1.1.1空间向量及其线性运算 同步练习（含解析）

1.1.1空间向量及其线性运算
一、单选题
1. 在平行六面体中，向量，，是( )
A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量 C. 共面向量 D. 不共面向量
2. 如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
3. 在长方体中，( )
A. B. C. D.
4. 如图，在正方体中，点M，N分别是面对角线与的中点，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题
5. 在平行六面体中，与向量相等的向量有( )
A. B. C. D.
6. 如图，在四棱锥中，，，点分别为的中点，若，，则下述正确的是( )
A. B. 直线DE与BC异面
C. D. 三点共线
三、填空题
7. 已知空间向量，，，化简__________.
8. 在平行六面体中，，，，则__________，__________.
9. 已知空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则__________.
10. 已知平行六面体，则下列四式中正确的有__________.
；②；
③；④
11. 在正方体中，给出以下向量表达式：
①；②；③；④
其中能够化简为向量的是__________填序号
12. 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则实数__________.
13. 三棱柱中，M、N分别是、上的点，且，设，，试用表示向量__________.
四、解答题
14. 在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与是否共线.
15. 如图，在长方体中，，，，则以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中：
单位向量有多少个？
模为3的向量有多少个？
写出与向量相等的向量．
写出向量的相反向量．
16. 如图所示，在正方体中，点E在上，且，点F在对角线上，且设，，，
，求x，y，z的值．
求证：E，F，B三点共线．
答案和解析
1.【答案】C
解：因为，
所以，，共面.
故选

2.【答案】D
解：对于A，与的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误;
对于B，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误;
对于C，与的方向成，不是相同方向，因而不是相等向量，所以C错误;
对于D，与的方向相同，大小相等，属于相等向量，因而D正确.
综上可知，D为正确选项
故选：D

3.【答案】D
解：如图所示，
长方体中，
故答案选：

4.【答案】D
解：在正方体中，
点M，N分别是面对角线与的中点，，，，
故选

5.【答案】BC
解：如图，在平行六面体中，与向量相等的向量有，，，
故选：

6.【答案】BCD
解：对于选项因为点M为BE的中点，所以，故选项A错误；
对于选项B：因为DE在平面ACDE中，点C也在平面ACDE中，
而点B不在平面ACDE中，所以直线DE与BC异面，故选项B正确；
对于选项因为点分别为的中点，所以，
又因为，所以，故选项C正确；
对于选项因为，所以点P既在平面ABC内又在平面BDE内，
所以点P在平面ABC与平面BDE的交线上，
同理点Q也在平面ABC与平面BDE的交线上，
又因为点B也在平面ABC与平面BDE的交线上，
所以点三点共线，故选项D正确.
故选

7.【答案】
解：根据空间向量的数乘运算法则可知，
原式
故答案为

8.【答案】
解：，
故答案为：；

【答案】
解：
故答案为

10.【答案】①②③
解：，①正确;
，②正确;
对于③，显然正确;
，④错.
综上可知，正确的有①②③
故答案为①②③.

11.【答案】①②
解：①中；
②中；
③中；
④中，
所以①②正确．
故答案为①②.

12.【答案】
解：因为，，
所以 ，
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数，使得，即，
所以，解得，
故答案为

13.【答案】
解：由题意得
，
又，，，
故答案为

14.【答案】解：取 AC的中点 G，连接 EG、 FG，
、F分别为AB、CD的中点.
又、F、G三点共面，
，即与共线.
15.【答案】解：由于长方体的高为1，
长方体4条高所对应的向量、、、、、、、共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个；
由于这个长方体的长为3，由的解法可得，模为3的向量共8个；
与向量相等的所有向量除它自身之外共有、及，共3个；
向量的相反向量为、、、，共4个．
16.【答案】解：因为，
所以，
所以
，
，
则，，
证明：，所以，所以，
由知，，
所以
，
又
，
所以，
又因为与有公共点E，
所以E，F，B三点共线．

第11页，共13页