1.1.2空间向量的数量积运算 同步练习（含解析）

1.1.2空间向量的数量积运算
一、单选题
1. 三棱锥中，，，，则等于( )
A. B. 2 C. D.
2. 下列式子对于空间向量也正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为
A. B. C. D.
5. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6. 已知空间向量、满足，，，则在上的投影向量( )
A. B. C. D.
7. 在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则( )
A. 0 B. C. 2 D.
8. 已知正四面体ABCD中，，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9. 已知空间向量，满足，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
10. 已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
11. 设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
12. 正方体的棱长为1，若动点P在线段上运动，则的取值范围是__________.
13. 如图，平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则等于__________
14. 如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则__________，与所成的角为__________.
四、解答题
15. 如图，正方体的棱长为1，设，，，求：
；
；
16. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：
；
；
；
；
；
答案和解析
1.【答案】A
解：，
故选：

2.【答案】D
解：由题意，可知：，故D正确，
可知：A、B、C都不正确；
故选

3.【答案】B
解：，，
，
设，则，
所以，
所以，
于是得到与所成角的大小为
故选

4.【答案】A
解：；
；
即
；
，
故选

5.【答案】C
解：设与的夹角为由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：

6.【答案】C
解：由，
且，
可知
则在上的投影向量为，
故选

7.【答案】B
解：如图所示，
棱长为2的正四面体ABCD中，
因为分别是的中点，易得，
所以
，
故选

8.【答案】B
解：设正四面体的棱长为4，DA，DB，DC两两夹角为，
因为正四面体ABCD中，，
所以，等式平方求出，
同理求出，
则，
，
设与的夹角为，
则，
即与所成角的余弦值为，
故选

9.【答案】B
解：因为向量，满足，，且，
所以，可得，
所以，在上的投影向量为，
故选：

10.【答案】D
解：选项A，当四边形为正方形时，可得，
而，可得，此时有；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得，
又，，可得平面，
故有，此时有；
选项C，由长方体的性质可得平面，
可得，此时必有；
选项D，由长方体的性质可得平面，
可得，为直角三角形，为直角，
故BC与不可能垂直，即
故选：

11.【答案】AD
解：设向量，的夹角为，
对于A，，正确；
对于B，，显然不成立，故错误；
对于C，，故错误；
对于D，，正确，
故选

12.【答案】
解：依题意，设，其中，
，
因此的取值范围是
故答案为

13.【答案】5
解：如图：
平行六面体中，
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
，
，
故答案为

14.【答案】

解：，
，
故，
故
又因为，
故
，
因为〈，〉，
所以〈，〉
故答案：；

15.【答案】解：

16.【答案】解：
；
；
；
；
；

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