5.4.3正切函数的性质与图象 同步练习（含解析）

5.4.3正切函数的性质与图象
一、单选题
1. 函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
2. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是( )
A. B. C. 1 D.
4. 函数的奇偶性是( )
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
5. 我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A，B两点，且，则( )
A. B. C. D.
6. 函数在区间内的图象是( )
A. B.
C. D.
7. 函数( )
A. 是奇函数 B. 既是奇函数又是偶函数
C. 是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
8. 函数与的图像在上的交点有( )
A. 9个 B. 13个 C. 17个 D. 21个
二、多选题
9. 下列关于函数的说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称
10. 函数，则关于的性质表述正确的是( )
A. 的定义域为
B. 是周期函数，最小正周期为
C. 具有奇偶性，且为奇函数
D. 具有轴对称性，且对称轴是，
11. 已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的周期是
B. 的值域是，且
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 的单调递减区间是
12. 出生在美索不达米亚的天文学家阿尔巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数关于对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象与函数的图象关于直线对称
三、填空题
13. 函数的值域是__________.
14. 若函数，求…__________.
15. 关于函数，有以下命题：
①函数的定义域是；
②函数是奇函数；
③函数的图象关于点对称；
④函数的一个单调递增区间为；
其中，正确命题的序号是__________.
16. 函数图象与直线的交点横坐标为，，则的最小值是__________.
四、解答题
17. 已知，求函数的值域.
18. 求函数的定义域、周期、并判断它的单调性.
19. 是否存在实数a，且，使得函数在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由.
已知函数
求最小正周期、定义域；
若，求x的取值范围．
已知为锐角，在以下三个条件中任选一个：①；②；③；并解答以下问题：
若选____填序号，求的值；
在的条件下，求函数的定义域、周期和单调区间.
22. 已知函数
判断函数的奇偶性，并证明；
若，不等式恒成立，试求实数a 的取值范围．其中e 为自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】A
解：由，得，，
当时，，
所以函数的图象的一个对称中心是，
故选
2.【答案】B
解：由，
解得，
故函数的单调增区间为
故选

3.【答案】D
解：的图象的相邻两支截直线所得线段长为，
函数的周期，即，则，则，
则
故选

4.【答案】A
解：的定义域为，又，
所以为奇函数．
故选

5.【答案】A
解：由题意知，，
所以，解得；
所以，
所以
故选：

6.【答案】D
解：因为当时，，，
则，且此时，
当时，，
当时，，，
则，且此时，
综上，函数
，
由此画出函数图象如选项D图示，
故选：

7.【答案】A
解： ，
其定义域为 ，，关于原点对称，
令，
又 ，
为奇函数，
故选

8.【答案】A
解：在同一坐标系内画与在
上的图象，
由图，结合周期性知函数和的图象在上共有9个交点，
故选

9.【答案】AB
解：令，解得，Z，
显然满足上述关系式，故A正确；
易知该函数的最小正周期为，故B正确；
令，解得，Z，任取k值不能得到，故C错误；
正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故D错误．
故选

10.【答案】ABD
解：由有意义，得的定义域为，故A正确；
B.因为
，
所以是周期函数，易得最小正周期为，故B正确；
C.因为，
所以不具有奇偶性，故C错误；
D.由正弦函数和正切函数的对称性可知具有轴对称性，
且对称轴是，，故D正确.
故选

11.【答案】AD
解：对于A、因为函数的周期为，因此A正确；
对于B、因为函数的值域为R，
所以函数的值域是因此B不正确；
对于C、由，得，
因此函数的对称轴方程为，
而关于k的方程无解，
所以直线不是函数对称轴，因此C不正确；
对于D、由，
得，
因此函数的单调递减区间是所以D正确.
故选

12.【答案】BC
解：余切函数，其图象如下图所示，
对于A，函数的最小正周期为，不是，即A错误；
对于B，关于对称，即B正确；
对于C，在上单调递减，即C正确；
对于D，因为，
所以与的图象并不关于对称，即D错误．
故选

13.【答案】
解：时，，且函数，在上是单调增函数，
，
的值域为
故答案为

14.【答案】0
解：正切函数的周期，
则，，
则，
则…，
故答案为：0

15.【答案】③
解：因为，，
所以的定义域为，故①错误；
因为的定义域不关于原点对称，显然不是奇函数，故 ②错误；
因为时，无意义，所以函数的图象关于点对称，故③正确；
因为，
令，
则可知的单调递减区间为，故④错误，
综上，正确命题的序号是③．
故答案为③．

16.【答案】
解：函数，
周期，
函数图象与直线的交点横坐标为，，
则，
则的最小值是
故答案为

17.【答案】解：令，
因为，
所以，
所以函数化为，，
对称轴为，
所以当时，，
当时，，
所以的值域为
18.【答案】解：函数的自变量x应满足，，
即，
所以函数的定义域是
由于，
因此，函数的周期为
由，，解得，
因此，函数的单调递增区间是，
19.【答案】解：，
在区间上为增函数，
又由，得：，
，
，
解得
由得，
此时，，
故存在，满足题意.

20.【答案】解：对于函数，它的最小正周期为，
由，求得，可得它的定义域为
，即，故，
求得，故x的取值范围为 ，
21.【答案】解：若选：①；
则，
为锐角，
若选②；
则，
得，得，
得或，
为锐角，，
若选③；
则，
即，
为锐角，，
综上
在的条件下，
则，
由，
得，
即函数的定义域为
周期
由，，
得，
即函数的单调递增区间为，
无单调递减区间．
22.【答案】解：，
所以，
即，
所以函数定义域为，
定义域关于原点对称，且，
故函数为奇函数;
令，
不等式恒成立化为不等式恒成立，
转化为在上恒成立，
即，
令，则，
因为当且仅当时取等号，的最大值为，
所以
故实数a的取值范围
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