何性质来考虑,本题属于基础题.
10.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆方程,先求出椭圆离心率,结合题中条件,由椭圆的第二定义,即可得出结果.
详解:由得,,则,
所以椭圆离心率为,
记点到右焦点的距离是,又点到右准线的距离是,
根据椭圆的第二定义可得,
,即.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查椭圆第二定义的应用,考查求椭圆上的点到焦点的距离,属于基础题型.
11.【答案】C
【解析】分析:本题先设点P,求点.点,再求直线.的方程,最后表示出.,求解即可
详解:设点P的坐标为,有,点的坐标为,点的坐标为,直线的方程为,可得;所以直线即的方程为,可得,所以.
故选:C.
12.【答案】D
【解析】分析:由题可得和,代入椭圆可求出,即可得出长轴长.
详解:轴,在轴上的截距为1,则,
,则 ,将代入椭圆,
得,则 ,解得, ,
.
故选:D .
【点睛】
本题考查椭圆中基本量的计算,属于中档题.
13.【答案】A
【解析】分析:对命题P和命题q,进行真假判断,然后再对每个选项,根据复合命题的真假判断方法,逐个检验,即可得到结果.
详解:由椭圆的性质可知,命题P为假命题;由抛物线的性质可知,命题q为真题;
所以为真,为假,“”为真.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了复合命题真假的判断,属于基础题.
14.【答案】D
【解析】分析:先根据为的内心,且得,即,再依次讨论选项即可得答案.
详解:解:因为为的内心,设内切圆的半径为,
所以,
因为,
所以,
所以,
根据椭圆的定义得:,即.
对于A选项,,不满足,故错误;
对于B选项,,不满足,故错误;
对于C选项,,不满足,故错误;
对于D选项,,满足,故正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查利用椭圆的性质求解椭圆的方程,解题的核心是通过面积关系和椭圆的定义得到,考查分析解决问题的能力,是中档题.
15.【答案】A
【解析】分析:利用椭圆的定义即可判断.
详解:因为,所以,即,
所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆.
故选:A.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义,理解定义是解题的关键,属于基础题.
16.【答案】C
【解析】分析:先求解出椭圆的焦点坐标,然后设出椭圆方程,代入点即可求解出椭圆的方程.
详解:因为椭圆即的焦点坐标为,
所以设椭圆的方程为,代入点,
所以,解得:,所以椭圆方程为:,
故选:C.
【点睛】
本题考查求解共焦点的椭圆方程,难度一般.解答本题的的关键是能根据条件设出椭圆的方程,设椭圆方程的原则:让未知数尽量的少.
17.【答案】B
【解析】分析:根据椭圆定义,直接求的周长.
详解:由椭圆方程可知
根据椭圆的定义可知,,
的周长为.
故选:B
【点睛】
本题考查椭圆定义,重点考查理解能力,属于基础题型.
18.【答案】A
【解析】分析:根据是等腰直角三角形得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式两边分别除以a2转化为关于e的方程,解方程即可得e.
详解:由,,所以是等腰直角三角形,且,
设,所以,,
因为,所以,,即,
,由,得,则的离心率为,
故选:A.
【点睛】
本题考查椭圆的离心率,离心率是椭圆最重要的几何性质.【基础】2 椭圆的性质-2优选练习
一.单项选择
1.椭圆:的左焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
2.已知F是椭圆的左焦点,P是此椭圆上的动点,是一定点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左右焦点分别是是椭圆上的一点,且,则面积是( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的上下焦点为,,点在椭圆上,则的最大值是( )
A.9 B.16 C.25 D.27
5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( )
A.或 B.
C. D.或
6.已知椭圆的焦点为椭圆:在长轴上的顶点,且椭圆经过,则的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆:,长轴长为4,离心率为,则椭圆的方程为( )
A. B.或
C. D.或
8.设椭圆()离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点( )
A.必在圆内 B.必在圆上
C.必在圆外 D.以上三种情形都有可能
9.如图,已知椭圆的左?右焦点分别为,为椭圆上一点,,直线与轴交于点,若,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
10.已知,是椭圆:的两个焦点,若点是椭圆上的一个动点,则的周长是( )
A. B. C.8 D.10
11.已知?分别为椭圆:的左?右顶点,为椭圆上一动点,,与直线交于,两点,与的外接圆的周长分别为,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆:的长轴顶点为.,点是椭圆上除.外任意一点,直线.在轴上的截距分别为,,则( )
A.3 B.4 C. D.
13.若椭圆的焦距为4,离心率,则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C.或 D.或
14.已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m等于( )
A.5 B.10 C.15 D.25
15.设椭圆的两个焦点是,,过点的直线与椭圆交于点,,若,且,则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
16.若椭圆,的面积记作,则( ).
A. B. C. D.
17.已知点P是椭圆上一点,分别是椭圆的左.右焦点,I为的内心,若成立,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
18.已知椭圆经过点,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】D
【解析】分析:利用椭圆的定义求解.
详解:如图所示:
由椭圆的定义得:,
则的周长为.
故选:D
2.【答案】C
【解析】分析:由题意知,进而根据椭圆的第二定义可得:过 A作右准线的垂线,交与B点,可知最小值为.
详解:由椭圆可得:,
,
,
,
根据椭圆的第二定义:过A作左准线的垂线,交与B点,
如图,
则的最小值为,
的最小值为 ,
故选:C
3.【答案】B
【解析】分析:根据椭圆定义可求解出,然后根据可知的结果,从而可求解出的结果,则面积可求.
详解:因为,且,
所以,
所以,
所以,
故选:B.
【点睛】
结论点睛:椭圆上任意一点与两焦点的连线的夹角为,则焦点三角形的面积为.
4.【答案】B
【解析】分析:由椭圆定义得,然后由基本不等式可得结论.
详解:解:由题意,,
,当且仅当时等号成立,
故选:B.
5.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的定义及标准方程,列出关于的不等式组求解即可.
详解:有题意可知,解得或.
故选:D.
6.【答案】B
【解析】分析:可求出椭圆M的焦点坐标,再设出椭圆标准方程,代入条件求解.
详解:椭圆N在长轴上的顶点为,故椭圆M的焦点为,设椭圆M的方程为,
由题意得,,,
解得:,
所以的方程为,
故选:B
【点睛】
求椭圆的标准方程有两种方法:
①定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
7.【答案】B
【解析】分析:设椭圆的半长轴为a,半短轴为b,半焦距为c,离心率为e.根据长轴长求出a的值,利用离心率并结合的关系求得.然后分两种情况写出椭圆的标准方程.
详解:设椭圆的半长轴为a,半短轴为b,半焦距为c,离心率为e.
长轴长为4,,
e=,,
当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆方程为;
当焦点在y轴上时,椭圆方程为;
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的求法,属基础题,已知条件中的长轴长和离心率是与焦点位置无关的,由此求得椭圆的半长轴和半短轴,.
8.【答案】A
【解析】分析:先利用离心率得到,,代入方程整理得,利用韦达定理,代入点,得到,即可判断.
详解:∵椭圆的离心率,
∴,,
∴,
∵,
∴,
又该方程有两个实根分别为和,
∴,,
∴,
∴点在圆的内部,
故选:A.
9.【答案】B
【解析】分析:由题可得,代入点P的横坐标可得,则有,解得,即可由此求出离心率.
详解:设的坐标为,由,可得,
代入点P的横坐标,有,可得,
则有,得,
则椭圆C的离心率为.
故选:B.
10.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆的定义可求.
详解:由椭圆:知,
,,,
所以,
由椭圆的定义知,,
则的周长为:.
故选:A.
11.【答案】A
【解析】分析:容易知道,设:,:,求出,两点坐标,则,设与的外接圆的半径分别为,,由正弦定理得:,,可知,再利用基本不等式求值.
详解:由已知得.,设椭圆上动点,
则利用两点连线的斜率公式可知,,
设直线方程为:,则直线方程为:,根据对称性设,
令得,,即,,则
设与的外接圆的半径分别为,,
由正弦定理得:,,
又,
,当且仅当,即时,等号成立,即的最小值为
故选:A
【点睛】
结论点睛:本题考查椭圆的基本性质,解题的关键是要熟记椭圆的基本性质:若.分别为椭圆的左.右顶点,为椭圆上一动点,则直线与直线的斜率之积为定值,即,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于较难题.
12.【答案】A
【解析】分析:先设椭圆上点,写出.,求直线.的方程,再表示出,,即得结果.
详解:椭圆上.,设点,则,,即.
直线的方程为:,令,得,
直线的方程为:,令,得,
故.
故选:A.
13.【答案】C
【解析】分析:利用已知条件得到,求出,分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况写方程即可.
详解:由题意得:
,
解得,
则,
当焦点在轴上:;
当焦点在轴上:;
故选:C.
【点睛】
关键点睛:解决本题的关键是焦点位置不同方程不同.
14.【答案】D
【解析】分析:利用椭圆的定义,化简求解即可.
详解:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,椭圆1可知,椭圆的焦点坐标在x轴,
∴a=5,∴a2=25,即m=25.
故选:D.
15.【答案】A
【解析】分析:根据题意,用表示出,在和中分别利用余弦定理建立的数量关系,求解关于的方程即可.
详解:因为 则,又因为
则,
,
,
即,
解得,
故选:A.
【点睛】
本题考查椭圆的定义的应用,考查椭圆的离心率的求法,解题关键是利用余弦定理找到关于a.b的等量关系转化为离心率的等式,考查分析问题解决问题的能力.
16.【答案】B
【解析】分析:由椭圆的方程,结合椭圆的面积公式求出,再利用数列极限的性质求解即可.
详解:由可得,
,
所以的面积,
,
故选:B.
17.【答案】A
【解析】分析:先利用三角形内心的性质,将已知面积关系转化为焦点三角形的边长间的关系,再利用椭圆的定义和椭圆离心率定义,即可得该椭圆的离心率.
详解:设的内切圆的半径为,则由得
,
即, ,
所以离心率.
故选:A.
18.【答案】B
【解析】分析:由所给的椭圆上的点为顶点,即可求出椭圆的方程.
详解:因为椭圆经过点,
所以,且焦点在x轴上,
所以椭圆的方程为,
故选:B【精选】2 椭圆的性质优选练习
一.单项选择
1.若椭圆的焦距为2,则实数的值为( )
A.1 B.4 C.1或7 D.4或6
2.设椭圆的左.右焦点为.,过点的直线与椭圆交于点,,若是以为底的等腰三角形,且,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
3.以椭圆的长轴端点作为短轴端点,且过点的椭圆的焦距是( )
A.16 B.12 C.8 D.6
4.已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于点,若,则( )
A.3 B.8 C.13 D.16
5.已知分别为椭圆的左.右焦点,点是椭圆上位于第一象限内的点,延长交椭圆于点.若是等腰直角三角形且为斜边,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.椭圆上的一点到焦点的距离等于1,则点到另一个焦点的距离是( )
A.1 B.3 C. D.
7.设椭圆的左.右焦点分别为,是椭圆上的点,,,则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设为椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,若线段的中点在y轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
9.若椭圆的离心率为,则实数的值为( )
A.或 B.或 C. D.
10.在平面直角坐标系中,已知椭圆的上下顶点分别为,右顶点为,右焦点为,延长与交于点,若四点共圆,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,焦距等于,则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
12.过椭圆的右焦点作轴的垂线,交于A,B两点,直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点,则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
13.已知椭圆的左.右顶点分别为,,点为椭圆上异于点.点的任意一点,直线,在轴上的截距分别为,,则( )
A.1 B. C.2 D.
14.设,分别为椭圆:的左右焦点,点,分别为椭圆的右顶点和下顶点,且点关于直线的对称点为.若,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
15.椭圆的焦距为2,则( )
A. B. C. D.
16.若椭圆的右焦点为,过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. B. C.6 D.8
17.“”是此方程,表示椭圆的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
18.椭圆的左.右焦点分别为.,点在椭圆上,如果的中点在轴上,那么是的( )
A.7倍 B.6倍 C.5倍 D.4倍
参考答案与试题解析
1.【答案】D
【解析】分析:就焦点在轴上.在轴上分类讨论后可得实数的值.
详解:若焦点在轴上,则,故;
若焦点在轴上,则,故;
故选:D.
【点睛】
本题考查椭圆基本量的计算,注意对焦点位置进行讨论,本题属于基础题.
2.【答案】C
【解析】分析:利用椭圆定义由,表示出,,,然后在两个三角形中应用余弦定理可得的等式,进而求得离心率.
详解:根据题意,作图如图所示,
由,得,
,,,
由,
即,
整理得,
则,得,
故选:C.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率,解题关键是找到关于的等式,本题中利用椭圆定义表示出,,,,然后在在两个三角形中应用余弦定理建立等量关系,求得结论.
3.【答案】D
【解析】分析:设所求椭圆的方程为,将点代入,求出,由即可求解.
详解:设所求椭圆的方程为,
将点代入,解得,
则,即,,
故选:D.
【点睛】
本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程,椭圆的简单几何性质,属于基础题.
4.【答案】A
【解析】分析:首先根据椭圆的定义得到,得到,代入数值计算即可.
详解:如图所示:
,
所以.
故选:A
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义,正确运用椭圆的定义是解题的关键,属于简单题.
5.【答案】A
【解析】分析:设,可知,由椭圆的定义可得,进而可得到与的关系式,然后分别用表示,再结合勾股定理,可得,从而可求出的值.
详解:由题意且,
设,则.
由椭圆的定义可得,则.
又,得.
所以,
.
在中,由勾股定理,可得,得,
化简得,所以.
故选:A.
【点睛】
本题考查直角三角形的性质,考查椭圆定义的应用,考查椭圆离心率的求法,考查学生的计算求解能力,属于中档题.
6.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的定义,由题中条件,直接计算,即可得出结果.
详解:因为椭圆方程为,
由椭圆的定义可得,,
因为,所以.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查由椭圆的定义求椭圆上的点到焦点的距离,属于基础题型.
7.【答案】A
【解析】分析:根据是等腰直角三角形得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式两边分别除以a2转化为关于e的方程,解方程即可得e.
详解:由,,所以是等腰直角三角形,且,
设,所以,,
因为,所以,,即,
,由,得,则的离心率为,
故选:A.
【点睛】
本题考查椭圆的离心率,离心率是椭圆最重要的几何性质.
8.【答案】C
【解析】分析:根据题意可得轴,从而可得,再利用椭圆的定义可得,即求.
详解:因为线段的中点在y轴上,
所以轴,,,
所以.
故选:C
【点睛】
本题考查了椭圆的定义,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题.
9.【答案】B
【解析】分析:对椭圆的焦点位置进行分类讨论,结合椭圆的离心率公式可求得实数的值.
详解:若椭圆的焦点在轴上,此时,
则,,,
该椭圆的离心率为,解得;
若椭圆的焦点在轴上,此时,
则,,,
该椭圆的离心率为,解得.
综上所述,或.
故选:B.
【点睛】
本题考查利用椭圆的离心率求参数,解题时要注意对椭圆焦点的位置进行分类讨论,考查运算求解能力,属于基础题.
10.【答案】C
【解析】分析:由四点共圆,可得,即,列等式即可求解.
详解:
如图,,,,,
因为四点共圆,,
所以,所以,即,
,整理可得,
所以,,解得,
因为,所以.
故选:C
【点睛】
本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了基本运算能力,属于基础题.
11.【答案】A
【解析】分析:根据题意可得,,再由即可求解.
详解:由长轴长是短轴长的2倍,所以,即,
焦距等于,所以,即.
由,解得,,
所以椭圆的标准方程:.
故选:A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质.椭圆的标准方程,属于基础题.
12.【答案】A
【解析】分析:根据直线过的左焦点和上顶点写出直线的方程,再根据过椭圆的右焦点的直线与轴垂直,交于A,B两点,得到以为直径的圆的圆心和半径为,然后再根据为直径的圆与存在公共点,由圆心到直线的距离不大于半径求解.
详解:由题意得:左焦点上顶点,
所以直线l的方程为,即,
因为过椭圆的右焦点的直线与轴垂直,交于A,B两点,
所以以为直径的圆的圆心为右焦点,半径为,
因为以为直径的圆与存在公共点,
所以圆心到直线的距离不大于半径,
即,即,
所以,
所以,
故选:A
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质和直线与圆的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
13.【答案】C
【解析】分析:本题先设点P,求点.点,再求直线.的方程,最后表示出.,求解即可
详解:设点P的坐标为,有,点的坐标为,点的坐标为,直线的方程为,可得;所以直线即的方程为,可得,所以.
故选:C.
14.【答案】C
【解析】分析:根据已知求出坐标,利用,建立关系,结合,即可求解.
详解:设,则的中点为,
即在轴上,又在直线上,
即点与重合,
故
,∴.
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质.点关于直线对称的应用,考查计算求解能力,属于中档题.
15.【答案】A
【解析】分析:由可得椭圆的焦点在轴上且,由焦距可得:,代入公式即可得解.
详解:由,设短轴长为,
可知:椭圆的焦点在轴上,且,
由焦距可得:,
所以由,
所以,
故选:A.
【点睛】
本题考查了椭圆的基本量的运算,考查了椭圆的基本性质,是概念题,属于基础题.
16.【答案】B
【解析】分析:根据椭圆定义,直接求的周长.
详解:由椭圆方程可知
根据椭圆的定义可知,,
的周长为.
故选:B
【点睛】
本题考查椭圆定义,重点考查理解能力,属于基础题型.
17.【答案】B
【解析】分析:根据方程表示椭圆的充要条件解得或,再结合必要不充分条件的概念可得答案.
详解:因为方程表示椭圆的充要条件是即或,
而“”是“或”的必要不充分条件,
所以“”是此方程,表示椭圆的必要不充分条件.
故选:B
【点睛】
本题考查了必要不充分条件的概念,考查了椭圆的标准方程的结构特征,这里容易漏掉分母不能相等,属于基础题.
18.【答案】C
【解析】分析:根据题意可得轴,再利用通径的长度的一半,可求得,利用椭圆的定义可求得,即可得答案;
详解:设的中点为,为的中位线,
轴,,
,
,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的定义和通径等知识,考查函数与方程思想.转化与化归思想,考查逻辑推理能力.运算求解能力.【基础】2 椭圆的性质优选练习
一.单项选择
1.已知为椭圆的左.右焦点,为的短轴端点,的延长线交于点,关于轴的对称点为,若,则的离心率是( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,焦距等于,则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左右焦点分别为,,过的直线与交于,两点,其中为椭圆与轴正半轴的交点.若,则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则( )
A. B. C. D.
5.若椭圆的右焦点为,过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于,两点,则的周长为( )
A. B. C.6 D.8
6.设椭圆(a>b>0)的左.右焦点分别为.,P是椭圆上一点,,(),,则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知点,椭圆与直线交于点,则的周长为( )
A.4 B. C. D.6
试卷第12页,总12页
8.椭圆的焦距为2,则( )
A. B. C. D.
9.已知为椭圆上一点,为坐标原点,,为椭圆的左右焦点,若,且,的面积为4,则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
11.以椭圆的长轴端点作为短轴端点,且过点的椭圆的焦距是( )
A.16 B.12 C.8 D.6
12.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线上存在一点满足,则椭圆的离心率的最小值为( ).
A. B. C. D.
13.设为椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,若线段的中点在y轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
14.设椭圆的左.右焦点为.,过点的直线与椭圆交于点,,若是以为底的等腰三角形,且,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
15.已知椭圆方程,那么它的焦距是( )
A.1 B.2 C. D.
16.已知椭圆方程为为椭圆上任意一点,为椭圆的焦点,则( )
A. B. C. D.
17.已知分别为椭圆的左.右焦点,点是椭圆上位于第一象限内的点,延长交椭圆于点.若是等腰直角三角形且为斜边,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
18.已知椭圆的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】D
【解析】分析:写出方程,与椭圆方程联立求得点坐标,由对称性得点坐标,由,其斜率乘积为得的等式,变形后可求得离心率.
详解:依题意得,设,直线的方程为,代入得,解得或,时,,
所以,所以,因为①,又因为,,所以②,联立①②得,又,代入解得,
故选:D.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率,解题关键是列出关于的等式,正好题中两直线垂直得斜率乘积为,只要得出点坐标即可列式.
2.【答案】A
【解析】分析:根据题意可得,,再由即可求解.
详解:由长轴长是短轴长的2倍,所以,即,
焦距等于,所以,即.
由,解得,,
所以椭圆的标准方程:.
故选:A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质.椭圆的标准方程,属于基础题.
3.【答案】D
【解析】分析:根据求出 ,代入椭圆方程化简得,从而得到答案.
详解:由已知可得,,
设,因为,所以,即,
求得,
代入椭圆方程可得,即,
解得.
故选:D.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用,涉及到向量共线的知识点,考查计算能力,属于基础题型.
4.【答案】C
【解析】分析:利用椭圆的几何性质,列方程组,然后直接求解即可
详解:由于该椭圆焦点在轴上,则半焦距满足,
可得
故答案选:C
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质,属于基础题
5.【答案】B
【解析】分析:根据椭圆定义,直接求的周长.
详解:由椭圆方程可知
根据椭圆的定义可知,,
的周长为.
故选:B
【点睛】
本题考查椭圆定义,重点考查理解能力,属于基础题型.
6.【答案】B
【解析】分析:设,,运用椭圆的定义和勾股定理,求得,令,可得,即有,运用二次函数的最值的求法,解不等式可得所求范围.
详解:解:设,,由椭圆的定义可得,,
可设,可得,
即有,①
由,可得,
即为,②
由②①,可得,
令,可得,
即有,
由,可得,即,
则当时,取得最小值;当或3时,取得最大值,
即有,解得:,
所以椭圆离心率的取值范围为.
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的定义.方程和性质,主要考查离心率的范围,同时考查不等式的解法,属于中档题.
7.【答案】C
【解析】分析:根据点是椭圆的右焦点,直线,过椭圆的左焦点,利用椭圆的定义求解.
详解:因为点是椭圆的右焦点,
又因为直线,过椭圆的左焦点,
且椭圆与直线交于点,
由椭圆的定义得:,
所以的周长为.
故选:C
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
8.【答案】A
【解析】分析:由可得椭圆的焦点在轴上且,由焦距可得:,代入公式即可得解.
详解:由,设短轴长为,
可知:椭圆的焦点在轴上,且,
由焦距可得:,
所以由,
所以,
故选:A.
【点睛】
本题考查了椭圆的基本量的运算,考查了椭圆的基本性质,是概念题,属于基础题.
9.【答案】A
【解析】分析:由已知条件可得为直角三角形,若设,则结合椭圆的定义和直角三角形的性质,已知条件得,,,,,从而可求出的值,进而可求出椭圆的方程
详解:解:设,
因为,所以,所以为直角三角形,即,
因为,所以,
因为的面积为4,所以,即,
因为,所以,
由椭圆的定义可得,所以
所以解得,,所以,
所以所求椭圆方程为,
故选:A
【点睛】
此题考查椭圆方程的求法,考查椭圆定义的应用,考查计算能力,属于中档题
10.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆的长轴在x轴上,焦距为4,列出关于的方程解出即可.
详解:因为椭圆的长轴在x轴上,
所以,解得.
因为焦距为4,所以,解得.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
11.【答案】D
【解析】分析:设所求椭圆的方程为,将点代入,求出,由即可求解.
详解:设所求椭圆的方程为,
将点代入,解得,
则,即,,
故选:D.
【点睛】
本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程,椭圆的简单几何性质,属于基础题.
12.【答案】C
【解析】分析:设的中点为,可得,则为等腰三角形,从而得到,再由,得到离心率的最小值.
详解:解:由已知,可得,
设的中点为,则,
∴,
∴,
∴为等腰三角形,即,且,
∵点在直线,
∴,即,
∴,
∴,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质,两向量垂直的充要条件,属于中档题.
13.【答案】C
【解析】分析:根据题意可得轴,从而可得,再利用椭圆的定义可得,即求.
详解:因为线段的中点在y轴上,
所以轴,,,
所以.
故选:C
【点睛】
本题考查了椭圆的定义,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题.
14.【答案】C
【解析】分析:利用椭圆定义由,表示出,,,然后在两个三角形中应用余弦定理可得的等式,进而求得离心率.
详解:根据题意,作图如图所示,
由,得,
,,,
由,
即,
整理得,
则,得,
故选:C.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率,解题关键是找到关于的等式,本题中利用椭圆定义表示出,,,,然后在在两个三角形中应用余弦定理建立等量关系,求得结论.
15.【答案】B
【解析】分析:根据已知条件求得,由此求得焦距.
详解:依题意,所以,所以间距.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查椭圆焦距的求法,属于基础题.
16.【答案】B
【解析】分析:由椭圆方程求出实半轴长,再由椭圆定义可得结论.
详解:由椭圆的方程知,,即,所以由椭圆的定义可知,,
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的定义,属于简单题.
17.【答案】A
【解析】分析:设,可知,由椭圆的定义可得,进而可得到与的关系式,然后分别用表示,再结合勾股定理,可得,从而可求出的值.
详解:由题意且,
设,则.
由椭圆的定义可得,则.
又,得.
所以,
.
在中,由勾股定理,可得,得,
化简得,所以.
故选:A.
【点睛】
本题考查直角三角形的性质,考查椭圆定义的应用,考查椭圆离心率的求法,考查学生的计算求解能力,属于中档题.
18.【答案】C
【解析】分析:设,,,利用勾股定理,结合椭圆的定义,转化求解椭圆的离心率即可.
详解:由已知,设,,,
据勾股定理有;由椭圆定义知的周长为,
有,;
在直角△中,由勾股定理,,
离心率,
故选:.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用,三角形的解法,考查计算能力.【优编】2 椭圆的性质-1作业练习
一.单项选择
1.如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点的距离为2,N是的中点,O是坐标原点,则线段ON的长为( )
A.2 B.4 C.8 D.
2.设,是椭圆的两个焦点,点P为该椭圆上的任意一点,且,,则椭圆的短轴长为
A.4 B.6 C.8 D.10
3.过椭圆上一点分别向圆和圆作切线,切点分别为.,则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆:离心率为,点在上,则椭圆的短轴长为( )
A.1 B. C.2 D.
5.已知是椭圆的左焦点,为椭圆上任意一点,点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.设焦点.分别是椭圆左右焦点,若椭圆上存在异于顶点的一点P使得是顶角为的等腰三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.若椭圆的左焦点为,则( )
A.2 B.3 C. D.9
8.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )
A.[1,4] B.[2,6] C.[3,5 ] D.[3,6]
9.椭圆25x2+9y2=225的长轴长.短轴长.离心率依次是( )
A.5,3, B.10,6,
C.5,3, D.10,6,
10.已知F1,F2分别是椭圆的左?右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为( )
A. B. C. D.
11.在椭圆中,分别是其左右焦点,若,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且,则的面积等于( )
A.24 B.26 C. D.
13.已知,是椭圆E:()的左.右焦点,点M在E上,与x轴垂直,,则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
14.如图,已知圆柱的底面半径为2,与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
15.已知点为椭圆上的一点,,是椭圆的焦点,且,则的面积为( )
A. B. C.2 D.
16.比较下列四个椭圆的形状,其中更接近于圆的是( )
A. B.
C. D.
17.已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
18.已知椭圆的左焦点为,且点在上,则的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】C
【解析】分析:设椭圆的另一个焦点为,根据椭圆的定义可得,再根据中位线定理可得结果.
详解:设椭圆的另一个焦点为,
因为,所以,
因为,所以,
所以.
故选:C.
2.【答案】C
【解析】分析:利用椭圆的定义与性质,转化求解即可.
详解:设.是椭圆的两个焦点,点P为椭圆上的点,且,可得,
,可得,
则椭圆的短轴长为:.
故选C.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及其应用,属于基础题.
3.【答案】A
【解析】分析:易知两圆的圆心为椭圆的两焦点,由勾股定理可得,,由椭圆的定义可得,设,利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
详解:,,,易知.为椭圆的两个焦点,
,
根据椭圆定义,设,则,即,
则,
当时,取到最小值.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用椭圆的定义求解最值问题,同时也考查了圆的切线长的计算,考查计算能力,属于中等题.
4.【答案】C
【解析】分析:由椭圆性质得,利用离心率可得,再由的关系求得.
详解:因为,,所以,所以,
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的性质,掌握离心率及的关系是解题基础.
5.【答案】B
【解析】分析:作出图象,利用椭圆的定义,由求解.
详解:因为椭圆,
所以,
如图所示:
由椭圆的定义得:,
当点P在点处,取等号,
所以的最大值为9,
故选:B
6.【答案】A
【解析】分析:设,因为是顶角为的等腰三角形,从而求出,再利用椭圆的定义即可求解.
详解:不妨设,且,
则,
由椭圆的定义可得,
所以.
故选:A
7.【答案】C
【解析】分析:根据椭圆中a,b,c的关系进行计算即可.
详解:根据焦点坐标可知焦点在轴,
所以,,,
又因为,解得.
故选:C
8.【答案】C
【解析】分析:利用椭圆的定义得到动点P的轨迹是椭圆,再根据点P为椭圆的长轴端点时,|PA|的分别取得最大值,最小值求解.
详解:根据题意,,
所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,以8为长轴长的椭圆,
所以a=4,c=1,
因为点P为椭圆的长轴端点时,|PA|的分别取得最大值,最小值,
所以,
所以|PA|的取值范围是 [3,5 ],
故选:C
9.【答案】B
【解析】分析:变换得到,得到答案.
详解:,即,故,
故长轴长.短轴长.离心率依次是,即.
故选:B.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率,长轴长,短轴长,属于简单题.
10.【答案】A
【解析】分析:根据向量的共线定理,求得B点坐标,代入椭圆方程,求得b的值,求得椭圆方程.
详解:由题意可得,轴,
,
点坐标为,
设,由,
,
,
代入椭圆方程得,
,
,
故选:A
11.【答案】B
【解析】分析:根据椭圆定义,结合,解得|,然后根据椭圆的几何性质,由求解.
详解:根据椭圆定义,
将代入得|,
根据椭圆的几何性质,,
故,即,
故,又,
所以椭圆离心率的取值范围为
故选:B.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义和几何性质,属于基础题.
12.【答案】A
【解析】分析:由椭圆的定义可得,,,由勾股定理可得,即可得解.
详解:由题意,椭圆,所以,所以,
又,所以,
因为,所以,
所以,
故的面积.
故选:A.
【点睛】
本题考查了椭圆定义的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
13.【答案】D
【解析】分析:根据所给条件可得:,解可得:,再结合椭圆的定义可得,从而求得离心率e.
详解:因为与x轴垂直,所以.
又,所以,
即,
由椭圆的定义得,
所以,
则,即,
得离心率,
故选:D.
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率问题,考查了椭圆的定义和解三角形,解此类问题的关键是得到之间的关系,本题属于中档题.
14.【答案】D
【解析】分析:如图所示,设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点.圆柱的底面中心为O,则,可得, b,求出c,然后求解结果.
详解:如图所示,
设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点,圆柱的底面中心为O,
则,
可得,
,
椭圆的焦距为:
故选:D
15.【答案】A
【解析】分析:结合椭圆的定义及 ,在中,利用余弦定理解得,代入求解.
详解:由椭圆的定义得:,
又 ,
在 中,由余弦定理得: ,
,
所以,
解得,
所以,
故选:A
16.【答案】B
【解析】分析:分别求出四个椭圆的离心率,离心率的范围在,根据离心率越小越接近于圆可得答案.
详解:A. 由,得,,离心率为;
B. ,得,,离心率为;
C. ,得,,离心率为;
D. ,得,,离心率为,
因为,所以更接近于圆.
故选:B.
17.【答案】A
【解析】详解:设另一个焦点为,则由题意可知,
且,,
所以.
故选:A.
18.【答案】C
【解析】分析:由椭圆的左焦点坐标,可求出右焦点坐标为,根据椭圆定义即可求出长轴
,求出即可得解.
详解:设的左.右焦点分别为,,
由左焦点为,为
则,
即,
则.
故选:C.
【点睛】
本题考查了求椭圆离心率问题,考查了椭圆的定义和离心率公式,属于简单题.【精选】2 椭圆的性质-2作业练习
一.单项选择
1.已知点,是椭圆:的左.右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,且,则的离心率为( )
A. B. C. D.
2.若椭圆上一点P到左焦点的距离为5,则其到右准线的距离为( )
A. B. C. D.
3.设椭圆的两个焦点分别为.,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
4.椭圆()上一点关于原点的对称点为,为椭圆的一个焦点,若,且,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆,点为左焦点,点为下顶点,平行于的直线交椭圆于,两点,且的中点为,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图,已知椭圆的左?右焦点分别为,为椭圆上一点,,直线与轴交于点,若,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆:的长轴顶点为.,点是椭圆上除.外任意一点,直线.在轴上的截距分别为,,则( )
A.3 B.4 C. D.
9.已知椭圆的焦点为椭圆:在长轴上的顶点,且椭圆经过,则的方程为( )
A. B. C. D.
10.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( )
A.或 B.
C. D.或
11.焦点在轴上的椭圆的离心率是,则实数的值是( )
A. B. C. D.
12.当时,方程表示的曲线是( )
A.焦点在轴的椭圆
B.焦点在轴的椭圆
C.双曲线
D.圆
13.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率为,则C的方程是( )
A. B. C. D.
14.已知?分别为椭圆:的左?右顶点,为椭圆上一动点,,与直线交于,两点,与的外接圆的周长分别为,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
15.椭圆:的左焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
16.已知点为椭圆的右焦点,点为椭圆与圆的一个交点,则( )
A.1 B. C.2 D.
17.若椭圆,的面积记作,则( ).
A. B. C. D.
18.已知椭圆的上下焦点为,,点在椭圆上,则的最大值是( )
A.9 B.16 C.25 D.27
参考答案与试题解析
1.【答案】D
【解析】分析:设,先求出点,得,化简即得解.
详解:由题意可知椭圆的焦点在轴上,如图所示,设,则,
∵为等腰三角形,且,
∴.
过作垂直轴于点,则,
∴,,即点.
∵点在过点且斜率为的直线上,
∴,解得,
∴.
故选:D
【点睛】
方法点睛:求椭圆的离心率常用的方法有:(1)公式法(求出椭圆的代入离心率的公式即得解);(2)方程法(通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解).
2.【答案】D
【解析】分析:利用椭圆的第一定义,即可求得点到椭圆的右焦点的距离,再利用第二定义可得答案.
详解:设点到椭圆的右焦点的距离是,
椭圆即:,椭圆上一点到左焦点的距离为5,
,,
设P到右准线的距离为,
由椭圆的第二定义可得,
故选:.
3.【答案】B
【解析】分析:解法一,根据条件可知,列式建立等量关系求离心率;解法二,
根据是等腰直角三角形,结合椭圆的定义,求椭圆的离心率.
详解:解一:设椭圆方程为,依题意,显然有,则,
即,即,解得,故选B.
解二:∵为等腰直角三角形,∴,,
∵,∴,∴.
故选:B.
4.【答案】D
【解析】分析:是另一个焦点,由对称性知是平行四边形,从而得是矩形.,在直角三角形中用表示出两直角边,再上椭圆定义得的等式,求得离心率.
详解:如图,是另一个焦点,由对称性知是平行四边形,
∵,∴,∴是矩形.
,∴,
∴,,
∴,
∴.
故选:D.
【点睛】
关键点点睛:本题考查求椭圆的离心率,解题关键是找到的关系,本题利用椭圆的对称性,引入另一焦点后形成一个平行四边形,再根据向量数量积得垂直,从而得到矩形,在矩形中利用椭圆的定义构造出的关系.求出离心率.
5.【答案】A
【解析】分析:由椭圆方程得出,可求出离心率.
详解:由椭圆,可得,则
所以椭圆的离心率为
故选:A
6.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆方程,求得,设,然后利用点差法得到,再根据的中点为得到求解.
详解:因为椭圆,
所以点为左焦点,点,
因为直线l平行于,
所以,
设,
因为AB在椭圆上,
所以,
两式相减得:,
又因为的中点为,
所以,即,
所以 ,即,
解得,又,
所以,
故选:A
【点睛】
方法点睛:求解直线与椭圆的位置关系的常规方法:先把直线方程与椭圆方程联立,消元.化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
7.【答案】B
【解析】分析:由题可得,代入点P的横坐标可得,则有,解得,即可由此求出离心率.
详解:设的坐标为,由,可得,
代入点P的横坐标,有,可得,
则有,得,
则椭圆C的离心率为.
故选:B.
8.【答案】A
【解析】分析:先设椭圆上点,写出.,求直线.的方程,再表示出,,即得结果.
详解:椭圆上.,设点,则,,即.
直线的方程为:,令,得,
直线的方程为:,令,得,
故.
故选:A.
9.【答案】B
【解析】分析:可求出椭圆M的焦点坐标,再设出椭圆标准方程,代入条件求解.
详解:椭圆N在长轴上的顶点为,故椭圆M的焦点为,设椭圆M的方程为,
由题意得,,,
解得:,
所以的方程为,
故选:B
【点睛】
求椭圆的标准方程有两种方法:
①定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
10.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的定义及标准方程,列出关于的不等式组求解即可.
详解:有题意可知,解得或.
故选:D.
11.【答案】A
【解析】分析:由题意可得,则,再由离心率是,可得,从而可求出实数的值
详解:解:由题意可得,则,
因为,所以,
所以,解得,
故选:A
12.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆的标准方程的形式,即可求解,得到答案.
详解:因为,可得且,
所以方程表示焦点在轴的椭圆.
故选:A.
13.【答案】C
【解析】分析:由焦点坐标得到,再由离心率求出,由求出,则椭圆的方程可求.
详解:因为椭圆的右焦点为,所以,
又离心率等于,所以,则.
所以椭圆的方程为.
故答案为:.
故选:C.
14.【答案】A
【解析】分析:容易知道,设:,:,求出,两点坐标,则,设与的外接圆的半径分别为,,由正弦定理得:,,可知,再利用基本不等式求值.
详解:由已知得.,设椭圆上动点,
则利用两点连线的斜率公式可知,,
设直线方程为:,则直线方程为:,根据对称性设,
令得,,即,,则
设与的外接圆的半径分别为,,
由正弦定理得:,,
又,
,当且仅当,即时,等号成立,即的最小值为
故选:A
【点睛】
结论点睛:本题考查椭圆的基本性质,解题的关键是要熟记椭圆的基本性质:若.分别为椭圆的左.右顶点,为椭圆上一动点,则直线与直线的斜率之积为定值,即,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于较难题.
15.【答案】D
【解析】分析:利用椭圆的定义求解.
详解:如图所示:
由椭圆的定义得:,
则的周长为.
故选:D
16.【答案】B
【解析】分析:求出椭圆的焦点坐标,圆的圆心和半径,利用椭圆的定义进行转化,即可求解.
详解:由题意,点F为椭圆C:的右焦点,则,左焦点为,
圆的圆心坐标为,半径为,
可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点,
又由P为椭圆C与圆的一个交点,
根据椭圆的定义可得,
所以.
故选:B.
【点睛】
关键点睛:本题主要考查了椭圆的定义.标准方程及其简单的几何性质的应用,解题的关键是判断出圆的圆心恰好为椭圆的左焦点,利用椭圆定义转化求解.
17.【答案】B
【解析】分析:由椭圆的方程,结合椭圆的面积公式求出,再利用数列极限的性质求解即可.
详解:由可得,
,
所以的面积,
,
故选:B.
18.【答案】B
【解析】分析:由椭圆定义得,然后由基本不等式可得结论.
详解:解:由题意,,
,当且仅当时等号成立,
故选:B.【优质】2 椭圆的性质-2练习
一.单项选择
1.设椭圆的右焦点为F,椭圆C上的两点,且满足,,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知.是椭圆的左.右焦点,过的直线与椭圆交于.两点,,且,则与的面积之比为( )
A. B.
C. D.
3.已知椭圆,点为左焦点,点为下顶点,平行于的直线交椭圆于,两点,且的中点为,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.若椭圆上一点P到左焦点的距离为5,则其到右准线的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知点,是椭圆:的左.右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,且,则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的右焦点,是椭圆上任意一点,点,则的周长最大值为( )
A. B. C.14 D.
7.设椭圆的两个焦点分别为.,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
8.设P是椭圆上的点,为其两焦点,则满足的点P的个数是( )
A. B. C. D.
9.2020年3月9日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭,成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点?远地点离地面的距离大约分别是,则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是( )
A. B. C. D.
10.椭圆的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
11.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”其中,如图,设点,是相应椭圆的焦点,.和.是“果圆”与x,y轴的交点,若是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为( )
A.5,4 B.,1 C.5,3 D.,1
12.已知分别是椭圆且的焦点,椭圆E的离心率,过点的直线交椭圆于两点,则的周长是( )
A. B. C.4或 D.8或
13.已知的周长是20,且顶点B的坐标为,C的坐标为,则顶点A的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
14.在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于.两点,且,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
15.椭圆()上一点关于原点的对称点为,为椭圆的一个焦点,若,且,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
16.已知,分别为椭圆()的左.右焦点,是椭圆上的一点,点在线段延长线上,且,过作直线于,则动点的轨迹为( ).
A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆
17.已知椭圆,长轴在轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
18.设是椭圆的左.右焦点,P为直线上一点,是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】C
【解析】分析:设椭圆的左焦点,由椭圆的对称性结合,得到四边形为矩形,设,,在直角中,利用椭圆的定义和勾股定理化简得到,再根据,得到的范围,然后利用双勾函数的值域得到的范围,然后由求解.
详解:如图所示:
设椭圆的左焦点,由椭圆的对称性可知,四边形为平行四边形
又,即
所以平行四边形为矩形
所以
设,
在直角中,,,得
所以
令,得
又由,得
所以
所以 ,即
所以
所以离心率的取值范围是
故选:C
【点睛】
解决本题的关键是由几何关系证明四边形为矩形得出,再由对勾函数的性质得出离心率的取值范围.
2.【答案】D
【解析】分析:设,则,由已知条件得出,利用椭圆的定义可得,,则,利用勾股定理可求得,进而可得出,代入计算即可得解.
详解:可设,则,,则,
由椭圆的定义可得,,则,
则,即,
即有,解得,
则与的面积之比为.
故选:D.
【点睛】
方法点睛:椭圆上一点与两个焦点构成的三角形,称为椭圆的“焦点三角形”,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理.余弦定理以及椭圆的定义来解决.
3.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆方程,求得,设,然后利用点差法得到,再根据的中点为得到求解.
详解:因为椭圆,
所以点为左焦点,点,
因为直线l平行于,
所以,
设,
因为AB在椭圆上,
所以,
两式相减得:,
又因为的中点为,
所以,即,
所以 ,即,
解得,又,
所以,
故选:A
【点睛】
方法点睛:求解直线与椭圆的位置关系的常规方法:先把直线方程与椭圆方程联立,消元.化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
4.【答案】D
【解析】分析:利用椭圆的第一定义,即可求得点到椭圆的右焦点的距离,再利用第二定义可得答案.
详解:设点到椭圆的右焦点的距离是,
椭圆即:,椭圆上一点到左焦点的距离为5,
,,
设P到右准线的距离为,
由椭圆的第二定义可得,
故选:.
5.【答案】D
【解析】分析:设,先求出点,得,化简即得解.
详解:由题意可知椭圆的焦点在轴上,如图所示,设,则,
∵为等腰三角形,且,
∴.
过作垂直轴于点,则,
∴,,即点.
∵点在过点且斜率为的直线上,
∴,解得,
∴.
故选:D
【点睛】
方法点睛:求椭圆的离心率常用的方法有:(1)公式法(求出椭圆的代入离心率的公式即得解);(2)方程法(通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解).
6.【答案】C
【解析】分析:设椭圆的左焦点为,,,利用,即可得出.
详解:如图所示设椭圆的左焦点为,
,
则,
,
的周长
,
当且仅当三点,,共线时取等号.
的周长最大值等于14.
故选:.
【点睛】
关键点点睛:解答本题的关键是利用椭圆的定义将三角形周长转化为求解,解答与椭圆焦点有关的试题时往往用到椭圆的定义:.
7.【答案】B
【解析】分析:解法一,根据条件可知,列式建立等量关系求离心率;解法二,
根据是等腰直角三角形,结合椭圆的定义,求椭圆的离心率.
详解:解一:设椭圆方程为,依题意,显然有,则,
即,即,解得,故选B.
解二:∵为等腰直角三角形,∴,,
∵,∴,∴.
故选:B.
8.【答案】C
【解析】分析:根据椭圆的标准方程,得出a?b?c的值,由得出点P在以为直径的圆除?上,根据圆与椭圆的交点个数即可求解.
详解:解:椭圆中,
,
,
焦点;
又,
点P在以为直径的圆上除?,
又,
圆与椭圆有2个交点,满足条件的点有2个,
故选:C.
9.【答案】A
【解析】分析:以运行轨迹的中心为原点,长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系,用表示,求得后可得离心率.
详解:以运行轨迹的中心为原点,长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系,令地心为椭圆的右焦点,设椭圆标准方程为,,其中,
由题意,,解得,,
所以.
故选:A.
10.【答案】C
【解析】分析:先将椭圆化为标准方程,判断出焦点的位置以及与的值,从而求解出,可得焦点坐标.
详解:椭圆,化为标准方程为,可知焦点在轴上,且,所以,即,所以焦点坐标为.
故选:C.
11.【答案】D
【解析】分析:根据方程表示出,,由是边长为1的等边三角形即可求出.
详解:解:由题意可得,
,解得,
又,得,即,.
故选:D.
12.【答案】D
【解析】分析:由的周长是,讨论焦点在轴上和轴上两种情况,结合方程和离心率即可得解.
详解:椭圆E的离心率,的周长是
当椭圆的焦点在轴上时,,此时,周长为8;
当椭圆的焦点在轴上时,,解得,此时,周长为.
故选:D.
【点睛】
易错点睛:本题的易错点是没有讨论焦点在轴上的情况.
13.【答案】C
【解析】分析:根据椭圆的定义确定点的轨迹是椭圆,确定得出方程.
详解:由题意可知,则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆,且点不在轴上
,即
故选:C
14.【答案】D
【解析】分析:先将代入椭圆方程求得的坐标,即可表示出,由,可知,从而构造出关于的齐次方程,由即可求得结果.
详解:解:将代入椭圆方程得:,
解得:,
不妨设:,,
又椭圆焦点,
,,
又,
,
即,
,
.
故选:D.
【点睛】
关键点点睛:本题考查椭圆离心率的求解问题,关键是能够利用垂直关系构造出关于的齐次方程,从而根据求得离心率.
15.【答案】D
【解析】分析:是另一个焦点,由对称性知是平行四边形,从而得是矩形.,在直角三角形中用表示出两直角边,再上椭圆定义得的等式,求得离心率.
详解:如图,是另一个焦点,由对称性知是平行四边形,
∵,∴,∴是矩形.
,∴,
∴,,
∴,
∴.
故选:D.
【点睛】
关键点点睛:本题考查求椭圆的离心率,解题关键是找到的关系,本题利用椭圆的对称性,引入另一焦点后形成一个平行四边形,再根据向量数量积得垂直,从而得到矩形,在矩形中利用椭圆的定义构造出的关系.求出离心率.
16.【答案】D
【解析】分析:由题意可得平分,设关于的对称点为,可得,进而可得点的轨迹.
详解:根据题意,
即
故平分,
又因为,
设关于的对称点为,
所以,
由椭圆定义可得,
在中,为中位线,
故,
所以(定值),
故点的轨迹为圆.
故选:D
17.【答案】D
【解析】分析:先将椭圆的方程化为标准方程,进而根据焦距求得.
详解:解:由题意知:椭圆的标准方程为:,
又椭圆的长轴在轴上,
,
解得:;
又,
,
即,
解得:.
故选:D .
【点睛】
易错点睛:由圆锥曲线的方程求参数范围时,应注意将方程化为标准方程,再根据焦点的位置求出相应的参数.
18.【答案】C
【解析】分析:过点作轴于点,根据题中条件,找出之间的关系,即可求出离心率.
详解:过点作轴于点,如图所示:
由是底角为的等腰三角形得,,所以,,
所以,
所以,即离心率.
故选:C.
【点睛】
方法点睛:
求离心率通常有以下几种情况:
①直接求出,从而求出;
②构造的齐次式,求出;;
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;;
④根据圆锥曲线的统一定义求解.【精挑】2 椭圆的性质-2作业练习
一.单项选择
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率为,则C的方程是( )
A. B. C. D.
2.设椭圆的右焦点为F,椭圆C上的两点,且满足,,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.椭圆的离心率为,长轴长为4,则该椭圆的短轴长为( )
A.2 B. C. D.
4.如图,已知是椭圆的左焦点,是椭圆上的一点,轴,(O为原点),则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆C的方程为,焦距为,直线与椭圆相交于,两点,若,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的上.下顶点分别为,是过椭圆C的左顶点A,倾斜角为的直线,若以线段为直径的圆与直线相切,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆,长轴在轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
8.如图,已知椭圆的左?右焦点分别为,为椭圆上一点,,直线与轴交于点,若,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆:的长轴顶点为.,点是椭圆上除.外任意一点,直线.在轴上的截距分别为,,则( )
A.3 B.4 C. D.
10.当时,方程表示的曲线是( )
A.焦点在轴的椭圆
B.焦点在轴的椭圆
C.双曲线
D.圆
11.已知?分别为椭圆:的左?右顶点,为椭圆上一动点,,与直线交于,两点,与的外接圆的周长分别为,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆的焦点为椭圆:在长轴上的顶点,且椭圆经过,则的方程为( )
A. B. C. D.
13.椭圆的焦距等于( )
A.2 B.6 C. D.
14.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( )
A.或 B.
C. D.或
15.已知椭圆的左右焦点分别为,,过点的直线与椭圆交于,两点(点,异于椭圆长轴端点),则的周长为( )
A.10 B.20 C.8 D.16
16.已知椭圆的左右焦点分别为,,点为椭圆的上顶点,是直线与椭圆的另一个交点,且,的面积为,则( )
A.8 B.9 C.10 D.11
17.若椭圆上一点P到左焦点的距离为5,则其到右准线的距离为( )
A. B. C. D.
18.设是椭圆上的一个动点,定点,则的最大值是( )
A. B.1 C.3 D.9
参考答案与试题解析
1.【答案】C
【解析】分析:由焦点坐标得到,再由离心率求出,由求出,则椭圆的方程可求.
详解:因为椭圆的右焦点为,所以,
又离心率等于,所以,则.
所以椭圆的方程为.
故答案为:.
故选:C.
2.【答案】C
【解析】分析:设椭圆的左焦点,由椭圆的对称性结合,得到四边形为矩形,设,,在直角中,利用椭圆的定义和勾股定理化简得到,再根据,得到的范围,然后利用双勾函数的值域得到的范围,然后由求解.
详解:如图所示:
设椭圆的左焦点,由椭圆的对称性可知,四边形为平行四边形
又,即
所以平行四边形为矩形
所以
设,
在直角中,,,得
所以
令,得
又由,得
所以
所以 ,即
所以
所以离心率的取值范围是
故选:C
【点睛】
解决本题的关键是由几何关系证明四边形为矩形得出,再由对勾函数的性质得出离心率的取值范围.
3.【答案】C
【解析】分析:根据长轴长为4,得到,从而得到,进一步得到,最终得到答案.
详解:因为长轴长为4,所以,
根据离心率为,得
所以
所以短轴长为.
故选:C.
4.【答案】A
【解析】分析:根据题中条件,先得到,求出,根据得到,化简整理,即可求出结果.
详解:因为是椭圆的左焦点,所以,,,
因为是椭圆上的一点,轴,
将代入得,所以;
又,所以,,即,整理得,
所以该椭圆的离心率为.
故选:A.
【点睛】
关键点点睛:
求椭圆的离心率,解题关键是找到关于a,b,c的等量关系.本题中根据轴,求出点坐标,根据,得出等式,化简整理,得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力.
5.【答案】A
【解析】分析:先设出点的坐标,根据直线与椭圆都关于原点对称可得:,由两点间的距离公式列出方程,再由点在直线和椭圆上,列出方程,即可解得离心率.
详解:解:设直线与椭圆在第一象限内的交点为,
,
又,
,
即,
解得:,
,
又在椭圆上,
,
又,
整理得:,
即: ,
又,
.
故选:A.
【点睛】
方法点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
求出,,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合转化为a,的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).
6.【答案】C
【解析】分析:先由题中条件,得出以线段为直径的圆的方程,以及直线的方程,再由直线与圆线切列出方程求解,即可得出结果.
详解:因为椭圆的上.下顶点分别为,
所以,以线段为直径的圆的方程为,
又是过椭圆C的左顶点A,倾斜角为的直线,
所以的方程为,即,
又以线段为直径的圆与直线相切,
所以圆心到直线的距离为,即,
所以离心率为.
故选:C.
【点睛】
关键点点睛:
求解本题的关键在于,根据题中条件,得出直线与圆的方程,再由直线与圆相切,即可得出结果.
7.【答案】D
【解析】分析:先将椭圆的方程化为标准方程,进而根据焦距求得.
详解:解:由题意知:椭圆的标准方程为:,
又椭圆的长轴在轴上,
,
解得:;
又,
,
即,
解得:.
故选:D .
【点睛】
易错点睛:由圆锥曲线的方程求参数范围时,应注意将方程化为标准方程,再根据焦点的位置求出相应的参数.
8.【答案】B
【解析】分析:由题可得,代入点P的横坐标可得,则有,解得,即可由此求出离心率.
详解:设的坐标为,由,可得,
代入点P的横坐标,有,可得,
则有,得,
则椭圆C的离心率为.
故选:B.
9.【答案】A
【解析】分析:先设椭圆上点,写出.,求直线.的方程,再表示出,,即得结果.
详解:椭圆上.,设点,则,,即.
直线的方程为:,令,得,
直线的方程为:,令,得,
故.
故选:A.
10.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆的标准方程的形式,即可求解,得到答案.
详解:因为,可得且,
所以方程表示焦点在轴的椭圆.
故选:A.
11.【答案】A
【解析】分析:容易知道,设:,:,求出,两点坐标,则,设与的外接圆的半径分别为,,由正弦定理得:,,可知,再利用基本不等式求值.
详解:由已知得.,设椭圆上动点,
则利用两点连线的斜率公式可知,,
设直线方程为:,则直线方程为:,根据对称性设,
令得,,即,,则
设与的外接圆的半径分别为,,
由正弦定理得:,,
又,
,当且仅当,即时,等号成立,即的最小值为
故选:A
【点睛】
结论点睛:本题考查椭圆的基本性质,解题的关键是要熟记椭圆的基本性质:若.分别为椭圆的左.右顶点,为椭圆上一动点,则直线与直线的斜率之积为定值,即,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于较难题.
12.【答案】B
【解析】分析:可求出椭圆M的焦点坐标,再设出椭圆标准方程,代入条件求解.
详解:椭圆N在长轴上的顶点为,故椭圆M的焦点为,设椭圆M的方程为,
由题意得,,,
解得:,
所以的方程为,
故选:B
【点睛】
求椭圆的标准方程有两种方法:
①定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
13.【答案】C
【解析】分析:将椭圆化成标准式,再结合关系即可求解
详解:由,则,焦距
故选:C
14.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆的定义及标准方程,列出关于的不等式组求解即可.
详解:有题意可知,解得或.
故选:D.
15.【答案】B
【解析】分析:由椭圆定义得的周长为可得答案.
详解:由已知,,由椭圆定义得,,
的周长为,
故选:B.
16.【答案】C
【解析】分析:先记椭圆的左右焦点为,,根据题中条件,得到,为等边三角形,,设,在中,由余弦定理求出,再由的面积,即可列出等式求出结果.
详解:记椭圆的左右焦点为,,
因为点为椭圆的上顶点,所以,
又,所以为等边三角形,,
设,则,
在中,,,,
由余弦定理可得,
则,整理得,解得,
又的面积为,
所以,
解得.
【点睛】
关键点点睛:求解本题的关键在于根据椭圆的性质求出;求解时,由,根据题中条件,利用椭圆定义和余弦定理,列出方程,求出,即可根据三角形面积求解.
17.【答案】D
【解析】分析:利用椭圆的第一定义,即可求得点到椭圆的右焦点的距离,再利用第二定义可得答案.
详解:设点到椭圆的右焦点的距离是,
椭圆即:,椭圆上一点到左焦点的距离为5,
,,
设P到右准线的距离为,
由椭圆的第二定义可得,
故选:.
18.【答案】D
【解析】分析:本题首先可根据椭圆方程得出,然后将转化为,即可求出最大值.
详解:因为椭圆方程为,即,所以,
因为,,
所以,
易知当时,最大,最大值为,
故选:D.【名师】2 椭圆的性质-1练习
一.单项选择
1.已知,是椭圆E:()的左.右焦点,点M在E上,与x轴垂直,,则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
2.已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.设焦点.分别是椭圆左右焦点,若椭圆上存在异于顶点的一点P使得是顶角为的等腰三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.比较下列四个椭圆的形状,其中更接近于圆的是( )
A. B.
C. D.
5.设点是椭圆上一点,,分别是椭圆的左,右焦点,是的内心,若的面积是面积的3倍,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若椭圆的左焦点为,则( )
A.2 B.3 C. D.9
7.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A.=1 B.+y2=1 C.=1 D.+x2=1
8.过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点,且这四个交点恰好为正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
9.设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
10.阿基米德既是古希腊著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点,焦点.在轴上,椭圆的面积为,且离心率为,则的标准方程为( )
A. B. C. D.
11.过椭圆上一点分别向圆和圆作切线,切点分别为.,则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.椭圆上任一点到点的距离的最小值为( )
A. B. C.2 D.
13.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
14.如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点的距离为2,N是的中点,O是坐标原点,则线段ON的长为( )
A.2 B.4 C.8 D.
15.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )
A.[1,4] B.[2,6] C.[3,5 ] D.[3,6]
16.椭圆的焦点的坐标为( )
A., B.,
C., D.,
17.已知椭圆,若长轴长为6,离心率为,则此椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
18.已知椭圆的左焦点为,且点在上,则的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】D
【解析】分析:根据所给条件可得:,解可得:,再结合椭圆的定义可得,从而求得离心率e.
详解:因为与x轴垂直,所以.
又,所以,
即,
由椭圆的定义得,
所以,
则,即,
得离心率,
故选:D.
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率问题,考查了椭圆的定义和解三角形,解此类问题的关键是得到之间的关系,本题属于中档题.
2.【答案】A
【解析】详解:设另一个焦点为,则由题意可知,
且,,
所以.
故选:A.
3.【答案】A
【解析】分析:设,因为是顶角为的等腰三角形,从而求出,再利用椭圆的定义即可求解.
详解:不妨设,且,
则,
由椭圆的定义可得,
所以.
故选:A
4.【答案】B
【解析】分析:分别求出四个椭圆的离心率,离心率的范围在,根据离心率越小越接近于圆可得答案.
详解:A. 由,得,,离心率为;
B. ,得,,离心率为;
C. ,得,,离心率为;
D. ,得,,离心率为,
因为,所以更接近于圆.
故选:B.
5.【答案】D
【解析】分析:设内切圆半径为,根据三角形面积公式,以及三角形内切圆的性质,结合椭圆定义,得到,再由题中条件,列出等式,即可求出结果.
详解:设内切圆半径为,
∴,
又,
∴,∴.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的离心率,属于常考题型.
6.【答案】C
【解析】分析:根据椭圆中a,b,c的关系进行计算即可.
详解:根据焦点坐标可知焦点在轴,
所以,,,
又因为,解得.
故选:C
7.【答案】A
【解析】分析:根据题意可得c=1,,从而求出,代入即可得解.
详解:由焦点为(-1,0)和(1,0),可得:c=1,
由点P(2,0)在椭圆上,可得为椭圆右顶点,故,
所以,
所以椭圆的方程为=1.
答案:A.
【点睛】
本题考查了椭圆的基本量的运算,考查椭圆的性质,属于基础题.
8.【答案】B
【解析】分析:利用过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交点恰好为正方形的四个顶点,可得,由此可得椭圆的离心率
详解:过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点,且这四个交点恰好为正方形的四个顶点,则有,
,,,
故选:B
【点睛】
关键点睛:解题关键在于利用已知条件,得出,进而构造齐次方程求出斜率,属于基础题
9.【答案】B
【解析】分析:根据椭圆定义得到,,得到离心率.
详解:,故,即,,故,
.
故选:B.
【点睛】
本题考查了椭圆离心率,属于简单题.
10.【答案】A
【解析】分析:根据题意可得出关于..的方程组,解出这三个量的值,即可得出椭圆的标准方程.
详解:由题意可知,椭圆的面积为,且..均为正数,
由题意可得,解得,
由于椭圆的焦点在轴上,因此,椭圆的标准方程为.
故选:A.
11.【答案】A
【解析】分析:易知两圆的圆心为椭圆的两焦点,由勾股定理可得,,由椭圆的定义可得,设,利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
详解:,,,易知.为椭圆的两个焦点,
,
根据椭圆定义,设,则,即,
则,
当时,取到最小值.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用椭圆的定义求解最值问题,同时也考查了圆的切线长的计算,考查计算能力,属于中等题.
12.【答案】B
【解析】分析:设点的坐标为,结合两点间的距离公式,化简得到,即可求解.
详解:设点的坐标为,其中,
由,可得,
又由,
当时,取得最小值,最小值为.
故选:B.
13.【答案】C
【解析】分析:本题先根据已知求得,再求离心率即可.
详解:解:因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍,所以即
所以
故选:C
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率,是基础题.
14.【答案】C
【解析】分析:设椭圆的另一个焦点为,根据椭圆的定义可得,再根据中位线定理可得结果.
详解:设椭圆的另一个焦点为,
因为,所以,
因为,所以,
所以.
故选:C.
15.【答案】C
【解析】分析:利用椭圆的定义得到动点P的轨迹是椭圆,再根据点P为椭圆的长轴端点时,|PA|的分别取得最大值,最小值求解.
详解:根据题意,,
所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,以8为长轴长的椭圆,
所以a=4,c=1,
因为点P为椭圆的长轴端点时,|PA|的分别取得最大值,最小值,
所以,
所以|PA|的取值范围是 [3,5 ],
故选:C
16.【答案】B
【解析】分析:利用椭圆的焦点求解公式求解即可.
详解:解:因为椭圆方程为,,,
所以,且焦点在轴上,
所以焦点坐标为:,.
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的焦点坐标的求法,考查运算能力,属于基础题.
17.【答案】D
【解析】分析:根据离心率求出,再根据即可求解.
详解:椭圆长轴为,离心率为,
所以,,
又,
所以椭圆方程为,
故选:D.
18.【答案】C
【解析】分析:由椭圆的左焦点坐标,可求出右焦点坐标为,根据椭圆定义即可求出长轴
,求出即可得解.
详解:设的左.右焦点分别为,,
由左焦点为,为
则,
即,
则.
故选:C.
【点睛】
本题考查了求椭圆离心率问题,考查了椭圆的定义和离心率公式,属于简单题.【精编】2 椭圆的性质-2作业练习
一.单项选择
1.已知椭圆的左右焦点分别为,,为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,是的内心,当时(其中,分别为点与内心的纵坐标),椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”其中,如图,设点,是相应椭圆的焦点,.和.是“果圆”与x,y轴的交点,若是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为( )
A.5,4 B.,1 C.5,3 D.,1
3.设椭圆的右焦点为F,椭圆C上的两点,且满足,,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆,长轴在轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
5.已知,分别是椭圆的左,右焦点,若P为椭圆上一点,且的内切圆周长为,则满足条件的点P有( )
A.4个 B.1个 C.2个 D.3个
6.设是椭圆上的一个动点,定点,则的最大值是( )
A. B.1 C.3 D.9
7.椭圆的焦距是2,则( )
A.3 B.5 C.3或5 D.2
8.已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m等于( )
A.5 B.10 C.15 D.25
9.已知的周长是20,且顶点B的坐标为,C的坐标为,则顶点A的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
10.椭圆的焦点为,为椭圆上的一点,已知,则△的面积为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
试卷第12页,总12页
11.2020年3月9日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭,成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点?远地点离地面的距离大约分别是,则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是( )
A. B. C. D.
12.已知,是椭圆:的两个焦点,若点是椭圆上的一个动点,则的周长是( )
A. B. C.8 D.10
13.已知的顶点是椭圆的一个焦点,顶点.在椭圆上,且经过椭圆的另一个焦点,则的周长为( )
A. B.6 C.4 D.12
14.已知椭圆的右焦点,是椭圆上任意一点,点,则的周长最大值为( )
A. B. C.14 D.
15.椭圆的焦距为4,则的值为( )
A. B. C.或 D.或
16.已知椭圆C的方程为,焦距为,直线与椭圆相交于,两点,若,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
17.已知△ABC的周长为10,且顶点,,则顶点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
18.已知椭圆的左?右焦点分别为,点P在椭圆上.若,则点P到x轴的距离为( )
A. B.3 C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】C
【解析】分析:根据内切圆的性质利用等面积法求出内切圆的半径,即可得内切圆圆心的纵坐标,利用条件化简方程,即可求出离心率.
详解:设,不妨设,如图,
设三角形内切圆的半径为r,由三角形内切圆的性质可得:
,
解得:,
,
因为,
所以,解得,
所以,
故选:C
【点睛】
关键点点睛,利用内切圆的性质得到是解题的关键,根据及,建立方程求出离心率,属于中档题.
2.【答案】D
【解析】分析:根据方程表示出,,由是边长为1的等边三角形即可求出.
详解:解:由题意可得,
,解得,
又,得,即,.
故选:D.
3.【答案】C
【解析】分析:设椭圆的左焦点,由椭圆的对称性结合,得到四边形为矩形,设,,在直角中,利用椭圆的定义和勾股定理化简得到,再根据,得到的范围,然后利用双勾函数的值域得到的范围,然后由求解.
详解:如图所示:
设椭圆的左焦点,由椭圆的对称性可知,四边形为平行四边形
又,即
所以平行四边形为矩形
所以
设,
在直角中,,,得
所以
令,得
又由,得
所以
所以 ,即
所以
所以离心率的取值范围是
故选:C
【点睛】
解决本题的关键是由几何关系证明四边形为矩形得出,再由对勾函数的性质得出离心率的取值范围.
4.【答案】D
【解析】分析:先将椭圆的方程化为标准方程,进而根据焦距求得.
详解:解:由题意知:椭圆的标准方程为:,
又椭圆的长轴在轴上,
,
解得:;
又,
,
即,
解得:.
故选:D .
【点睛】
易错点睛:由圆锥曲线的方程求参数范围时,应注意将方程化为标准方程,再根据焦点的位置求出相应的参数.
5.【答案】C
【解析】分析:根据内切圆的周长等于,可得其内切圆的半径,再根据椭圆的定义可求得的周长,用面积相等法可得的纵坐标,根据的纵坐标与椭圆方程即可求得满足条件的点的个数得选项.
详解:由椭圆方程得,.
设的内切圆的半径为,所以的内切圆的周长为,
所以,,
又因为,所以,
所以符合条件的点P有两个,分别为椭圆的上下顶点.
故选:C.
6.【答案】D
【解析】分析:本题首先可根据椭圆方程得出,然后将转化为,即可求出最大值.
详解:因为椭圆方程为,即,所以,
因为,,
所以,
易知当时,最大,最大值为,
故选:D.
7.【答案】C
【解析】分析:由于焦距是2,所以,然后分焦点在轴上和在轴上求解即可
详解:解:由题意得,得,
当焦点在轴上时,,
因为,所以,
当焦点在轴上时,,
因为,所以,解得,
综上,或,
故选:C
8.【答案】D
【解析】分析:利用椭圆的定义,化简求解即可.
详解:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,椭圆1可知,椭圆的焦点坐标在x轴,
∴a=5,∴a2=25,即m=25.
故选:D.
9.【答案】C
【解析】分析:根据椭圆的定义确定点的轨迹是椭圆,确定得出方程.
详解:由题意可知,则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆,且点不在轴上
,即
故选:C
10.【答案】A
【解析】分析:由椭圆方程,可求出,由椭圆的定义,可得,再结合,可得,从而可求出,结合△的面积为,可求出答案.
详解:由题意,可知,则,所以,
由椭圆的定义,可得,平方得,
因为,所以,则,
所以,解得,
所以△的面积为.
故选:A.
11.【答案】A
【解析】分析:以运行轨迹的中心为原点,长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系,用表示,求得后可得离心率.
详解:以运行轨迹的中心为原点,长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系,令地心为椭圆的右焦点,设椭圆标准方程为,,其中,
由题意,,解得,,
所以.
故选:A.
12.【答案】A
【解析】分析:根据椭圆的定义可求.
详解:由椭圆:知,
,,,
所以,
由椭圆的定义知,,
则的周长为:.
故选:A.
13.【答案】C
【解析】分析:画出示意图,根据椭圆定义可得,周长为,由方程得到即可.
详解:解:如图,由题可知,不妨设椭圆焦点分别为,,
根据椭圆定义可得,,,
因为周长为,
所以周长为,
故选:C.
14.【答案】C
【解析】分析:设椭圆的左焦点为,,,利用,即可得出.
详解:如图所示设椭圆的左焦点为,
,
则,
,
的周长
,
当且仅当三点,,共线时取等号.
的周长最大值等于14.
故选:.
【点睛】
关键点点睛:解答本题的关键是利用椭圆的定义将三角形周长转化为求解,解答与椭圆焦点有关的试题时往往用到椭圆的定义:.
15.【答案】D
【解析】分析:对椭圆的焦点位置进行分类讨论,结合已知条件可得出关于的等式,进而可求得的值.
详解:在椭圆中,由已知可得,解得.
若椭圆的焦点在轴上,可得,解得;
若椭圆的焦点在轴上,可得,解得.
因此,或.
故选:D.
16.【答案】A
【解析】分析:先设出点的坐标,根据直线与椭圆都关于原点对称可得:,由两点间的距离公式列出方程,再由点在直线和椭圆上,列出方程,即可解得离心率.
详解:解:设直线与椭圆在第一象限内的交点为,
,
又,
,
即,
解得:,
,
又在椭圆上,
,
又,
整理得:,
即: ,
又,
.
故选:A.
【点睛】
方法点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
求出,,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合转化为a,的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).
17.【答案】A
【解析】分析:根据三角形的周长和定点,得到点A到两个定点的距离之和等于定值,得到点A的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点.
详解:解:∵△ABC的周长为10,顶点,,
∴,,
∴点A到两个定点的距离之和等于定值,
∴点A的轨迹是椭圆,∵,∴,
又因为三点构成三角形,
∴椭圆的方程是.
故选:A.
【点睛】
易错点睛:本题考查椭圆的定义,定义中要求动点到两个定点的距离之和是常数,而且这个常数必须大于两个定点的距离,动点的轨迹才是椭圆,否则不能构成椭圆,再就是容易忽略掉不合题意的点.
18.【答案】C
【解析】分析:设,则由椭圆定义和勾股定理可得,再根据直角三角形面积可得.
详解:由椭圆方程可得,
设,
,即,
,,
,
设P到x轴的距离为,则.
故选:C.
【点睛】
本题考查焦点三角形的问题,解题的关键是利用定义和勾股定理得出.【特供】2 椭圆的性质-1作业练习
一.单项选择
1.已知椭圆的左焦点为,且点在上,则的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的一个焦点为 (2,0), 则这个椭圆的方程是 ( )
A. B.
C. D.
3.椭圆的焦距为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知椭圆,若长轴长为6,离心率为,则此椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )
A.[1,4] B.[2,6] C.[3,5 ] D.[3,6]
6.若椭圆的一个焦点是(0,2),则实数k=( )
A. B.1 C. D.25
7.椭圆:的焦点在轴上,其离心率为,则( )
A.椭圆的短轴长为 B.椭圆的长轴长为4
C.椭圆的焦距为4 D.
8.已知椭圆C:,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=( )
A.4 B.8
C.12 D.16
9.,是椭圆:的左.右焦点,点在椭圆上,且为等腰三角形,,则的离心率为( )
A. B. C. D.
10.若椭圆的两焦点为(-2,0),(2,0),且该椭圆过点,则该椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
11.过椭圆上一点分别向圆和圆作切线,切点分别为.,则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
13.设焦点.分别是椭圆左右焦点,若椭圆上存在异于顶点的一点P使得是顶角为的等腰三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
14.比较下列四个椭圆的形状,其中更接近于圆的是( )
A. B.
C. D.
15.已知椭圆的右焦点为,为坐标原点,为轴上一点,点是直线与椭圆的一个交点,且,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
16.若焦点在y轴上的椭圆的离心率为,则m的值为( )
A.3 B.4 C. D.6
17.如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点的距离为2,N是的中点,O是坐标原点,则线段ON的长为( )
A.2 B.4 C.8 D.
18.过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点,且这四个交点恰好为正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
1.【答案】C
【解析】分析:由椭圆的左焦点坐标,可求出右焦点坐标为,根据椭圆定义即可求出长轴
,求出即可得解.
详解:设的左.右焦点分别为,,
由左焦点为,为
则,
即,
则.
故选:C.
【点睛】
本题考查了求椭圆离心率问题,考查了椭圆的定义和离心率公式,属于简单题.
2.【答案】D
【解析】分析:根据即可求解.
详解:椭圆的一个焦点为 (2,0),
则椭圆的焦点在轴上,且,
因为,
所以,
所以椭圆的方程是.
故选:D
3.【答案】B
【解析】分析:根据题目所给椭圆方程,可求得,再由,求出,即可得解.
详解:由椭圆方程可得:,
所以,
即,所以焦距为,
故选:B.
4.【答案】D
【解析】分析:根据离心率求出,再根据即可求解.
详解:椭圆长轴为,离心率为,
所以,,
又,
所以椭圆方程为,
故选:D.
5.【答案】C
【解析】分析:利用椭圆的定义得到动点P的轨迹是椭圆,再根据点P为椭圆的长轴端点时,|PA|的分别取得最大值,最小值求解.
详解:根据题意,,
所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,以8为长轴长的椭圆,
所以a=4,c=1,
因为点P为椭圆的长轴端点时,|PA|的分别取得最大值,最小值,
所以,
所以|PA|的取值范围是 [3,5 ],
故选:C
6.【答案】B
【解析】分析:先将椭圆化成标准式,再结合焦点列关系,即解得结果.
详解:由得,因为一个焦点是(0,2),在y轴上,故,解得.
故选:B.
7.【答案】B
【解析】分析:由离心率可求出,结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长,长轴长,焦距.
详解:由椭圆的性质可知,椭圆的短轴长为,圆的离心率,则,
即,,所以椭圆的长轴长,椭圆的焦距,
故选:B.
8.【答案】B
【解析】分析:根据已知条件,作出图形,的中点连接椭圆的两个焦点,便会得到三角形的中位线,根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出.
详解:设的中点为,椭圆的左右焦点分别为,,
如图,连接,,
是的中点,是的中点,
是的中位线;
,同理;
,
在椭圆上,
根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知:
,.
故选:.
【点睛】
关键点睛:解答本题的关键是利用三角形中位线定理得到,然后再利用椭圆的定义解答.
9.【答案】C
【解析】分析:通过做辅助线构造直角三角形,求点的坐标为,又点在椭圆上,代入椭圆方程,结合构造关于的方程,利用离心率,求出答案即可.
详解:根据题意画出参考图,过点作轴于点M,由题意知,
在直角中,,,,可知点的坐标为
又点在椭圆上,则,又代入化简整理可得:,两边同除以得:,
解得,即
故选:C.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率,解题的关键是通过已知条件构造关于离心率的方程,考查学生的数形结合思想与运算能力,属于中档题.
10.【答案】D
【解析】分析:根据椭圆定义得到,再计算得到答案.
详解:,故,
则,故椭圆方程为:.
故选:D.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,意在考查学生的计算能力和转化能力,也可以设椭圆方程代入点求解.
11.【答案】A
【解析】分析:易知两圆的圆心为椭圆的两焦点,由勾股定理可得,,由椭圆的定义可得,设,利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
详解:,,,易知.为椭圆的两个焦点,
,
根据椭圆定义,设,则,即,
则,
当时,取到最小值.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用椭圆的定义求解最值问题,同时也考查了圆的切线长的计算,考查计算能力,属于中等题.
12.【答案】C
【解析】分析:本题先根据已知求得,再求离心率即可.
详解:解:因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍,所以即
所以
故选:C
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率,是基础题.
13.【答案】A
【解析】分析:设,因为是顶角为的等腰三角形,从而求出,再利用椭圆的定义即可求解.
详解:不妨设,且,
则,
由椭圆的定义可得,
所以.
故选:A
14.【答案】B
【解析】分析:分别求出四个椭圆的离心率,离心率的范围在,根据离心率越小越接近于圆可得答案.
详解:A. 由,得,,离心率为;
B. ,得,,离心率为;
C. ,得,,离心率为;
D. ,得,,离心率为,
因为,所以更接近于圆.
故选:B.
15.【答案】D
【解析】分析:设椭圆的左焦点为,由椭圆的对称性可知,则,所以,即可得到的关系,利用椭圆的定义进而求得离心率.
详解:设椭圆的左焦点为,连接,
因为,所以,如图所示,
所以,
设,,则,
所以,
故选:D.
16.【答案】C
【解析】分析:根据题意可得,即可求解.
详解:由焦点在y轴上的椭圆的离心率为,
则,且,解得.
故选:C
17.【答案】C
【解析】分析:设椭圆的另一个焦点为,根据椭圆的定义可得,再根据中位线定理可得结果.
详解:设椭圆的另一个焦点为,
因为,所以,
因为,所以,
所以.
故选:C.
18.【答案】B
【解析】分析:利用过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交点恰好为正方形的四个顶点,可得,由此可得椭圆的离心率
详解:过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点,且这四个交点恰好为正方形的四个顶点,则有,
,,,
故选:B
【点睛】
关键点睛:解题关键在于利用已知条件,得出,进而构造齐次方程求出斜率,属于基础题