1.2空间向量基本定理 同步练习（含解析）

1.2空间向量基本定理
一、单选题
1. 在四面体中，点P为棱BC的中点.设，，，那么向量用基底可表示为( )
A. B. C. D.
2. 在正方体中，若点M是侧面的中心，且，则x，y，z的值分别为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则CD的长为( )
A. B. 7 C. D. 9
5. 空间四边形OABC中，，，则，的值为( )
A. B. C. D. 0
6. 如图，已知三棱锥，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且，若记，，，则( )
A. B.
C. D.
7. 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 以下命题中不正确的个数为( )①“”是“，共线”的充要条件；
②若，则存在唯一的实数，使得；
③若，，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；
⑤
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点( )
A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面 D. 一定不共面
二、多选题
10. 如图，在平行六面体中，P是的中点，M是的中点，N是的中点，点Q在上，且，设，，，则下列选项正确的为( )
A. B.
C. D.
11. 设，，是空间一个基底，则( )
A. 若，，则
B. 则，，两两共面，但，，不可能共面
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. 则，，一定能构成空间的一个基底
12. 已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是( )
A. 向量的模是3
B. 可以构成空间的一个基底
C. 向量和夹角的余弦值为
D. 向量与共线
三、填空题
13. 在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则__________用，，表示
14. 已知为空间的一个基底，若，，，，且，则，，分别为__________.
15. 如图所示，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱的长为2，若，则__________；则的长为__________
16. 已知空间四边形ABCD中，，若，且，则__________.
17. 在平行六面体中，若，则__________.
四、解答题
18. 如图所示，在平行六面体中，E，F分别在和上，且，
证明：A、E、、F四点共面.
若，求
如图所示，三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，设，，
试用，，表示向量；
若，，，求MN的长．
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，M是PC的中点，
设
试用表示出向量；
求BM的长．
答案和解析
1.【答案】B
解：为BC的中点，
，，

故选

2.【答案】D
解：由于
，
所以，，，
故选

3.【答案】A
解：由题意，
故选

4.【答案】C
解：，
，
，，
，
故选

5.【答案】D
解：
，，，
，，，，
，，，
故选

6.【答案】C
解：如图所示，连接ON，
，，
，，，
故选

7.【答案】A
解：如图，
设，，，棱长均为1，
则，，，
，，
，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选

8.【答案】C
解：对①，向量同向时，，不满足必要性，①错误；
对②，当为零向量，不是零向量时，不存在使等式成立，②错误；
对③，和垂直的向量有无数个，其中任意两个不一定相等，故③错误；
对④，用反证法，若不构成空间的一个基底，
设，
则，即共面，
与为空间的一个基底矛盾，④正确；
对⑤，，⑤错误．
故选

9.【答案】C
解：显然、不共线，否则，存在，使，
则，
，是不共线的非零向量，
与矛盾，
故、不共线．
设，
则
，
解得
，
、B、C、D四点共面．
故选

10.【答案】ABC
解：
，A正确；
，B正确；
，C正确；
，D不正确；
故选

11.【答案】BCD
解：由，，是空间一个基底，知：
在A中，若，，则与不平行，但夹角不一定为，故A错误；
在B中，，，两两共面，因为三个向量是基底，必须是不共面的向量，
所以，，不可能共面，故B正确；
在C中，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确；
在D中，假设共面，设，
化简得：，即：，所以共面与已知矛盾.
，，一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：

12.【答案】BC
解：对于选项A，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，
所以，且，
则
，
所以向量的模是，
故选项A错误；
对于选项B，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直，
所以不共面，而向量均与共面，
所以与不共面，
则可以构成空间的一个基底，
故选项B正确；
对于选项C，设与的夹角为，
则
，
所以向量和夹角的余弦值为，
故选项C正确；
对于选项D，因为，
同理可得，
则，
所以向量与的夹角为，
则向量与不共线，
故选项D错误．
故选：

13.【答案】
解：在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，
，
故答案为

14.【答案】，，
解：由题意，， ， 为三个不共面的向量，
所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对，使
又，
故答案为，，

15.【答案】3
解：由图可得，
所以，则；
，
所以，
故答案为3；

16.【答案】
解：如图所示，
，
故答案为：

17.【答案】
【解答】
解：由平行六面体如下图，
可得，
又，
所以
解得，
所以
故答案为

18.【答案】证明：平行六面体中，，，
，，，，且平面平面，
，
≌，
，
同理，
故为平行四边形，
、E、、F四点共面.
解：由题，
，
即，，，

19.【答案】解：，，
，，
；
，
，
20.【答案】解：是PC的中点，
由于，，，，
由于，，，，
由于，
，
的长为
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