专题81 带电粒子在交变电场、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路
第二部分 最新高考题精选
1. （2022高考河北）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。
【参考答案】（1）；（2）；（3），
【命题意图】本题考查带电粒子在交变电场和磁场中的运动、动量定理及其相关知识点。
【名师解析】
（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图
所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；
（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向
解得时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向
解得粒子在时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离
粒子运动的轨迹如图
在时间内，静电力对粒子的做功大小为
电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上
在时间内粒子在水平方向运动的距离为
在时间内，在竖直方向
在时间内，粒子在水平方向运动的距离为
接收器位置为，根据距离的关系可知
解得
此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则
竖直方向需要满足
解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；
若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上
之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即
解得
接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中
粒子要在点被吸收，需要满足
代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。
2.（2012·海南物理）图（a）所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面(纸面)垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图（b）所示。当B为+B0时，磁感应强度方向指向纸外。在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于。不计重力。设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正方向自O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A。
（1）若t0=0，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（2）若t0=T/4，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（3）为了使直线OA与x轴的夹角为π/4，在0< t0< T/4的范围内，t0应取何值？是多少？
【名师解析】：
(1)设粒子P的质量为m，电荷量为q，速度为v，粒子P在洛伦兹力作用下，在xy平面内做圆周运动，用R表示圆周的半径，T’表示运动周期，则有
qvB0=mR.，①
v=。②
由①②式与已知条件得：T’=T。③
粒子P在t=0到t=T/2时间内，沿顺时针方向运动半个圆周，到达x轴上B点，此时磁场方向反转；继而，在t=T/2到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达x轴上A点，如图（a）所示。
OA与x轴夹角θ=0.。④
（2）粒子P在t0=T/4时刻开始运动，在t=T/4到t=T/2时间内，沿顺时针方向运动1/4个圆周，到达C点，此时磁场方向反转；继而，在t=T/2到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=5T/4时间内，沿顺时针方向运动1/4个圆周，到达A点，如图（b）所示。
由几何关系可知，A点在y轴上，即OA与x轴夹角θ=π/2。⑤
（3）若在任意时刻t=t0（0< t0< T/4）粒子P开始运动，在t=t0到t=T/2时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达C点，圆心O’位于x轴上，圆弧OC对应的圆心角为∠OO’C=( T/2- t0), ⑥
此时磁场方向反转；继而，在t=T/2到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=T+ t0时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达A点，设圆心为O’’，圆弧BA对应的圆心角为∠BO’’A=t0,
如图（c）所示。由几何关系可知，C、B均在O’O’’连线上，且OA// O’O’’，
若要OA与x成π/4角，则有∠OO’C=3π/4。
联立解得t0=T/8。
【考点定位】此题考查带电粒子在磁场中的圆周运动。
2.（2009山东理综第25题）如图2甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里.位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子.在0~3t0时间内两板间加上如图1乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）.已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场.上述m、q、l、t0、B为已知量.（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况）
求电压U0的大小.
求t0/2时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径.
何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间.
【名师解析】：（1）时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为l/2，则有
E=U0/l， ①
qE=ma， ②
l/2= at02/2， ③
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为. ④.
（2）t0/2时刻进入两极板的带电粒子，前t0/2时间在电场中偏转，后t0/2时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动.带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v0= l/t0， ⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为vy=at0/2， ⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为， ⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有
， ⑧
联立③⑤⑥⑦⑧式解得. ⑨
（3）2t0时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短.带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为vy’=at0 ⑩，
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为，则tan= v0/ vy’，
联立③⑤⑩式解得=π/4，
带电粒子在磁场运动的轨迹图如图2J所示，圆弧所对的圆心角为2=π/2，所求最短时间为tmin=T/4,带电粒子在磁场中运动的周期为T=2πm/qB，
联立以上两式解得tmin=πm/2qB.
最新模拟题精选
1、某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正．为了使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其它力不计)( )
A．若粒子的初始位置在a处，在t＝时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B．若粒子的初始位置在f处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C．若粒子的初始位置在e处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D．若粒子的初始位置在b处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
【参考答案】AD
【名师解析】要使粒子的运动轨迹如题图乙所示，粒子做圆周运动的周期应为T0＝＝，若粒子的初始位置在a处时，结合左手定则可知，对应时刻应为t＝T0＝T，同理可判断B、C、D选项，选项A、D正确．
2. （2022山东青岛二模）如图甲，三维坐标系中平面的左侧虚线区域内存在一未知电场，平面的右侧存在平行轴方向周期性变化的磁场和沿轴正方向竖直向上的匀强电场，电场强度。一质量、电荷量的带正电液滴，从平面内的点沿轴方向以的初速度进入未知电场区域，经过到达原点第1次经过轴，此时速度大小，方向在平面内与轴正向成角斜向下。把液滴到达原点的时刻记为，此时磁场沿轴负方向，磁场随时间变化的关系如图乙所示，其中、，重力加速度。
（1）求液滴从点到原点的过程中，受到的电场力的冲量大小；
（2）求液滴从第1次到第4次经过轴的时间间隔；
（3）在时刻撤去电场和磁场，同时在整个空间区域加上竖直向上的匀强磁场，磁感应强度，求液滴继续运动过程中达到最大高度时的位置坐标。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）液滴从点到原点的过程中，根据动量定理
水平方向：
竖直方向：
，
解得：
电场的冲量大小为
（2）液滴进入平面的右侧后
相当于只受磁场力，根据向心力公式：
其中，解得：
且
同理
其中，解得
且
则
（3）在时，液滴的速度在平面内，与轴夹角。后螺旋上升，
上升时间为：
高度
圆周运动的半径
半径为
周期为
所以上升过程相当于
，
因此液滴在最高点的坐标为
15. (2022辽宁沈阳二模)如图甲所示，真空中两块金属板AB、CD水平、正对放置，其长度为L，间距为d，且L=d=0.2m。过金属板B、D端的竖直边界线的右侧有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度，方向垂直纸面向里。现将CD板接地，AB板的电势随时间t变化的规律如图乙所示，周期T=0.2s。带正电的粒子流以速度沿两板间的水平中线连续射入电场，粒子的比荷为。不计粒子重力及相互作用，电场只存在于两板间，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场可视为匀强电场。求：
（1）第一个周期内，哪段时间射入电场的粒子能从电场射出；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间（保留两位有效数字）；
（3）何时射入电场的粒子，从B点正上方0.15m的E点飞出。
【参考答案】（1）0.05s~0.15s；（2）；（3） （n=0，1，2……）
【名师解析】
（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，刚好从两极板的右边缘B点或D点飞出时有竖直方向，则有
水平方向有
解得
当时进入电场中的粒子将从D点旁射出，当时进入电场中的粒子将从B点旁射出，所以，时进入电场中的粒子都将从电场射出。
由图乙可得
即时间段射入电场的粒子能射出电场
（2）当带电粒子从下极板的右边缘D点旁飞入磁场时，在磁场中的时间最长
设该粒子在电场中的速度偏转角为
所以速度方向与水平夹角为45°
由几何知识得，该粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为
联立解得
（3）设粒子从某处进入磁场时速度为v，与水平方向夹角为，则有
它在磁场中的出射点与入射点间距为
又
联立解得
因为l是定值，所以到达E点的粒子应从点上方y=0.05m的位置射入磁场。
又因为
则可得的y与U成正比，粒子通过电场时对应的电压有
解得
根据图像，粒子应在时射入电场，可得
根据图像
（n=0，1，2……）
（2022辽宁葫芦岛质检）
15. （18分）如图甲所示，以两虚线M、N为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的电场，M、N间电压UMN的变化图像如图乙所示，电压的最大值为U0、周期为T0；M、N两侧为相同的匀强磁场区域I、II，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度均为B。t=0时，将一带正电的粒子从边界线M上的A处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T0。两虚线M、N间宽度很小，粒子在其间的运动时间忽略不计，也不考虑粒子所受的重力。
（1）求该粒子的比荷；
（2）求粒子第1次和第3次到达磁场区域I的左边界线N的两位置间的距离Δd；
（3）若粒子质量增加为原来的倍，电荷量不变，t=0时，将其在A处由静止释放，求t=2T0时粒子的速度。
【名师解析】（18分）
（1）设粒子第一次加速后的速度为，粒子进入磁场后，据题意有，
洛伦兹力充当向心力 ………………（1分）
周期 ………………（1分）
联立解得 ………………（2分）
（2）由于不计粒子穿越MN间的时间，则可认为0时刻出发的粒子穿越MN的过程中电压始终为U0，如图所示
第一次加速后 ………………（1分）
解得 ………………（1分）
在I磁场区域中第一次做圆周运动，故有 …………（1分）
解得 ………………（1分）
同理，之后在II磁场中圆周运动的半径为 ………………（1分）
粒子第1次和第3次到达磁场区域I的左边界限N的两位置间的距离为
………………（1分）
解得 ………………（2分）
（3）粒子的质量增加为，则 ………………（1分）
每半个周期为 ………………（1分）
从0开始到为止的时间内，根据加速电压图像可知粒子进入电场的时刻分别为0，，，，且加速电压UMN分别为、、0、，前两次为加速，最后一次为减速，
由动能定理得 ………………（2分）
解得 ………………（2分）
7．(2020·日照模拟)如图甲所示，在水平方向足够长的虚线区域Ⅰ(上下边界水平)内有交替变化的电磁场，电磁场按照如图乙所示的规律变化，电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B1＝，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)在t＝0时刻以初速度v0从上边界A点竖直向下进入区域Ⅰ，t＝(π＋3)时刻从下边界C点离开区域Ⅰ并进入半径为R的圆形区域Ⅱ，R＝，区域Ⅱ与区域Ⅰ在C点相切，区域Ⅱ中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝。求：
(1)t1＝时刻粒子的速度大小v1；
(2)区域Ⅰ在竖直方向的宽度d；
(3)粒子在区域Ⅱ中运动的时间。
【名师解析】：(1)0～t1时间内，粒子在电场中做匀加速直线运动a＝
由匀加速直线运动公式知v1＝v0＋at1
可得v1＝2v0。
(2)0～t1时间内，粒子在电场中运动的位移
d1＝·t1＝
t1时刻，粒子开始在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r1
由向心力公式qv1B1＝m
可得r1＝
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T1
T1＝＝
粒子在磁场中运动的时间t2＝＝T1
对应圆心角为θ＝60°
在磁场中沿竖直方向运动的距离大小为d2＝r1sin θ＝
然后粒子以速度v1第二次进入电场，在电场中运动时间t3＝
由运动的合成与分解可知，粒子竖直向下的速度大小为vy1＝v1cos θ＝v0
水平方向的速度大小为vx＝v1sin θ＝v0
粒子竖直方向做匀加速直线运动，经过t3时间，竖直向下的速度大小为vy2＝vy1＋at3＝3v0
竖直位移大小d3＝·t3＝
可得，区域Ⅰ在竖直方向的宽度
d＝d1＋d2＋d3＝。
(3)粒子从C点离开区域Ⅰ时的速度
v2＝＝2v0
易知速度与水平方向的夹角为60°
设粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的半径为r2，圆心为O′，做圆周运动的周期为T2，粒子从D点射出磁场，由向心力公式qv2B2＝m
可得r2＝＝R，T2＝＝
易知OCO′D为菱形，圆心角为α＝60°
粒子在区域Ⅱ中运动的时间t4＝T2＝。
答案：(1)2v0 (2) (3)
24．（2021高考评估验收模拟13）(12分)如图1所示，M、N为平行极板，极板M和挡板AB间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，M板与AB板间的夹角为60°，N板附近有一粒子源，可以不断地释放初速度为零，电量为q，质量为m的带负电的粒子，在MN板上加如图2所示的电压后，粒子可以在电场力的作用下加速，从M板的中点处小孔O进入磁场，电压的最大值为U0，周期为T，粒子在电场中运动的时间远小于T，以最大速度进入磁场的粒子，经磁场偏转后刚好能垂直打在挡板AB上，求：
(1)M板的长度；
(2)要使粒子能打到挡板AB上，两板间所加电压至少应为多大？
(3)若将原来的磁场撤去，在AB挡板上方加一垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感应强度为2B，要使所有的粒子都能垂直打在AB板上，矩形磁场的面积至少多大？
【名师解析】
(1)经最大加速电压加速的粒子进入磁场的速度最大，
qU0＝mv
vm＝
此粒子进入磁场后刚好能垂直打在挡板上，则此粒子在磁场中做圆周运动的圆心在A点，半径等于OA的长，
qvmB＝m
R1＝＝
由于O点是M板的中点，因此M板的长度为d＝2R1＝ .
(2)粒子刚好能打在AB板上的运动轨迹如图(a)所示．
由几何关系知，粒子做圆周运动的半径R2满足R2＋＝R1
设此粒子经过加速电场时的电压为U2
qU2＝mv
qv2B＝m
得U2＝U0.
(3)如果加一反向的磁感应强度为2B的矩形匀强磁场，速度最大的粒子在其中做圆周运动的半径
R3＝R1＝
由图(b)可知，矩形磁场ab边的长为2R3，bc边的长为R3＋R3cos 30°
因此矩形磁场的面积至少为
S＝2R3＝(2＋)R
＝.
(2020·河北省衡水模拟)如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：＝；粒子的比荷满足：＝。求：
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x轴的最大距离；
(3)粒子运动至A点的时间。
解析：(1)在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
qB0v0＝mr1＝m
解得T＝2t0，r1＝＝
则粒子在时间内转过的圆心角α＝
所以在t＝时，粒子的位置坐标为。
(2)在t0～2t0时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示
则v＝v0＋t0＝2v0
运动的位移x＝t0＝1.5v0t0
在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动，半径r2＝2r1＝
故粒子偏离x轴的最大距离h＝x＋r2＝1.5v0t0＋。
(3)粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t0，故粒子在一个周期内向右运动的距离d＝2r1＋2r2＝
AO间的距离为＝8d
所以，粒子运动至A点的时间t＝32t0。
答案：(1) (2)1.5v0t0＋ (3)32t0专题81 带电粒子在交变电场、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路
最新高考题精选
1. （2012·海南物理）图（a）所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面(纸面)垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图（b）所示。当B为+B0时，磁感应强度方向指向纸外。在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于。不计重力。设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正方向自O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A。
（1）若t0=0，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（2）若t0=T/4，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（3）为了使直线OA与x轴的夹角为π/4，在0< t0< T/4的范围内，t0应取何值？是多少？
2.（2009山东理综第25题）如图2甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里.位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子.在0~3t0时间内两板间加上如图1乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）.已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场.上述m、q、l、t0、B为已知量.（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况）
求电压U0的大小.
求t0/2时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径.
何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间.
最新模拟题精选
1、某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正．为了使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其它力不计)( )
A．若粒子的初始位置在a处，在t＝时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B．若粒子的初始位置在f处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C．若粒子的初始位置在e处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D．若粒子的初始位置在b处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
2. （2022山东青岛二模）如图甲，三维坐标系中平面的左侧虚线区域内存在一未知电场，平面的右侧存在平行轴方向周期性变化的磁场和沿轴正方向竖直向上的匀强电场，电场强度。一质量、电荷量的带正电液滴，从平面内的点沿轴方向以的初速度进入未知电场区域，经过到达原点第1次经过轴，此时速度大小，方向在平面内与轴正向成角斜向下。把液滴到达原点的时刻记为，此时磁场沿轴负方向，磁场随时间变化的关系如图乙所示，其中、，重力加速度。
（1）求液滴从点到原点的过程中，受到的电场力的冲量大小；
（2）求液滴从第1次到第4次经过轴的时间间隔；
（3）在时刻撤去电场和磁场，同时在整个空间区域加上竖直向上的匀强磁场，磁感应强度，求液滴继续运动过程中达到最大高度时的位置坐标。
15. (2022辽宁沈阳二模)如图甲所示，真空中两块金属板AB、CD水平、正对放置，其长度为L，间距为d，且L=d=0.2m。过金属板B、D端的竖直边界线的右侧有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度，方向垂直纸面向里。现将CD板接地，AB板的电势随时间t变化的规律如图乙所示，周期T=0.2s。带正电的粒子流以速度沿两板间的水平中线连续射入电场，粒子的比荷为。不计粒子重力及相互作用，电场只存在于两板间，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场可视为匀强电场。求：
（1）第一个周期内，哪段时间射入电场的粒子能从电场射出；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间（保留两位有效数字）；
（3）何时射入电场的粒子，从B点正上方0.15m的E点飞出。
（2022辽宁葫芦岛质检）
15. （18分）如图甲所示，以两虚线M、N为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的电场，M、N间电压UMN的变化图像如图乙所示，电压的最大值为U0、周期为T0；M、N两侧为相同的匀强磁场区域I、II，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度均为B。t=0时，将一带正电的粒子从边界线M上的A处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T0。两虚线M、N间宽度很小，粒子在其间的运动时间忽略不计，也不考虑粒子所受的重力。
（1）求该粒子的比荷；
（2）求粒子第1次和第3次到达磁场区域I的左边界线N的两位置间的距离Δd；
（3）若粒子质量增加为原来的倍，电荷量不变，t=0时，将其在A处由静止释放，求t=2T0时粒子的速度。
7．(2020·日照模拟)如图甲所示，在水平方向足够长的虚线区域Ⅰ(上下边界水平)内有交替变化的电磁场，电磁场按照如图乙所示的规律变化，电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B1＝，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)在t＝0时刻以初速度v0从上边界A点竖直向下进入区域Ⅰ，t＝(π＋3)时刻从下边界C点离开区域Ⅰ并进入半径为R的圆形区域Ⅱ，R＝，区域Ⅱ与区域Ⅰ在C点相切，区域Ⅱ中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝。求：
(1)t1＝时刻粒子的速度大小v1；
(2)区域Ⅰ在竖直方向的宽度d；
(3)粒子在区域Ⅱ中运动的时间。
【名师解析】：(1)0～t1时间内，粒子在电场中做匀加速直线运动a＝
由匀加速直线运动公式知v1＝v0＋at1
可得v1＝2v0。
(2)0～t1时间内，粒子在电场中运动的位移
d1＝·t1＝
t1时刻，粒子开始在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r1
由向心力公式qv1B1＝m
可得r1＝
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T1
T1＝＝
粒子在磁场中运动的时间t2＝＝T1
对应圆心角为θ＝60°
在磁场中沿竖直方向运动的距离大小为d2＝r1sin θ＝
然后粒子以速度v1第二次进入电场，在电场中运动时间t3＝
由运动的合成与分解可知，粒子竖直向下的速度大小为vy1＝v1cos θ＝v0
水平方向的速度大小为vx＝v1sin θ＝v0
粒子竖直方向做匀加速直线运动，经过t3时间，竖直向下的速度大小为vy2＝vy1＋at3＝3v0
竖直位移大小d3＝·t3＝
可得，区域Ⅰ在竖直方向的宽度
d＝d1＋d2＋d3＝。
(3)粒子从C点离开区域Ⅰ时的速度
v2＝＝2v0
易知速度与水平方向的夹角为60°
设粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的半径为r2，圆心为O′，做圆周运动的周期为T2，粒子从D点射出磁场，由向心力公式qv2B2＝m
可得r2＝＝R，T2＝＝
易知OCO′D为菱形，圆心角为α＝60°
粒子在区域Ⅱ中运动的时间t4＝T2＝。
答案：(1)2v0 (2) (3)
24．（2021高考评估验收模拟13）(12分)如图1所示，M、N为平行极板，极板M和挡板AB间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，M板与AB板间的夹角为60°，N板附近有一粒子源，可以不断地释放初速度为零，电量为q，质量为m的带负电的粒子，在MN板上加如图2所示的电压后，粒子可以在电场力的作用下加速，从M板的中点处小孔O进入磁场，电压的最大值为U0，周期为T，粒子在电场中运动的时间远小于T，以最大速度进入磁场的粒子，经磁场偏转后刚好能垂直打在挡板AB上，求：
(1)M板的长度；
(2)要使粒子能打到挡板AB上，两板间所加电压至少应为多大？
(3)若将原来的磁场撤去，在AB挡板上方加一垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感应强度为2B，要使所有的粒子都能垂直打在AB板上，矩形磁场的面积至少多大？
(2020·河北省衡水模拟)如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：＝；粒子的比荷满足：＝。求：
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x轴的最大距离；
(3)粒子运动至A点的时间。
解析：(1)在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
qB0v0＝mr1＝m
解得T＝2t0，r1＝＝
则粒子在时间内转过的圆心角α＝
所以在t＝时，粒子的位置坐标为。
(2)在t0～2t0时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示
则v＝v0＋t0＝2v0
运动的位移x＝t0＝1.5v0t0
在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动，半径r2＝2r1＝
故粒子偏离x轴的最大距离h＝x＋r2＝1.5v0t0＋。
(3)粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t0，故粒子在一个周期内向右运动的距离d＝2r1＋2r2＝
AO间的距离为＝8d
所以，粒子运动至A点的时间t＝32t0。
答案：(1) (2)1.5v0t0＋ (3)32t0
