【优质】2 抛物线的性质-2作业练习
一．单项选择
1．抛物线上一点到焦点F的距离为（ ）
A． B．5 C． D．33
2．在平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为抛物线上的点，，点到轴的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
试卷第10页，总10页
6．焦点是的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是抛物线上一点，是焦点，是上一点，且则的纵坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．下列命题中的假命题是（ ）
A．对于命题，，则
B．抛物线的准线方程是
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若两直线与平行，则它们之间的距离为
12．如图，过双曲线（，）的左焦点且与曲线相切的切线，设切点为Q，延长交曲线于点N，其中曲线与有一个共同的焦点，若点Q为线段的中点，则曲线的离心率的为（ ）
A． B． C． D．
13．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
14．已知点在抛物线上，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
15．若抛物线：上一点到焦点的距离是，则点到直线的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
17．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
18．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯．手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为，从点出发的光线第一象限内抛物线上一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为 （ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】分析：先利用已知条件求出的值，再利用抛物线的焦半径公式求解即可.
详解：依题意可得，
所以，
则，
则．
故选：C.
2．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线标准方程有，即可知焦准距.
详解：由抛物线知：，而焦点坐标为，准线方程为：，
∴焦点到准线的距离为1，
故选：B
3．【答案】B
【解析】分析：直接求抛物线的准线方程即可．
详解：抛物线的准线方程为
故选：B
4．【答案】A
【解析】分析：利用抛物线定义可得，当三点共线时可取得最小值，利用两点间距离公式即可求解.
详解：
由可得焦点
由抛物线的定义可得：，所以，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以的最小值是，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用抛物线的定义将转化为，三点共线时取得最小值.
5．【答案】D
【解析】分析：化简抛物线方程，进而求出焦点坐标．
详解：抛物线方程可化简为
所以焦点坐标为
故选：D
6．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的焦点坐标可得出抛物线的标准方程.
详解：由于抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为，则，可得.
因此，所求抛物线的标准方程为.
故选：B.
7．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的几何性质可得选项.
详解：由，得，则，且焦点在轴正半轴上，
故焦点坐标是.
故选：B.
8．【答案】C
【解析】分析：由条件可得，然后设，利用求出答案即可.
详解：因为是抛物线上一点，
所以.
设，
由
得，
整理得，
解得或
故选：C
9．【答案】C
【解析】分析：由题可得，即可判断.
详解：抛物线C的焦点到准线的距离大于2，，即，
C的方程可能为.
故选：C.
10．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的定义得到，要使得的最小值，转化为的最小值，结合图象，即可求解.
详解：点是抛物线内的一点，设点在抛物线准线上的射影为，
根据抛物线的定义，可得，要使得的最小值，
即求的最小值，
结合图象，可得当三点共线时，取到最小值.
故选：A.
11．【答案】B
【解析】分析：对A，根据特称命题的否定是全称命题可判断；对B，可得抛物线准线方程为；对C，解出可判断；对D，求出直线间距离可判断.
详解：对A，根据特称命题的否定是全称命题可判断A是真命题，不符合题意；
对B，抛物线的标准方程为，准线方程为，故B是假命题，符合题意；
对C，由可解得或3，所以“”是“”的充分不必要条件，故C是真命题，不符合题意；
对D，直线可化为，两直线距离为，故D是真命题，不符合题意.
故选：B.
12．【答案】D
【解析】分析：设双曲线的右焦点坐标为，可得为中位线，从而可求，再过点作抛物线准线的垂线和x轴的垂线，然后利用勾股定理得出的关系式，可求得离心率.
详解：设曲线右焦点为，又曲线与有一个公共焦点，则：，
连接？，过做垂直x轴于，
为中点，为中点且为切点，
为中位线，则，，
，，，
，，过点作轴的垂线，即为抛物线的准线， ，即点到该垂线的距离为，
设，则由抛物线的定义可得，
，，
由勾股定理，
因为，所以，
即，
得，
所以，或(舍)，
故选：D.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
13．【答案】B
【解析】分析：将抛物线的方程化为标准方程，由此可求得该抛物线的焦点坐标.
详解：抛物线的标准方程为，则，可得，
因此，抛物线的焦点坐标为.
故选：B.
14．【答案】A
【解析】分析：将点代入抛物线方程计算可得，直接可得结果.
详解：由题可知：，由，所以
故抛物线的焦点到准线的距离为1
故选：A
15．【答案】C
【解析】分析：由题意得到抛物线：的准线方程为，根据到焦点的距离是，从而求解.
详解：抛物线的准线方程为，
∵点到焦点的距离是，
∴点到准线的距离为，
∴点到直线的距离为，
故选：C
16．【答案】B
【解析】分析：判断开口方向，求得，从而求得准线方程.
详解：抛物线的开口向下，，
所以抛物线的准线方程为.
故选：B
17．【答案】D
【解析】分析：根据方程，先判定顶点位置和开口方向，利用公式写出准线方程即可.
详解：解：抛物线是顶点在原点，开口向下的抛物线，,
准线方程为，
故选：D.
【点睛】
根据抛物线的标准方程的四种形式求出准线方程和焦点坐标是基本功，一定要结合顶点，对称轴，开口方向熟练掌握.
18．【答案】D
【解析】分析：由抛物线方程可得焦点坐标，设出点坐标，由性质求出点坐标，表示出的斜率，解出p，即可得抛物线方程.
详解：，设
由题意有
将代入得
，又，且的斜率为，有
解得：
故抛物线方程为：
故选：D
【点睛】
抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．【精品】2 抛物线的性质-2练习
一．单项选择
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若点P在抛物线上，则点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
6．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯．手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为，从点出发的光线第一象限内抛物线上一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．9 C．12 D．6
9．下列命题中的假命题是（ ）
A．对于命题，，则
B．抛物线的准线方程是
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若两直线与平行，则它们之间的距离为
10．如图，过双曲线（，）的左焦点且与曲线相切的切线，设切点为Q，延长交曲线于点N，其中曲线与有一个共同的焦点，若点Q为线段的中点，则曲线的离心率的为（ ）
A． B． C． D．
11．若抛物线y2= 2px (p＞0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6， 则p的值等于（ ）
A．2或18 B．4或18 C．2或16 D．4或16
12．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
13．已知抛物线上的点到焦点的距离为2，若点 在上，则点 到点距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．抛物线的焦点坐标为是抛物线上一点，则点M到抛物线的准线的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
15．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．点为抛物线的焦点，横坐标为的点为抛物线上一点，过点且与抛物线相切的直线与轴相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知点是抛物线上一点，设到此抛物线准线的距离是，到直线的距离是，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】分析：先将方程化成标准形式，即，求出，即可得到焦点坐标．
详解：，焦点坐标，
故选：A.
2．【答案】C
【解析】分析：根据抛物线的焦点坐标为可得答案.
详解：解：根据抛物线定义可得：抛物线的焦点坐标为
故选：C.
3．【答案】A
【解析】分析：数形结合以及根据抛物线的定义可得距离之和为，简单判断可得结果.
详解：抛物线的焦点
如图所示：
由抛物线定义可知：点到焦点的距离与到准线的距离相等，即
点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和为，即
当三点共线时，有最小，所以点
故选：A
4．【答案】B
【解析】分析：直接求抛物线的准线方程即可．
详解：抛物线的准线方程为
故选：B
5．【答案】D
【解析】分析：设出抛物线方程为或，代入点的坐标求出参数值可得．
详解：设抛物线方程为，则，，方程为，
或设方程为，则，，方程为．
所以抛物线方程为或．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：抛物线的标准方程有四种形式，在不确定焦点位置（或开口方向时），需要分类讨论．象本题在抛物线过一点的坐标，则需要考虑焦点在轴和轴两种情况，焦点在轴上时可以直接设方程为，代入点的坐标求出参数值，不必考虑焦点是在轴正半轴还是在负半轴，焦点在轴也类似求解．
6．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的方程为，求得p确定焦点位置即可.
详解：因为抛物线的方程为，
所以 ，焦点在y轴上，
所以准线方程为，
故选：A
7．【答案】D
【解析】分析：由抛物线方程可得焦点坐标，设出点坐标，由性质求出点坐标，表示出的斜率，解出p，即可得抛物线方程.
详解：，设
由题意有
将代入得
，又，且的斜率为，有
解得：
故抛物线方程为：
故选：D
【点睛】
抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
8．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得，故为所求
详解：解：由题意得，焦点，准线方程为，
设到准线的距离为，（即垂直于准线，为垂足），
则，（当且仅当共线时取等号），
所以的最小值是9，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查抛物线的定义．标准方程，以及简单性质的应用，解题的关键是由题意结合抛物线定义得，从而可得结果
9．【答案】B
【解析】分析：对A，根据特称命题的否定是全称命题可判断；对B，可得抛物线准线方程为；对C，解出可判断；对D，求出直线间距离可判断.
详解：对A，根据特称命题的否定是全称命题可判断A是真命题，不符合题意；
对B，抛物线的标准方程为，准线方程为，故B是假命题，符合题意；
对C，由可解得或3，所以“”是“”的充分不必要条件，故C是真命题，不符合题意；
对D，直线可化为，两直线距离为，故D是真命题，不符合题意.
故选：B.
10．【答案】D
【解析】分析：设双曲线的右焦点坐标为，可得为中位线，从而可求，再过点作抛物线准线的垂线和x轴的垂线，然后利用勾股定理得出的关系式，可求得离心率.
详解：设曲线右焦点为，又曲线与有一个公共焦点，则：，
连接？，过做垂直x轴于，
为中点，为中点且为切点，
为中位线，则，，
，，，
，，过点作轴的垂线，即为抛物线的准线， ，即点到该垂线的距离为，
设，则由抛物线的定义可得，
，，
由勾股定理，
因为，所以，
即，
得，
所以，或(舍)，
故选：D.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
11．【答案】A
【解析】分析：设，利用抛物线的定义以及抛物线方程列出方程组，解出p的值即可．
详解：设，则
，即
解得或
故选：A
12．【答案】C
【解析】分析：根据抛物线方程计算出，结合焦点位置即可得焦点坐标.
详解：由抛物线方程可得焦点在正半轴，，所以焦点坐标为.
故选：C
13．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线焦半径得到，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离加上半径即为答案.
详解：，焦点，
依题意，，故，则；
由对称性，不妨设，
，圆心为，，
故到点距离的最大值为.
故选：B.
14．【答案】C
【解析】分析：由点到准线距离求得结果
详解：由于知，所以点M到抛物线的准线的距离
故选：C
15．【答案】B
【解析】分析：判断开口方向，求得，从而求得准线方程.
详解：抛物线的开口向下，，
所以抛物线的准线方程为.
故选：B
16．【答案】C
【解析】分析：首先由渐近线经过，得到，的方程，然后求出抛物线的准线，得到，由此求得双曲线方程.
详解：解：由双曲线的一条渐近线过点，
可得渐近线的斜率①.
由双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，
可得，即②.
由①②，可得，，则双曲线的方程为.
故选C.
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线，抛物线的准线，双曲线中的基本量参数的关系，属小综合题.
双曲线标准方程中的的关系是,要与椭圆中的关系区分清楚；
双曲线的渐近线方程为;双曲线的渐近线方程为;
抛物线的准线方程为；抛物线的准线方程为.
17．【答案】C
【解析】分析：设出点坐标和直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，化简后求得的关系式，从而化简直线的方程，求得与轴交点的坐标，结合抛物线的定义得到，从而求得.
详解：由抛物线的对称性，不妨设点位于第一象限，
可得点的坐标为，
设直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
有，有，
解得，可得直线的方程为，
令，得，直线与轴的交点的坐标为，
所以，又，
所以，所以，
所以.
故选：C
【点睛】
解题过程中，遇到参数较多时，可利用已知条件建立参数间的关系，从而减少参数.
18．【答案】C
【解析】分析：作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可得出，结合图形可得知，当．．三点共线时，取得最小值，即为点到直线的距离，即可得解.
详解：如下图所示，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，
过点作垂直于直线，垂足为点，抛物线的焦点为，
由抛物线的定义可得，
，当且仅当．．三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，
点到直线的距离为，因此，的最小值是.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.【精挑】2 抛物线的性质-2作业练习
一．单项选择
1．设点在抛物线上，F是焦点，则（ ）
A．214 B．215 C．228 D．230
2．已知点为抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
4．抛物线上两点．到焦点的距离分别是，，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B．5 C． D．1
5．抛物线上的动点M到两定点，的距离之和的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
6．已知抛物线上一点M到焦点的距离为2，则点M到x轴的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．直线与轴．抛物线分别交于点．点，是圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
9．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．点在抛物线上，点在上，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
13．是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
14．已知抛物线上点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．已知直线与轴交于点，抛物线的准线为，点在抛物线上，点在上，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，直线与抛物线交于点，则（ ）．
A．1 B．2 C． D．
18．已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．9 C．12 D．6
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：根据点在抛物线上求出，再利用抛物线可得答案.
详解：依题意可得，则，根据抛物线的定义，
则，
故.
故选：B.
2．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的定义可得，结合抛物线方程，计算即可.
详解：如图所示，由抛物线的定义可知，，因为抛物线方程为，可得，所以，所以的最小值为.
故选：A
3．【答案】B
【解析】分析：先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离．
详解：抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，
由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.
故选:B．
4．【答案】C
【解析】分析：先设．，根据题中条件，由抛物线的定义得到，进而可求出结果.
详解：设．，
因为抛物线的焦点为，准线方程为，
又抛物线上两点．到焦点的距离分别是，，
所以，，
因为，所以，
因此线段的中点到轴的距离为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于利用抛物线的定义，根据题中条件，求出．两点的横坐标之和，根据线段中点到轴的距离即为点横坐标，即可求解.
5．【答案】A
【解析】分析：将抛物线方程转化为标准形式，可得点为抛物线的焦点，然后使用数形结合以及抛物线的定义简单判断可得结果.
详解：由题可知：抛物线方程，即
所以点为抛物线的焦点
如图
根据抛物线的定义可知：点到抛物线准线的距离与到焦点距离相等
所以，
则动点M到两定点，的距离之和为
当三点共线时，距离之和有最小，即为4
故选：A
6．【答案】B
【解析】分析：求出抛物线的准线方程为，利用抛物线的定义可得点M到准线方程为的距离为，则可得答案.
详解：根据抛物线的定义可知，抛物线的准线方程为，点M到焦点的距离和到准线的距离相等，
由抛物线上一点M到焦点的距离为2，所以点M到准线方程为的距离为，则点M到轴的距离为 ，
故选：B.
7．【答案】B
【解析】分析：作出图形，可得出，，利用点．．．四点共线且点．在线段上时，取得最小值，数形结合可得出结果.
详解：如下图所示：
抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可得，
设圆心为，，
当且仅当．．．四点共线且点．在线段上时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
8．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的定义可转化为点到点和到准线的距离和最小，再根据两点之间线段最短，可得到答案.
详解：根据题意可知抛物线的准线为，
设准线与，
根据抛物线定义可得，
要使最小，则最小，
当且仅当．．三点共线时，
最小为的长度，即到准线的距离，
此时代入，得，
所以的坐标为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义，其中解答中根据抛物线的定义，结合图象，根据两点之间线段最短即三点共线时距离和最小是解答的关键，着重考查了数形结合思想及转化思想的应用.
9．【答案】D
【解析】分析：把抛物线化为，得到抛物线的焦点在上，且，即可求解.
详解：由题意，抛物线，可化为，
可得抛物线的焦点在上，且，解得，
所以抛物线的准线方程是.
故选：D
【点睛】
方法点睛：根据标准方程写出焦点坐标，准线方程：
的焦点坐标为，准线方程为；的焦点坐标为，准线方程为；的焦点坐标为，准线方程为；的焦点坐标为，准线方程为.
10．【答案】D
【解析】分析：将抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标.
详解：由得：，其焦点坐标为.
故选：D.
11．【答案】C
【解析】分析：根据抛物线的标准方程可知准线，即可求解.
详解：因为，所以，
故准线方程为．
故选：C
12．【答案】A
【解析】分析：将问题转化为点到圆心的距离的最小值与半径的差求解即可.
详解：解：点在抛物线上，点在上，
所以的最小值为点到圆心的距离的最小值与半径的差，
由于圆心为，
故设，则，
所以点到圆心的距离为：
故的最小值为：.
故选：A
【点睛】
本题考查抛物线上的点到动点距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为点到圆心的距离的最小值与半径的差求解，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.
13．【答案】A
【解析】分析：利用抛物线的定义求解即可．
详解：抛物线的准线方程为
其上一点到抛物线的焦点距离为6，则
解得，即抛物线的准线方程为
故选：A
14．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的定义，结合题的条件，可知点P到焦点F的距离等于到顶点O的距离，从而得到点P在线段OF的中垂线上，从而求得点P的横坐标，代入抛物线的方程，可求得其纵坐标，从而得到答案.
详解：根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点F的距离等于其到准线的距离，
从而得到点P到焦点F的距离等于其到顶点O的距离，
所以点P在线段OF的垂直平分线上，
因为抛物线的方程为，所以其焦点的坐标为，
从而得到点P的纵坐标为，将代入抛物线的方程，得到，
所以点P的坐标为.
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关抛物线上点的坐标的求解问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，线段中垂线上点的特征，熟练掌握基础知识是解题的关键.
15．【答案】C
【解析】分析：将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.
详解：解：抛物线标准方程为，其焦点坐标为
故选：C.
16．【答案】D
【解析】分析：设出的位置，然后求解的坐标，代入抛物线方程，求得，结合点的坐标，求解即可.
详解：依题意，，
不妨设点在第一象限，，
易知为等边三角形，
故，代入中，
故，解得；
而，则，解得，
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，正确解题的关键是设出点的坐标，要正确转化题意，点在抛物线上的条件是点的坐标满足抛物线方程.
17．【答案】C
【解析】分析：通过解方程组求出点的坐标，结合两点间距离公式和抛物线的定义进行求解即可.
详解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，因此，
解方程组，所以坐标为，
因此，
故选：C
18．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得，故为所求
详解：解：由题意得，焦点，准线方程为，
设到准线的距离为，（即垂直于准线，为垂足），
则，（当且仅当共线时取等号），
所以的最小值是9，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查抛物线的定义．标准方程，以及简单性质的应用，解题的关键是由题意结合抛物线定义得，从而可得结果【特供】2 抛物线的性质-1练习
一．单项选择
1．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
6．已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0的对称曲线的焦点坐标为（ ）
A．(1，0) B．(－1，0) C． D．
9．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B．， C． D．
10．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
13．双曲线的方程为，则以双曲线右准线为准线的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
14．焦点为(0，2)的抛物线标准方程是（ ）
A． B． C． D．
15．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．抛物线的准线为x=-4，则抛物线的方程为（ ）
A．x2=16y B．x2=8y C．y2=16x D．y2=8x
17．抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
18．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．2 D．
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：根据图像，准线于，设圆心，坐标为求到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，根据抛物线的性质以及点和圆的位置关系，可以转化为点到圆心的距离和点到抛物线的准线的距离之和的最小值，可得当三点共线时，距离之和最小，代入数值即可得解.
详解：
如图，准线于，设圆心，坐标为
求到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，
根据抛物线的性质以及点和圆的位置关系，
可以转化为点到圆心的距离和点到抛物线的准线的距离之和的最小值，
由点到直线的距离垂线段最短，
可得当三点共线时，距离之和最小，
此时，此时点为与圆的交点，
所以到点的距离与点到抛物线的焦点的距离之和的最小值，
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线和圆的最短距离问题，考查了抛物线的定义以及点和圆的位置关系，主要考查了转化思想，计算量不大，属于基础题.
2．【答案】D
【解析】分析：为抛物线的焦点，根据抛物线的定义知，点到抛物线准线距离等于，根据可得结果.
详解：由可知，所以为抛物线的焦点，
根据抛物线的定义知，点到抛物线准线距离等于，
所以，当且仅当点三点共线，且在线段上时，等号成立.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：根据抛物线的定义将点到抛物线准线距离转化为是解题关键.
3．【答案】B
【解析】分析：根据准线方程，可得抛物线开口向左，设方程为，可得准线方程为，即可求得p的值，即可得答案.
详解：因为准线方程为>0，所以抛物线开口向左，设方程为
所以，解得，
所以抛物线方程为.
故选：B
4．【答案】C
【解析】分析：将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标.
详解：由化为标准方程得，开口向上，
则，即，
所以的焦点坐标是.
故选：C.
【点睛】
本题考查焦点的求法，属于基础题.
5．【答案】B
【解析】分析：作，，即为点到直线的距离，由勾股定理得，由已知，故，即到点的距离等于到的距离
详解：解：如图所示，在正方体中，作，垂足为，
则平面，过作，则平面，
则为点到直线的距离，
由题意得，
由已知得，
所以，
即到点的距离等于到的距离，
所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故选：B
【点睛】
此题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结的数学思想，属于中档题
6．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的定义直接求出p即可.
详解：由抛物线的定义知，
，
解得，
所以抛物线方程为，
故选：A
7．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的标准方程直接求出其焦点坐标.
详解：抛物线的焦点在轴上，则焦点坐标为
故选：B
8．【答案】B
【解析】分析：设抛物线上任意一点,其关于直线对称的点的坐标为,利用对称关系求得，代入已知抛物线方程整理即得所求抛物线的方程.
详解：设抛物线关于直线对称的抛物线上任意一点,其关于直线对称的点的坐标为,由解得,
∵Q在已知抛物线上，
∴抛物线关于直线对称的抛物线方程为：
，即，其中，
所以抛物线的焦点坐标为．
故选B．
【点睛】
求曲线关于直线的对称曲线的方程，一般地，要设所求曲线上的动点坐标为，其对称点的坐标为，根据对称性，利用“一垂直二中点”建立方程组求得关于的表达式，将的坐标代入已知曲线的方程，整理化简即得所求对称曲线的方程.
常见的对称：关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
9．【答案】D
【解析】分析：将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标.
详解：解：整理抛物线方程得
焦点在轴，
焦点坐标为
故选D
10．【答案】C
【解析】分析：将代入抛物线方程，再利用焦半径公式可得，联立求解.
详解：因为，根据抛物线定义，又，可得.
故选：C.
11．【答案】D
【解析】分析：先将抛物线方程化为标准形式，计算出的值即可得到焦点坐标.
详解：因为抛物线方程为即，
所以且焦点在轴负半轴上，所以焦点坐标为，
故选：D.
【点睛】
本题考查根据抛物线方程求解焦点坐标，难度较易.形如的抛物线方程，可知焦点坐标为；形如的抛物线方程，可知焦点坐标为.
12．【答案】B
【解析】分析：利用抛物线定义将点到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第三边且三点共线时能取得最值，即得结果.
详解：依题意，抛物线中，，点到准线的距离，故点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和为，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立.
所以距离之和的小值为.
故选：B.
13．【答案】B
【解析】分析：由双曲线方程求得双曲线的右准线方程，可得抛物线的准线方程，再设出抛物线方程，求得，则抛物线方程可求．
详解：解：由双曲线，得，，
则，双曲线的右准线方程为，
可知抛物线的准线方程为，
则焦点坐标为，
设抛物线方程为，
则，，
则抛物线的标准方程是，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质，考查抛物线方程的求法，属于基础题．
14．【答案】A
【解析】分析：由焦点坐标可知抛物线的开口向上，且，从而可求得抛物线的方程
详解：解：因为抛物线的焦点为(0，2)，
所以设抛物线方程为，且，
解得，所以抛物线的方程为，
故选：A
15．【答案】D
【解析】分析：把抛物线方程化为标准方程后得焦参数，可得焦点坐标．
详解：抛物线方程为，，，焦点为.
故选：D.
16．【答案】C
【解析】分析：根据准线方程求得，判断出抛物线的开口方向，由此求得抛物线方程.
详解：由抛物线的准线为，得，，且抛物线开口向右，
所以抛物线的方程为.
故选：C
17．【答案】C
【解析】分析：作，利用抛物线定义将问题转化为最大值的求解；根据长度关系可知当三点共线时，最大，由此可确定结果.
详解：由抛物线方程知：，准线方程为：.
作，垂足为，如下图所示：
由抛物线定义知：，，
在中，，；
当在抛物线上移动至三点共线，即图中位置时，
，即此时取得最大值，
又，，.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线上的动点到焦点距离与到定点距离之差最值的求解，解题关键是能够利用抛物线的定义将问题转化为动点到准线的距离与到定点距离之差的最值的求解问题.
18．【答案】A
【解析】分析：设抛物线焦点为，由题意，利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.
详解：抛物线的焦点，准线，
连接，，
由抛物线定义，
，
当且仅当三点共线时，取“＝”号，
∴的最小值为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据题中条件，由抛物线的定义，得到，进而可得出结果.【特供】2 抛物线的性质-2作业练习
一．单项选择
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
3．已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．2
4．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线上一点到焦点F的距离为（ ）
A． B．5 C． D．33
6．已知是抛物线上一点，是焦点，是上一点，且则的纵坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．若抛物线：上一点到焦点的距离是，则点到直线的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，，与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的焦点坐标（ ）
A． B． C． D．
10．点到直线的距离比到点的距离大，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
11．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点为抛物线上的动点，则取得最小值的的坐标为：（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．准线为的抛物线标准方程是（ ）
A． B． C． D．
14．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
16．已知点在抛物线的准线上，则p=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
17．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若，则当最大时，（ ）
A． B．1 C． D．2
18．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】D
【解析】分析：将抛物线方程，转化为标准方程求解.
详解：因为抛物线的标准方程是，
所以抛物线的焦点坐标是
故选：D
2．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的标准方程，焦点横坐标为，即可求解.
详解：由抛物线的焦点为，
则，解得，
故选：B
3．【答案】C
【解析】分析：过点作于点，记准线与轴交点为，根据抛物线的定义，结合题中条件，得到，求出，根据，即可求出结果.
详解：过点作于点，记准线与轴交点为，
因为为抛物线上一点，，
由抛物线的定义可得，，，
又，所以，
则，
因此，所以.
故选：C.
4．【答案】A
【解析】分析：利用抛物线标准方程及准线方程直接求解.
详解：由整理得，
故抛物线的焦点为，准线方程为，
故选：A.
5．【答案】C
【解析】分析：先利用已知条件求出的值，再利用抛物线的焦半径公式求解即可.
详解：依题意可得，
所以，
则，
则．
故选：C.
6．【答案】C
【解析】分析：由条件可得，然后设，利用求出答案即可.
详解：因为是抛物线上一点，
所以.
设，
由
得，
整理得，
解得或
故选：C
7．【答案】C
【解析】分析：由题意得到抛物线：的准线方程为，根据到焦点的距离是，从而求解.
详解：抛物线的准线方程为，
∵点到焦点的距离是，
∴点到准线的距离为，
∴点到直线的距离为，
故选：C
8．【答案】A
【解析】分析：从，分別向准线作垂线，垂足分別为，，从向作垂线，垂足为，设，求出，根据，计算可得结果.
详解：如图所示，从，分別向准线作垂线，垂足分別为，，从向作垂线，垂足为，
由题意，设，则，所以，
所以，，所以，
故选：A．
9．【答案】D
【解析】分析：将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.
详解：解：由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为，
则，解得，所以焦点坐标为.
故选:D.
10．【答案】D
【解析】分析：将问题转化为点到定直线的距离和点到定点的距离相等即可用抛物线的定义解决.
详解：∵点到直线的距离比它到点的距离大2，
∴点到直线的距离和它到点的距离相等，
故点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线，开口向下的抛物线，
所以点的轨迹方程为.
故选：D.
11．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的定义进行求解即可.
详解：设抛物线的准线方程为：，，过作，垂足为，
所以，要想取得最小值，只需在一条直线上即可，此时，的坐标为，
故选：B
12．【答案】A
【解析】分析：由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.
详解：由抛物线的方程为，则其准线方程为：
故选：A
13．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线标准方程及准线方程的定义可得.
详解：因为抛物线准线为，即，所以，故抛物线方程为:
故选:A
14．【答案】B
【解析】分析：由抛物线的定义直接求解即可
详解：解：由题意得，得，设点P的纵坐标为，
因为抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，
所以，得，
所以点P的纵坐标为4，
故选：B
15．【答案】B
【解析】分析：将抛物线的方程化为标准方程，由此可求得该抛物线的焦点坐标.
详解：抛物线的标准方程为，则，可得，
因此，抛物线的焦点坐标为.
故选：B.
16．【答案】C
【解析】分析：由题意点在抛物线的准线上得到可得答案.
详解：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，
故，则.
故选：C.
17．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的定义，结合换元法．配方法进行求解即可.
详解：因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为，抛物线的焦点为F，所以，抛物线的准线方程为：，因此，
令，
，
当时，即当时，有最大值，最大值为1，此时.
故选：B
18．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的几何性质可得选项.
详解：由，得，则，且焦点在轴正半轴上，
故焦点坐标是.
故选：B.【名师】2 抛物线的性质-1作业练习
一．单项选择
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数a，b，c成等差数列，记直线与曲线的相交弦中点为P，若点A，B分别是曲线与x轴上的动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点坐标是( )
A．F(0，) B．F(1，－) C．F(0，－) D．(1，)
5．若抛物线上的一点M到其焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
6．抛物线的焦点坐标（ ）．
A． B． C． D．
7．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为（ ）
A．3 B．-2 C．4 D．-4
9．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
12．已知抛物线的焦点为为该抛物线上的一动点，为平面上的一定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
14．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线的焦点为，若点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．
16．抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
17．抛物线上点到其焦点的距离为5，则（ ）
A． B．1
C．2 D．4
18．抛物线上点到焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】D
【解析】分析：将已知抛物线方程整理成标准形式，从而求出，进而可求出准线方程.
详解：解：得，设焦点坐标为，由题意知，，则，
则准线方程为.
故选:D.
2．【答案】B
【解析】分析：由已知得，可得出直线过定点，设直线与曲线相交的一个交点为Q，设另一个交点为，设，由中点坐标可得出点，代入曲线上，得出P在抛物线上运动，由抛物线的定义及圆的性质可得出选项.
详解：解：因为实数a，b，c成等差数列，所以，
则直线化为，
即，
由解得,
所以直线过定点，
又点Q在曲线上，
所以直线与曲线相交的一个交点为Q，
设另一个交点为，
设，则，
又在曲线上，化简得，
即P在抛物线上运动，
设抛物线的焦点为，
设，，
曲线，得，
记圆心
所以
.
故选B.
【点睛】
本题综合考查直线恒过定点，动点的轨迹方程，抛物线的定义以及两线段长度之和的最值问题，属于难题.
3．【答案】A
【解析】分析：抛物线焦点在轴上，则得到答案.
详解：抛物线化为标准形式为， 对称轴为y轴，开口向上，顶点在坐标原点，
所以， ，焦点坐标为.
故选：A.
4．【答案】B
【解析】分析：右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．
详解：已知抛物线方程为，即，它的图象是由抛物线向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，
抛物线中，，焦点坐标为，，，
因此所求焦点坐标为，
故选：B．
【点睛】
本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．
5．【答案】B
【解析】分析：先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而根据抛物线的定义，利用点到准线的距离求得点的纵坐标，求得答案．
详解：解：根据抛物线的定义可知点与抛物线焦点的距离就是点与抛物线准线的距离，
依题意可知抛物线的准线方程为，点与抛物线焦点的距离为1，
点到准线的距离为，
点的纵坐标为：．
故选：．
6．【答案】C
【解析】分析：化简抛物线为标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求解.
详解：由题意，抛物线可化为标准方程，
可得抛物线的焦点在轴上，且，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
7．【答案】C
【解析】分析：根据抛物线的知识可直接选出答案.
详解：抛物线的准线方程为
故选：C
8．【答案】A
【解析】分析：利用焦半径公式可求距离.
详解：因为抛物线的方程为，故，
又点到其焦点的距离为，
故选：A.
9．【答案】D
【解析】分析：把抛物线方程化成标准形式进行求解即可.
详解：由，所以，
因此该抛物线的准线方程为：.
故选：D
【点睛】
本题考查了由抛物线方程求准线方程，属于基础题.
10．【答案】B
【解析】分析：由点在抛物线上及建立方程组，解出p即可.
详解：
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
【点睛】
解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
11．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线，的焦点坐标为，准线方程为，焦点到准线的距离为，计算即可.
详解：根据题意，抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线方程为
焦点到准线的距离为2
故选：B．
12．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得，故到准线的距离）为所求．
详解：解：抛物线的准线方程为焦点为，
如图，过点向准线作垂线，垂足为
结合抛物线的定义可知.
故选：A
13．【答案】C
【解析】分析：由抛物线的知识直接可得答案.
详解：抛物线的准线方程是
故选：C
14．【答案】D
【解析】分析：由解析式可求出焦点的位置，以及，继而可求出焦点坐标.
详解：解：由题意知，，解得，焦点在轴正半轴，所以焦点坐标为，
故选:D.
【点睛】
本题考查了已知抛物线的方程求焦点坐标，属于基础题.
15．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的定义，由题中条件列出方程求出点的横坐标，即可得出结果.
详解：根据抛物线的定义，得到，解得，
即点到轴的距离为2.
故选：A.
16．【答案】B
【解析】分析：依题意可求得椭圆的焦点坐标，从而可得抛物线的焦点到准线的距离．
详解：解：椭圆的方程为，即，
，，
，
；
椭圆的焦点坐标为：．
抛物线顶点是坐标的原点，焦点是椭圆的一个焦点，
此抛物线的焦点到准线的距离是．
故选：．
17．【答案】D
【解析】分析：由抛物线的定义可得，从而可求出的值
详解：抛物线的焦点到的距离为5，
所以其焦点
由定义可得，即，
故选：D.
18．【答案】A
【解析】分析：利用抛物线的定义可求得结果.
详解：抛物线的准线方程为，因此，点到抛物线的焦点的距离为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义计算焦半径的长，考查计算能力，属于基础题.【基础】2 抛物线的性质-2作业练习
一．单项选择
1．已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
2．焦点是的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
5．已知点M为抛物线准线上一点，点F为焦点， O为坐标原点，A在抛物线上，且|AF|=10，则|MA|+|MO|的最小值为（ ）
A．16 B． C． D．
6．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知抛物线的准线方程是，则a等于（ ）
A． B． C．2 D．4
8．在平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．
9．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
试卷第10页，总10页
10．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴，过焦点F的直线交抛物线C于M，N两点，线段MN的长为4，且MN的中点到x轴的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（ ）．
A． B． C． D．
12．已知为抛物线上的点，，点到轴的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
14．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，直线与抛物线交于点，则（ ）．
A．1 B．2 C． D．
15．已知点在抛物线上，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
16．点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
17．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
18．已知为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】C
【解析】分析：由题可得，即可判断.
详解：抛物线C的焦点到准线的距离大于2，，即，
C的方程可能为.
故选：C.
2．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的焦点坐标可得出抛物线的标准方程.
详解：由于抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为，则，可得.
因此，所求抛物线的标准方程为.
故选：B.
3．【答案】D
【解析】分析：根据方程，先判定顶点位置和开口方向，利用公式写出准线方程即可.
详解：解：抛物线是顶点在原点，开口向下的抛物线，,
准线方程为，
故选：D.
【点睛】
根据抛物线的标准方程的四种形式求出准线方程和焦点坐标是基本功，一定要结合顶点，对称轴，开口方向熟练掌握.
4．【答案】D
【解析】分析：根据条件作出图示，根据抛物线的定义将转化为到准线的距离，然后根据三点共线求解出的最小值.
详解：根据已知条件出图示如下，过作准线，且准线方程，
所以，
所以当三点共线时，此时有最小值，即有最小值，
所以，且，，
所以，
故答案为：D.
【点睛】
思路分析：利用抛物线的定义求解抛物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：
（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离；
（2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.
5．【答案】C
【解析】分析：由求出点坐标，求出关于准线的对称点，线段的长就是所求最小值．
详解：易知抛物线的焦点为，准线为，
设，不妨设，，，则，，
关于准线的对称点为，
，当且仅当三点共线时，等号成立，
，
所以|MA|+|MO|的最小值为．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查直线上动点到两定点距离和的最小值问题，根据是平面上两点间线段最短，解题方法是利用对称性求出其中一个定点关于定直线的对称点，然后求出这个对称点与另一定点的距离即为最小值．
6．【答案】C
【解析】分析：由抛物线的定义转化即可求值.
详解：因为抛物线，
所以
因为点在抛物线上，
故
故选：C
7．【答案】D
【解析】分析：的准线方程为，可建立等式求解
详解：的准线方程为
，故
故选：D
8．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线标准方程有，即可知焦准距.
详解：由抛物线知：，而焦点坐标为，准线方程为：，
∴焦点到准线的距离为1，
故选：B
9．【答案】D
【解析】分析：化简抛物线方程，进而求出焦点坐标．
详解：抛物线方程可化简为
所以焦点坐标为
故选：D
10．【答案】B
【解析】分析：根据焦点弦的弦长公式可求的值，从而可得正确的选项.
详解：设的中点为，抛物线的标准方程为，，
则，而，故，所以，
故抛物线的方程为：.
故选：B.
11．【答案】A
【解析】分析：先设出抛物线的方程，将点代入抛物线方程求得，即可得出结果.
详解：如图建立直角坐标系：
设抛物线的方程为，
利用已知条件可得：
点在抛物线上，
所以，
则，
所以信号装置与卫星接收天线中心的距离为.
故选：A.
12．【答案】A
【解析】分析：利用抛物线定义可得，当三点共线时可取得最小值，利用两点间距离公式即可求解.
详解：
由可得焦点
由抛物线的定义可得：，所以，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以的最小值是，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用抛物线的定义将转化为，三点共线时取得最小值.
13．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的几何性质可得选项.
详解：由得，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为1，
故选：B.
14．【答案】C
【解析】分析：通过解方程组求出点的坐标，结合两点间距离公式和抛物线的定义进行求解即可.
详解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，因此，
解方程组，所以坐标为，
因此，
故选：C
15．【答案】A
【解析】分析：将点代入抛物线方程计算可得，直接可得结果.
详解：由题可知：，由，所以
故抛物线的焦点到准线的距离为1
故选：A
16．【答案】B
【解析】分析：点到点的距离比它到直线的距离小2可以转化为点到直线的距离等于它到点的距离可得答案.
详解：因为点到点的距离比它到直线的距离少2，
所以将直线左移2个单位，得到直线，即，
可得点到直线的距离等于它到点的距离，
根据抛物线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，得，
所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.
故选：B．
17．【答案】A
【解析】分析：可利用抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，进而通过图形分析何时最小
详解：抛物线的焦点为
圆的圆心为，半径为
根据抛物线的定义可知，到准线的距离等于到焦点的距离
故当四点共线时，最小，为
故最小值为
故选：A
【点睛】
在处理圆锥曲线中的距离之和或差最小或最大的问题时，可利用圆锥曲线的定义，将一边长转化，再通过观察可找出何时最短或最长.这运用了转化与化归的数学思想.
18．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的定义得到，要使得的最小值，转化为的最小值，结合图象，即可求解.
详解：点是抛物线内的一点，设点在抛物线准线上的射影为，
根据抛物线的定义，可得，要使得的最小值，
即求的最小值，
结合图象，可得当三点共线时，取到最小值.
故选：A.【特供】2 抛物线的性质-1作业练习
一．单项选择
1．已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A．4 B． C．8 D．16
2．在平面内，到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点O，并且经过点，若点M到该抛物线焦点的距离为6，则（ ）
A．5 B． C．6 D．
4．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于．两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线：（）的焦点为，过点且斜率为2的直线为，，若抛物线上存在一点，使．关于直线对称，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线，则它的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线，则它的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．是抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为始边，为终边的角为，且，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知抛物线与椭圆交于两点，且为坐标原点，则（ ）
A． B．
C． D．
13．抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
15．准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
17．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
18．已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）．
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】分析：由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得，代入可得选项.
详解：因为为抛物线的焦点，所以，
设，由抛物线的性质得：，
∴，故到的距离为4.
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，属于基础题.
2．【答案】A
【解析】分析：确定的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得出结论．
详解：解：动点到定点的距离与到定直线的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】分析：由点到焦点F的距离为6，根据抛物线的定义，求得，得到抛物线的方程，进而求得的值，结合两点间的距离公式，即可求解.
详解：设抛物线的标准方程为，
因为点到焦点F的距离为6，所以，则，
所以抛物线的方程为，
令，可得，所以．
故选：B
【点睛】
与抛物线的定义有关的问题的解题策略：
4．【答案】D
【解析】分析：先将抛物线方程化为标准形式，从而可求出其焦点坐标
详解：解：由，得，其焦点在轴的正半轴上，
因为，，所以，
所以其焦点坐标为，
故选：D
5．【答案】C
【解析】分析：过A，B作垂直准线，垂足为，过B作垂线，垂足为C，即可根据长度关系求出，继而得出倾斜角.
详解：如图，过A，B作垂直准线，垂足为，过B作垂线，垂足为C，
由抛物线定义知,
所以，，所以直线倾斜角为.
故选:C.
【点睛】
本题考查抛物线性质的应用，属于基础题.
6．【答案】C
【解析】分析：先将抛物线方程化为标准方程，根据抛物线的方程直接写出其准线方程.
详解：抛物线的标准方程为
所以，准线方程为.
故选：C
7．【答案】B
【解析】分析：由抛物线的方程可得焦点的坐标，设的坐标，由．关于直线对称，可得的坐标与的关系，再由可得的值，进而可得抛物线的方程.
详解：，，
设，则，即
因为关于直线对称，，所以中点在上，
，，
从而
从而解得（舍），
故选：B
8．【答案】D
【解析】分析：直接求出准线方程即可.
详解：∵抛物线，∴它的准线方程是.
故选：D
9．【答案】A
【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标即圆心坐标，求得圆半径可得圆方程．
详解：抛物线的标准方程是，焦点为，，
所以圆方程为，即．
故选：A．
10．【答案】D
【解析】分析：将抛物线方程化为标准形式后得到焦准距，可得结果.
详解：由得，所以，所以，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.
11．【答案】B
【解析】分析：过作轴和准线的垂线，根据抛物线定义列方程可求出p的值.
详解：
过作轴的垂线MN，N为垂足，过M向抛物线的准线作垂线，垂足为A，
则
故选：B
【点睛】
本题考查抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
12．【答案】D
【解析】分析：假设点，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可.
详解：由题可知：轴，且关于轴对称，
又，设
所以，所以
所以
故选：D
13．【答案】C
【解析】分析：化为抛物线的标准方程，直接写出准线方程.
详解：因为抛物线，
所以，
所以准线方程为，
故选：C
14．【答案】C
【解析】分析：将抛物线化为标准形式：，利用准线方程：即可求解.
详解：由抛物线，可得，
所以准线方程为：.
故选：C
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程．准线方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
15．【答案】A
【解析】分析：根据抛物线的准线方程，设出抛物线的标准方程，再根据准线方程的公式求解.
详解：因为准线方程，所以抛物线的开口向左，所以设抛物线方程，则，
所以抛物线的标准方程为.
故选：A
16．【答案】A
【解析】分析：由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，进而构造方程求得结果.
详解：由抛物线方程知：焦点为，准线为：，
，解得：.
故选：A.
17．【答案】D
【解析】分析：求出，即得抛物线的准线方程.
详解：因为，
所以，
故准线方程为．
故选：D
18．【答案】D
【解析】分析：分析可知，点的轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点与准线，由此可得出点的轨迹方程.
详解：因为动点到点的距离比到直线的距离小，
所以，点到点的距离和到直线的距离相等，
点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线．
所以，，则，故点的轨迹方程为．
故选：D.【名师】2 抛物线的性质作业练习
一．单项选择
1．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点在抛物线上，则实数m的值为（ ）
A．-3 B．0或-3 C．-4 D．0或1
2．抛物线，过点，F为焦点，定点B的坐标为，则值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点的M的纵坐标，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
6．已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为5，且，则焦点到准线的距离是（ ）
A．2 B．5 C．4 D．14
7．若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为3，则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
9．已知抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的通径长为（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是（ ）
A．(1，0) B． C．(0，1) D．(
12．已知m，n，m＋n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
13．已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，准线是，点P是曲线C上的动点，点P到准线的距离为d，点A(1，6)，则|PA|+d的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知抛物线上的点M到它的焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
15．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C在第一象限的交点为，若，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
16．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
17．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则等于（ ）
A． B． C．4 D．
试卷第8页，总9页
18．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：根据两点在双曲线上，且关于直线对称，可由表示出的中点坐标，再由中点在抛物线上，计算即得.
详解：由题得，直线的斜率，设点的横坐标分别为，的中点在上，设直线：，由点在上，可得，则，由消元得，则有，即，，故的中点，又线段中点在抛物线上，可得，解得或.
故选：
【点睛】
本题考查直线和双曲线的位置关系，考查对称性，以及抛物线的性质，解题关键是确定的中点的坐标.
2．【答案】C
【解析】分析：首先根据在抛物线上求出的值，然后求得焦点坐标，进而根据两点距离公式求出．的值 ，即可求出结果．
详解：因为抛物线过点
故选：．
【点睛】
本题考查了抛物线标准方程，考查了两点间的距离公式，求出和点坐标是解题的关键，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】分析：先根据抛物线点求出p的值,再根据抛物线的方程求出焦点的坐标即可.
详解：因为抛物线过点,所以,解得,所以该抛物线的方程为,其焦点坐标为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质,考查的数学核心素养是数学运算.
4．【答案】A
【解析】分析：设，根据抛物线的定义求得不等式时的取值范围，由此判断出充分．必要条件.
详解：抛物线的，焦点为.设，当时，根据抛物线的定义可知，即.由于在抛物线上，所以，解得或.
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查充分．必要条件的判断，考查抛物线的定义，属于中档题.
5．【答案】C
【解析】分析：结合抛物线的定义，可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，进而可求出最小值.
详解：由题意，抛物线的焦点，准线为，设抛物线上的动点，
根据抛物线的定义可知，，
因为，所以，
故抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线的定义的应用，考查抛物线的性质，属于基础题.
6．【答案】C
【解析】分析：设，，不妨设，求出，再根据抛物线的定义得解.
详解：设，，不妨设，
到轴的距离为5，，
，，．
则焦点到准线的距离是，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义和简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．【答案】B
【解析】分析：直接利用抛物线焦半径公式得到答案.
详解：根据题意：.
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线焦半径公式，属于简单题.
8．【答案】A
【解析】分析：求出椭圆的右焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标公式可得．
详解：由题意椭圆中，，右焦点为，∴，．
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆与抛物线的焦点坐标，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案.
详解：根据抛物线的定义可得，
又，所以，
所以，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：B
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，利用定义得是解题关键，属于基础题.
10．【答案】D
【解析】分析：先将抛物线方程，化为标准方程，再利用通径公式求解.
详解：抛物线方程，化为标准方程为，
所以通径．
故选：D
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.
11．【答案】D
【解析】分析：首先求出抛物线的焦点坐标，再求出焦点关于直线的对称点即可.
详解：抛物线的焦点坐标为.
设关于直线对称点为，由题知：
，解得.
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查点关于直线的对称点，同时考查抛物线的焦点坐标，属于中档题.
12．【答案】A
【解析】分析：由已知条件得m和n的值，从而得到抛物线的方程，即得到焦点坐标.
详解：已知m，n，m＋n成等差数列得2n=m+m+n，
m，n，mn成等比数列得，解得m=2，n=4，
故抛物线为，其焦点坐标为.
故选：A
【点睛】
本题考查等差数列的基本概念与性质．等比数列的基本概念与性质和抛物线的简单几何性质，属于基础题.
13．【答案】B
【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，判断的位置，利用抛物线的性质，转化求解即可.
详解：解：抛物线的焦点为，准线是，
因为当时，，所以点在抛物线外
点是曲线上的动点，设点到准线的距离为，则|PA|+d的最小值为的距离，
.
故选：B
【点睛】
此题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想及计算能力，属于基础题.
14．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线上的点M到它的焦点的距离为5，利用抛物线的定义得到求解.
详解：因为抛物线上的点M到它的焦点的距离为5，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15．【答案】C
【解析】分析：设抛物线的准线为，作于，抛物线定义得到，再根据直线：过焦点且倾斜角为，得到为正三角形求解.
详解：设抛物线的准线为，作于，如图所示:
因为，由抛物线定义得：，
又直线：过焦点且倾斜角为，
所以，所以为正三角形，
所以，，
所以，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
16．【答案】A
【解析】分析：由题得，求出的值即得解.
详解：由题得，
所以抛物线的焦点在轴上，开口向下，
所以，
所以准线方程为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的定义，求得，再结合抛物线方程，求得点的坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得结果.
详解：因为抛物线过点，故可得该抛物线开口向上，
设其方程为，
由抛物线定义知，，所以，
则抛物线方程为，
因为点在此抛物线上，所以，
于是，
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线的定义，以及抛物线上一点坐标的求解，属基础题.
18．【答案】B
【解析】分析：先将抛物线方程化为标准方程，再利用准线方程求解.
详解：抛物线化为标准方程：，
所以其准线方程是.
故选：B
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.【名师】2 抛物线的性质练习
一．单项选择
1．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的通径长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
9．已知抛物线：的准线平分圆：的周长，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是（ ）
A．(1，0) B． C．(0，1) D．(
11．若直线经过抛物线的焦点，则（ ）
A． B． C．2 D．
12．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
14．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．5 B．3 C． D．2
15．抛物线上的点到抛物线焦点的距离为3，则（ ）
A． B． C．2 D．4
16．已知抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点A，点在曲线C上，，则（ ）
A．3p B．3 C．4p D．4
17．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
18．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
参考答案与试题解析
1．【答案】B
【解析】分析：先将抛物线方程化为标准方程，再利用准线方程求解.
详解：抛物线化为标准方程：，
所以其准线方程是.
故选：B
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案.
详解：根据抛物线的定义可得，
又，所以，
所以，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：B
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，利用定义得是解题关键，属于基础题.
3．【答案】C
【解析】分析：根据抛物线方程求得，由此求得准线方程.
详解：抛物线的方程为，所以，所以抛物线的准线方程是.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线准线方程的求法，属于基础题.
4．【答案】A
【解析】分析：由于抛物线的准线方程为，抛物线的准线方程即可求得．
详解：解：由于抛物线的准线方程为，
则有抛物线的准线方程是．
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】分析：先将抛物线方程，化为标准方程，再利用通径公式求解.
详解：抛物线方程，化为标准方程为，
所以通径．
故选：D
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.
6．【答案】B
【解析】分析：先根据抛物线点求出p的值,再根据抛物线的方程求出焦点的坐标即可.
详解：因为抛物线过点,所以,解得,所以该抛物线的方程为,其焦点坐标为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质,考查的数学核心素养是数学运算.
7．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的性质，的最小值等价于的最小值，即焦点到直线的距离.
详解：由题可知是抛物线的准线，交点，
由抛物线的性质可知,
，
如图，当在一条直线上时，取得最小值为，
利用点到直线距离公式可以求出，
所以的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.
8．【答案】A
【解析】分析：求出椭圆的右焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标公式可得．
详解：由题意椭圆中，，右焦点为，∴，．
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆与抛物线的焦点坐标，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】分析：由题意可得抛物线的准线过圆心，从而可求出的值.
详解：解：抛物线：的准线的方程为，
圆：的圆心，
因为抛物线：的准线平分圆：的周长，
所以准线过圆心，
所以，解得，
故选：C
【点睛】
此题考查抛物线的准线，圆的方程，属于基础题.
10．【答案】D
【解析】分析：首先求出抛物线的焦点坐标，再求出焦点关于直线的对称点即可.
详解：抛物线的焦点坐标为.
设关于直线对称点为，由题知：
，解得.
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查点关于直线的对称点，同时考查抛物线的焦点坐标，属于中档题.
11．【答案】B
【解析】分析：计算抛物线的交点为，代入计算得到答案.
详解：可化为，焦点坐标为，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.
12．【答案】D
【解析】分析：直接计算抛物线焦点得到答案.
详解：抛物线，则，，故焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了求抛物线的焦点，属于简单题.
13．【答案】C
【解析】分析：结合抛物线的定义，可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，进而可求出最小值.
详解：由题意，抛物线的焦点，准线为，设抛物线上的动点，
根据抛物线的定义可知，，
因为，所以，
故抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线的定义的应用，考查抛物线的性质，属于基础题.
14．【答案】D
【解析】分析：由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.
详解：解：由抛物线方程可知，，即，.设
则，即，所以.
所以线段的中点到轴的距离为.
故选:D.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.
15．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的定义，得到，求出，代入抛物线方程，即可得出结果.
详解：因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离为3，
根据抛物线的定义可得，，解得，
代入得，则.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题型.
16．【答案】D
【解析】分析：过作准线的垂线,再根据抛物线的几何性质以及列式计算即可.
详解：过作准线的垂线,交准线与,则根据抛物线的性质有,
又.故.又,故,故.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质运用,属于基础题.
17．【答案】A
【解析】分析：由题得，求出的值即得解.
详解：由题得，
所以抛物线的焦点在轴上，开口向下，
所以，
所以准线方程为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．【答案】D
【解析】分析：由已知中抛物线，我们可以求出抛物线的标准方程，进而求出值，根据抛物线的准线方程的定义，得到答案．
详解：解：抛物线的标准方程为，
故，
即，
则抛物线的准线方程是，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质，其中由已知求出抛物线的标准方程是解答本题的关键．【优选】2 抛物线的性质课时练习
一．单项选择
1．抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A． B． C． D．1
2．已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，准线是，点P是曲线C上的动点，点P到准线的距离为d，点A(1，6)，则|PA|+d的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．8 B．4 C． D．
4．已知圆与抛物线的准线相切，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知抛物线的焦点为，点在上，，若直线与交于另一点，则的值是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．45
6．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则等于（ ）
A． B． C．4 D．
试卷第4页，总9页
7．已知抛物线的焦点为F，M是抛物线C上一点，N是圆上一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
8．抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，且它们的交点到的距离为，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
9．已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且，斜率为的直线经过点，且与抛物线交于，（异于）两点，则直线与直线的斜率之积为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
10．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．已知m，n，m＋n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
13．抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．或
14．已知抛物线C：（）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为点A，B.若，则p的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
15．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
16．若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（ ）
A． B．
C． D．
17．已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若的重心为F，则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
18．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点的M的纵坐标，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案与试题解析
1．【答案】D
【解析】分析：将抛物线写成标准方程,再根据焦点到准线的距离定义求解即可.
详解：由题,抛物线 ,故焦点到准线的距离.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程与几何意义.属于基础题.
2．【答案】B
【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，判断的位置，利用抛物线的性质，转化求解即可.
详解：解：抛物线的焦点为，准线是，
因为当时，，所以点在抛物线外
点是曲线上的动点，设点到准线的距离为，则|PA|+d的最小值为的距离，
.
故选：B
【点睛】
此题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想及计算能力，属于基础题.
3．【答案】D
【解析】分析：将抛物线的方程化为标准方程，由此可求得抛物线的焦点到准线的距离.
详解：由题得抛物线的标准方程为，
所以.
故抛物线的焦点到准线的距离为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．【答案】B
【解析】分析：首先求出圆的圆心坐标和半径以及抛物线的准线，根据圆与准线相切即可求出答案.
详解：圆，，圆心，半径.
抛物线，准线.
因为圆与抛物线的准线相切，
所以圆心到准线的距离.
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查直线与圆相切，同时考查了抛物线的准线方程，属于简单题.
5．【答案】C
【解析】分析：结合抛物线性质，分别计算的坐标，结合两点距离公式，即可求得结果.
详解：结合抛物线的性质可得，，
所以抛物线方程为，
所以点的坐标为，
所以直线的方程为，
代入抛物线方程，计算点坐标为，
所以，
故选：C.
【点睛】
该题考查了抛物线性质及两点距离公式，属于中档题目.
6．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的定义，求得，再结合抛物线方程，求得点的坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得结果.
详解：因为抛物线过点，故可得该抛物线开口向上，
设其方程为，
由抛物线定义知，，所以，
则抛物线方程为，
因为点在此抛物线上，所以，
于是，
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线的定义，以及抛物线上一点坐标的求解，属基础题.
7．【答案】B
【解析】分析：把转化为到准线的距离，通过到圆心的距离求解．
详解：如图，圆的圆心为，半径为，直线是抛物线的准线，过作于，则，
∴，
当且仅当三点共线时，等号成立．
此时取得最小值为．
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查圆外点到圆上点的距离的最值．解题关键是转化思想，抛物线 上点到焦点的距离转化为到准线的距离，圆外点到圆上的的距离转化为圆外点到圆心距离．
8．【答案】B
【解析】分析：结合抛物线第一定义求出点，再结合椭圆第一定义由即可求解
详解：由抛物线第一定义可知，，解得，设点在第一象限，将代入，解得，则，再由椭圆第一定义可得，即
故选：B
【点睛】
本题考查抛物线的定义与椭圆第一定义的使用，还考查了点到点距离公式的应用，属于中档题
9．【答案】B
【解析】分析：根据抛物线的焦半径公式，即可求出的值，求出，设直线方程与抛物线方程联立，求出两点的坐标关系，再将直线与直线的斜率之积用坐标表示，化简即可证明结论.
详解：由抛物线的定义知，则，解得，
又点在抛物线上，代入，得，得，，
所以，抛物线，
因为斜率为的直线过点，所以的方程为，
联立方程得，即，
设，，由根与系数的关系得，
则直线的斜率，直线的斜率，.
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.
10．【答案】D
【解析】分析：写出抛物线的标准方程，利用焦点坐标公式可得答案.
详解：抛物线方程即，故焦点在y轴上，焦点坐标为，
故选：D
【点睛】
本题考查抛物线的焦点坐标的求解，属于简单题.
11．【答案】A
【解析】分析：由已知条件得m和n的值，从而得到抛物线的方程，即得到焦点坐标.
详解：已知m，n，m＋n成等差数列得2n=m+m+n，
m，n，mn成等比数列得，解得m=2，n=4，
故抛物线为，其焦点坐标为.
故选：A
【点睛】
本题考查等差数列的基本概念与性质．等比数列的基本概念与性质和抛物线的简单几何性质，属于基础题.
12．【答案】D
【解析】分析：用抛物线标准方程即可.
详解：即，所以其焦点在y轴正半轴，坐标为，
故选:D.
【点睛】
抛物线的标准方程有四个形式，注意焦点位置.
13．【答案】D
【解析】分析：考虑抛物线焦点在轴和轴两种情况，代入点计算得到答案.
详解：当焦点在轴上时，设抛物线方程为，代入点得到，，
故抛物线方程为；
当焦点在轴上时，设抛物线方程为，代入点得到，，
故抛物线方程为.
综上所述：抛物线方程为或.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线方程，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误.
14．【答案】C
【解析】分析：连接，通过是圆的圆心，结合图形，，通过求解是等边三角形，推出结果．
详解：连接，如下图
因为F就是圆的圆心，
所以，且.
又，所以，那么，
所以是等边三角形
所以.
又，所以.
故选：C.
【点睛】
考查抛物线的标准方程．焦点．准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和学生对数量关系的分析能力.
15．【答案】A
【解析】分析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，可将问题转化为抛物线焦点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离求解.
详解：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，
由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，
点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和，
等于点P到焦点的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和
∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为
点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即
故选：Ａ
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点到直线距离公式，属于中档题.与焦点．准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
16．【答案】C
【解析】分析：设点，根据焦半径公式可求得的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；
详解：设点，为抛物线的焦点，
，，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.
17．【答案】B
【解析】分析：先由重心坐标公式可得，再根据焦半径公式即可得结果.
详解：因为F是抛物线C的焦点，所以F的坐标为，
设的横坐标为，由三角形的重心坐标公式得，
再由抛物线的焦半径公式得，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了重心坐标公式以及抛物线中焦半径公式的应用，属于基础题.
18．【答案】A
【解析】分析：设，根据抛物线的定义求得不等式时的取值范围，由此判断出充分．必要条件.
详解：抛物线的，焦点为.设，当时，根据抛物线的定义可知，即.由于在抛物线上，所以，解得或.
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查充分．必要条件的判断，考查抛物线的定义，属于中档题.【精选】2 抛物线的性质-1课时练习
一．单项选择
1．设抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点到直线的距离（ ）
A． B． C．1 D．2
3．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且与的一个交点坐标是，则椭圆的长轴长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
试卷第8页，总9页
5．已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（ ）
A．4 B． C．或 D．
6．动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（ ）.
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
7．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点是，则的值是（ ）
A． B．4 C． D．
9．若抛物线的准线与椭圆相切，则a＝（ ）
A．﹣4或4 B．4 C．﹣8或8 D．8
10．已知直线与抛物线相交于A，B两点，F为C的焦点，若，则点A到抛物线的准线的距离为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
11．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
12．已知抛物线的焦点为，是上一点，若点的纵坐标为2，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
14．若抛物线上一点到焦点的距离为8，则的横坐标为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
15．抛物线的焦点为，点在抛物线上且其横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上且P在准线上的投影为Q，直线QF交C于点D，且|QD|＝2|DF|，则的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
17．在平面内，到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
18．已知抛物线上一点到其焦点的距离为（ ）
A．3 B．-2 C．4 D．-4
参考答案与试题解析
1．【答案】A
【解析】分析：求出点的横坐标，利用抛物线的定义可求得点到抛物线焦点的距离.
详解：抛物线的准线方程为，由于抛物线上的点到轴的距离为，
则点的横坐标为，由抛物线的定义可知，点到抛物线的焦点的距离是.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求解焦半径，考查计算能力，属于基础题.
2．【答案】B
【解析】分析：由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
详解：由抛物线可得焦点坐标为，
根据点到直线的距离公式，可得，
即抛物线的焦点到直线的距离为.
故选：B.
3．【答案】A
【解析】分析：由抛物线的方程直接求其焦点坐标即可
详解：解：因为抛物线，
所以，，则
所以抛物线的焦点坐标为，
故选：A
【点睛】
此题考查由抛物线的方程求焦点坐标，属于基础题
4．【答案】A
【解析】分析：先求出抛物线方程，据焦点重合得一关于方程，在上得又一关于方程，解方程组即可.
详解：解：在上，故，
抛物线的焦点，故，所以（1），
在上，故（2），
解由（1）（2）组成的方程组得，，
故选：A.
【点睛】
考查求抛物线．椭圆的焦点以及通过解方程组确定椭圆的实轴长，基础题.
5．【答案】C
【解析】分析：结合抛物线的定义以及求得的值.
详解：依题意，
当时，过作，交于，
根据抛物线的定义得.
当时，过作，交于，
根据抛物线的定义得.
综上所述，的值为或.
故选：C
6．【答案】D
【解析】分析：根据抛物线的定义即可判断.
详解：解：∵动点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴动点到点的距离等于它到直线的距离，
∴由抛物线的定义知：该动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线.
故选：D.
7．【答案】B
【解析】分析：直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可.
详解：解：由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且，
.
抛物线的焦点坐标是.
故选：B.
8．【答案】B
【解析】分析：由解得结果即可得解.
详解：因为抛物线的焦点是，
所以，所以.
故选：B
9．【答案】A
【解析】分析：先写出抛物线的准线方程，再利用已知条件得到，即可得出结果.
详解：因为抛物线的准线方程为，
若抛物线的准线与椭圆相切，
则，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质.属于容易题.
10．【答案】B
【解析】分析：直线过准线与轴的交点，作于M，于N，则由抛物线的定义及已知条件得，得是中点，然后可得，得到点坐标，从而可得点坐标，再由抛物线的定义可得结论．
详解：由题意得，设抛物线的准线方程为，直线恒过定点，
如图过A，B分别作于M，于N，连接OB，由，
则，点B为AP的中点，因为点O是PF的中点，则，
所以所以点B的横坐标为1，所以点B的坐标为，同理可得点，
所以点A到拋物线准线的距离为，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，考查抛物线的定义，解题关键是过过A，B分别作于M，于N，由抛物线的定义到焦点的距离的关系为到准线的距离的关系，利用平面几何的知识得出坐标，从而解决问题．
11．【答案】D
【解析】分析：根据抛物线的方程，可直接得出焦准距.
详解：抛物线的焦点到准线的距离是.
故选：D.
12．【答案】B
【解析】分析：设，根据抛物线焦半径公式，可得，将P点坐标代入方程，可得，联立即可求得答案.
详解：设，由题意得：，解得.
故选：B．
13．【答案】D
【解析】分析：本题可根据抛物线方程求出的值，即可求出准线方程.
详解：因为抛物线的方程为，
所以，，其准线方程为，
故选：D.
14．【答案】B
【解析】分析：利用焦半径公式，直接列式求解．
详解：设，则，解得：．
故选：B.
15．【答案】B
【解析】分析：本题首先可以根据抛物线方程确定焦点，然后根据横坐标为确定点坐标，最后根据两点间距离公式即可得出结果.
详解：因为抛物线方程为，所以焦点，
因为点在抛物线上且其横坐标为，
所以，解得或，点坐标为或，
取，则；
取，则，
故选：B.
16．【答案】D
【解析】分析：根据三角形相似和抛物线定义，可知，从而可得∠PQF＝60°，进而可得为等边三角形，由，根据等边三角形的面积公式即可求解.
详解：设E为准线与x轴的交点，
根据三角形相似和抛物线定义，可知，
可得∠QFE＝60°，所以∠PQF＝60°，
又|PQ|＝|PF|，所以为等边三角形，
又，
所以的面积为．
故选：D
17．【答案】A
【解析】分析：确定的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得出结论．
详解：解：动点到定点的距离与到定直线的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
18．【答案】A
【解析】分析：利用焦半径公式可求距离.
详解：因为抛物线的方程为，故，
又点到其焦点的距离为，
故选：A.
