5.4.3正切函数的性质与图象
一、单选题
1. 函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
2. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为,则的值是( )
A. B. C. 1 D.
4. 函数的奇偶性是( )
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
5. 我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”,而“平行曲线”具有性质:任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等,已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A,B两点,且,则( )
A. B. C. D.
6. 函数在区间内的图象是( )
A. B.
C. D.
7. 函数( )
A. 是奇函数 B. 既是奇函数又是偶函数
C. 是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
8. 函数与的图像在上的交点有( )
A. 9个 B. 13个 C. 17个 D. 21个
二、多选题
9. 下列关于函数的说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称
10. 函数,则关于的性质表述正确的是( )
A. 的定义域为
B. 是周期函数,最小正周期为
C. 具有奇偶性,且为奇函数
D. 具有轴对称性,且对称轴是,
11. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 的周期是
B. 的值域是,且
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 的单调递减区间是
12. 出生在美索不达米亚的天文学家阿尔巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式:,即等价于现在的,我们称为余切函数,则下列关于余切函数的说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数关于对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象与函数的图象关于直线对称
三、填空题
13. 函数的值域是__________.
14. 若函数,求…__________.
15. 关于函数,有以下命题:
①函数的定义域是;
②函数是奇函数;
③函数的图象关于点对称;
④函数的一个单调递增区间为;
其中,正确命题的序号是__________.
16. 函数图象与直线的交点横坐标为,,则的最小值是__________.
四、解答题
17. 已知,求函数的值域.
18. 求函数的定义域、周期、并判断它的单调性.
19. 是否存在实数a,且,使得函数在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
已知函数
求最小正周期、定义域;
若,求x的取值范围.
已知为锐角,在以下三个条件中任选一个:①;②;③;并解答以下问题:
若选____填序号,求的值;
在的条件下,求函数的定义域、周期和单调区间.
22. 已知函数
判断函数的奇偶性,并证明;
若,不等式恒成立,试求实数a 的取值范围.其中e 为自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】A
解:由,得,,
当时,,
所以函数的图象的一个对称中心是,
故选
2.【答案】B
解:由,
解得,
故函数的单调增区间为
故选
3.【答案】D
解:的图象的相邻两支截直线所得线段长为,
函数的周期,即,则,则,
则
故选
4.【答案】A
解:的定义域为,又,
所以为奇函数.
故选
5.【答案】A
解:由题意知,,
所以,解得;
所以,
所以
故选:
6.【答案】D
解:因为当时,,,
则,且此时,
当时,,
当时,,,
则,且此时,
综上,函数
,
由此画出函数图象如选项D图示,
故选:
7.【答案】A
解: ,
其定义域为 ,,关于原点对称,
令,
又 ,
为奇函数,
故选
8.【答案】A
解:在同一坐标系内画与在
上的图象,
由图,结合周期性知函数和的图象在上共有9个交点,
故选
9.【答案】AB
解:令,解得,Z,
显然满足上述关系式,故A正确;
易知该函数的最小正周期为,故B正确;
令,解得,Z,任取k值不能得到,故C错误;
正切函数曲线没有对称轴,因此函数的图象也没有对称轴,故D错误.
故选
10.【答案】ABD
解:由有意义,得的定义域为,故A正确;
B.因为
,
所以是周期函数,易得最小正周期为,故B正确;
C.因为,
所以不具有奇偶性,故C错误;
D.由正弦函数和正切函数的对称性可知具有轴对称性,
且对称轴是,,故D正确.
故选
11.【答案】AD
解:对于A、因为函数的周期为,因此A正确;
对于B、因为函数的值域为R,
所以函数的值域是因此B不正确;
对于C、由,得,
因此函数的对称轴方程为,
而关于k的方程无解,
所以直线不是函数对称轴,因此C不正确;
对于D、由,
得,
因此函数的单调递减区间是所以D正确.
故选
12.【答案】BC
解:余切函数,其图象如下图所示,
对于A,函数的最小正周期为,不是,即A错误;
对于B,关于对称,即B正确;
对于C,在上单调递减,即C正确;
对于D,因为,
所以与的图象并不关于对称,即D错误.
故选
13.【答案】
解:时,,且函数,在上是单调增函数,
,
的值域为
故答案为
14.【答案】0
解:正切函数的周期,
则,,
则,
则…,
故答案为:0
15.【答案】③
解:因为,,
所以的定义域为,故①错误;
因为的定义域不关于原点对称,显然不是奇函数,故 ②错误;
因为时,无意义,所以函数的图象关于点对称,故③正确;
因为,
令,
则可知的单调递减区间为,故④错误,
综上,正确命题的序号是③.
故答案为③.
16.【答案】
解:函数,
周期,
函数图象与直线的交点横坐标为,,
则,
则的最小值是
故答案为
17.【答案】解:令,
因为,
所以,
所以函数化为,,
对称轴为,
所以当时,,
当时,,
所以的值域为
18.【答案】解:函数的自变量x应满足,,
即,
所以函数的定义域是
由于,
因此,函数的周期为
由,,解得,
因此,函数的单调递增区间是,
19.【答案】解:,
在区间上为增函数,
又由,得:,
,
,
解得
由得,
此时,,
故存在,满足题意.
20.【答案】解:对于函数,它的最小正周期为,
由,求得,可得它的定义域为
,即,故,
求得,故x的取值范围为 ,
21.【答案】解:若选:①;
则,
为锐角,
若选②;
则,
得,得,
得或,
为锐角,,
若选③;
则,
即,
为锐角,,
综上
在的条件下,
则,
由,
得,
即函数的定义域为
周期
由,,
得,
即函数的单调递增区间为,
无单调递减区间.
22.【答案】解:,
所以,
即,
所以函数定义域为,
定义域关于原点对称,且,
故函数为奇函数;
令,
不等式恒成立化为不等式恒成立,
转化为在上恒成立,
即,
令,则,
因为当且仅当时取等号,的最大值为,
所以
故实数a的取值范围
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