1.4.1利用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练习（含解析）

1.4.1利用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）
一、单选题
1. 已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为( )
A. B. C. D.
2. 已知向量和都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A. B. 1或 C. D. 1
3. 平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
4. 已知直线l过点，且平行于向量；平面过直线l和点，则平面的法向量不可能是( )
A. B.
C. D.
5. 在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，则直线OA的一个方向向量为.( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在正方体中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，E，F分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
7. 如图，在正方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为的中点，F为的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是( )
A. B. C. D.
8. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，下列结论正确的有( )
A. B.
C. 是平面ABCD的一个法向量 D.
9. 在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 为平面PAD的法向量
B. 为平面PAC的法向量
C. 为直线AB的方向向量
D. 直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量
三、填空题
10. 在平面ABC中，，，，若，且a为平面ABC的法向量，则__________，__________.
11. 已知正四面体ABCD的棱长为，E为的中心，O为AE上一点且满足OB、OC、OD两两垂直.过点O作平面，其中B、C、D位于平面的同一侧，是平面的单位法向量且指向另外一侧，B、C两点到平面的距离分别为1和以O为坐标原点，OB、OC、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则的坐标为__________.
12. 如图，在正三棱锥中，点O是的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是__________，平面SAD的一个法向量可以是__________.
四、解答题
13. 如图，，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yoz上，且，。求：
直线CD的一个方向向量；
平面ADC的一个法向量。
14. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形且，E，F分别是PC，PB的中点．
试以F为起点作直线DE的一个方向向量；
试以F为起点作平面PBC的一个法向量．
15. 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，，，平面ABCD，，，试建立适当的坐标系.
求平面ABCD的一个法向量；
求平面SAB的一个法向量；
求平面SCD的一个法向量.
16. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点.若，，，设平面ABC的法向量
用表示；
求及的长度；
答案和解析
1.【答案】A
解：由题知，，
则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，
只有A不符合，
故选

2.【答案】A
解：向量和都是直线l的方向向量，
则，
即，解得，
故选

3.【答案】D
解：平面经过三点，，，
，，
设平面的法向量，
则，
取，得，
平面的法向量可以是
故选：

4.【答案】A
解：由题意可知，平面的法向量垂直于向量 和向量，
而，
选项A，，但，故错误；
选项B，，满足垂直，故正确；
选项C，，满足垂直，故正确；
选项D，，满足垂直，故正确；
故选

5.【答案】A
解：是平行六面体，
且，
四边形是平行四边形，
是线段的中点，
四边形是平行四边形，
，
即直线OA的一个方向向量为
故选

6.【答案】A
解：设正方体的棱长为1，平面AEF的法向量为
则，，，
所以，，
则，
不妨取，则，，故
故选：

7.【答案】ACD
解：设正方体的棱长为2，则，，
，
设向量是平面AEF的法向量，
则
取，得，
则是平面AEF的一个法向量，
结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量，
故选：

8.【答案】ABC
解：因为，
所以，故A正确，
同理，可得，故B正确，
由选项A，B可知，是平面ABCD的一个法向量，故C正确，
因为，所以，故D错误.
故答案为

9.【答案】BCD
解：由题意，以A坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
令正方形的边长为1，，，，，，，
因为，平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD，
所以不是平面PAD的法向量，故A错误；
因为，
所以，
所以，，，AC，平面PAC，
所以平面PAC，
所以是平面PAC的一个法向量，故B正确；
因为，所以为直线AB的方向向量，故C正确；
因为，
所以，
所以，，
AB，平面PAB，，
所以平面PAB，
所以直线BC的方向向量是平面PAB的一个法向量，故D正确．
故选

10.【答案】1
0
解：，，
为平面ABC的法向量，
则，即，
即，解得
故答案为：1；0

11.【答案】
解：、OC、OD两两垂直，棱长为，
，
而B、C两点到平面的距离分别为1和，
所以点在平面上，
设，
则，即，
解得或，
由题意知指向z轴负方向，
则
故答案为：

12.【答案】

解：由题意，因为三棱锥为正三棱锥，且点O是的外心，
所以点O为的中心，
所以平面ABC，
所以平面ABC的一个法向量可以是；
因为点D是棱BC的中点，
所以，，
又，AD，平面SAD，
所以平面SAD，
故平面SAD的一个法向量可以是
故答案为；

13.【答案】解：
所以，即，
直线CD的一个方向向量为；
设平面ADC的一个法向量为，
，，
则，解得，
不妨取，则，
平面ADC的一个法向量为
14.【答案】解：取AD的中点M，连接MF，
，F分别是PC，PB的中点，
且
又且，
且
则由且知四边形DEFM是平行四边形．
就是直线DE的一个方向向量．
平面ABCD，
又，，
平面
平面PCD，
又，E为PC中点，
，又，从而平面
是平面PBC的一个法向量．
由可知，
就是平面PBC的一个法向量．

15.【答案】解：以点 A为原点， AD、 AB、 AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
平面ABCD，
是平面ABCD的一个法向量.
，，，AB，平面SAB，
平面SAB，
是平面SAB的一个法向量.
在平面SCD中，，
设平面SCD的法向量是，
则，，
得方程组
令，则，，
所以是平面SCD的一个法向量.
16.【答案】解：连接，AC，，如图：
，，，
在，根据向量减法法则可得：
底面ABCD是平行四边形，
且，

又为与的交点，
为线段中点，

在中，
顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
，，，
由是平面ABC的法向量，得，
即，解得
，
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