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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第1 周 第4节
课题 26.2 第1课时 实际问题中的反比例函数
教学目标 知识与技能：能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力。过程与方法：体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。情感态度与价值观：
重点 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题
难点 进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
拉面小哥要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)的函数关系式吗？你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？实际问题与反比例函数例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位) 想一想：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？练一练1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象可表示为 ( ) 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系 (2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口的面积为多少dm2？(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位:吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨 练一练某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y与 x 之间的函数关系式；(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？当堂练习1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) 2. 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积)S (单位：cm2)的函数关系为 ，若要使拉出来的面条粗 1 mm2，则面条的总长度是 cm. 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时)之间的函数关系是________．(2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于____________．4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么这批煤能维持 y 天.(1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？(2) 画出函数的图象； (3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟．(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？(2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？(3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位 6. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示.(1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式；(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？
课后小结
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26.2 实际问题与反比例函数
人教版九年级下册
学习目标
1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，
提高运用代数方法解决问题的能力.
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反
比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图
象、性质的综合能力. (重点、难点)
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围．
拉面小哥要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)的函数关系式吗？
你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？
实际问题与反比例函数
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)有怎样的函数关系
解：根据圆柱体的体积公式，得
Sd =104，
∴ S 关于d 的函数解析式为
典例精析
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深
解得 d = 20.
如果把储存室的底面积定为 500 m ，施工时应
向地下掘进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入 ，得
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)
解得 S≈666.67.
当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m .
解：根据题意，把 d =15 代入 ，得
1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象可表示为 ( )
B
练一练
A.
B.
C.
D.
x
y
x
y
x
y
x
y
2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系
d
解：
(2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？
解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得
S =3.
所以漏斗口的面积为 3 dm2.
(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少
解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得
d =5.
所以漏斗的深为 5 dm.
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位:吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系
提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式.
解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得
k =30×8=240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载
完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例
函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物
不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.
解：把 t =5 代入 ，得
方法总结：在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答 .
练一练
某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y与 x 之间的函数关系式；
解：
某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
假如每天能运 x 立方米，
所需时间为 y 天，写出 y与x 之间的函数关系式；
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
解：x =12×5=60，代入函数解析式得
答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.
某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
假如每天能运 x 立方米，
所需时间为 y 天，写出 y与x 之间的函数关系式；
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
20 天
(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
解：运了8天后剩余的垃圾有
1200－8×60=720 (立方米)，
剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天
至少运 720÷6=120 (立方米)，
所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)，
即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆).
例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速度用 6 小时达到乙地.
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
解：80×6=480 (千米)
答：甲、乙两地相距 480 千米.
(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？
解：由题意得 vt =480，
整理得 (t ＞0).
当堂练习
1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( )
A.
x
y
1
O
2
x
y
4
O
4
B.
x
y
1
O
4
C.
x
y
1
O
4
1
4
D.
C
2. 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的
总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积)
S (单位：cm2)的函数关系为 ，若
要使拉出来的面条粗 1 mm2，则面条的总
长度是 cm.
2000
3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.
(1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时
间 t (时)之间的函数关系是________．
(2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于____________．
240千米/时
4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么这批煤能维持 y 天.
(1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？
解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)，
根据题意有
(2) 画出函数的图象；
解：如图所示.
30
90
1
x
y
O
3
(3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？
解：∵ 每天节约 0.1 吨煤，
∴ 每天的用煤量为 0.6－0.1=0.5 (吨)，
∴ 这批煤能维持 180 天．
5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟．
(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？
解：
(2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
解：把 t =15代入函数的解析式，得：
答：他骑车的平均速度是 240 米/分.
(3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位
(3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位
解：把 v =300 代入函数解析式得：
解得：t =12．
答：他至少需要 12 分钟到达单位．
6. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示.
(1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式；
50
24
x(m/天)
y(天)
O
解：
(1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式；
50
24
x(m/天)
y(天)
O
解：
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)，
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天).
(1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式；
50
24
x(m/天)
y(天)
O
解：
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)，
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天).
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？
解：1200÷30=40 (m)，
故每天至少要完成40 m．
课堂小结
实际问题中的反比例函数
过程：
分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：
实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；
作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单
位长度不一定相同
谢谢
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